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    于“再創(chuàng)造”過程中提升數(shù)學抽象素養(yǎng)

    2021-09-10 07:22:44吳厚儀
    中學生報·教育教學研究 2021年1期
    關鍵詞:平面幾何再創(chuàng)造初中數(shù)學

    吳厚儀

    【摘 要】數(shù)學抽象素養(yǎng)作為數(shù)學學科核心素養(yǎng)之一,其形成和發(fā)展具有連續(xù)性和階段性,貫穿學生數(shù)學學習的始終。如何從初中階段開始逐步發(fā)展學生的數(shù)學抽象素養(yǎng),使學生逐漸學會運用數(shù)學抽象思維去發(fā)現(xiàn)、分析和解決問題,為高中階段數(shù)學學習奠定基礎,這是一個值得深思的問題。本文以一節(jié)“全等三角形”習題課的教學設計為例,探討探討如何在初中幾何課堂教學中更好地發(fā)展學生的數(shù)學抽象素養(yǎng)。

    【關鍵詞】初中數(shù)學;平面幾何;數(shù)學抽象素養(yǎng)

    數(shù)學是客觀現(xiàn)象抽象概括而逐漸形成的科學語言與工具,抽象性是數(shù)學的本質屬性之一。因而,《義務教育數(shù)學課程標準(2011年版)》中明確規(guī)定,義務教育階段的數(shù)學課堂要培養(yǎng)學生的抽象思維。同樣地,最新頒布的《普通高中數(shù)學課程標準(2017版)》提出,要發(fā)展學生的數(shù)學學科核心素養(yǎng),其中就包括數(shù)學抽象。數(shù)學抽象是指通過對數(shù)量關系與空間形式的抽象,得到數(shù)學研究對象的素養(yǎng)。主要包括:從數(shù)量與數(shù)量關系、圖形與圖形關系中抽象出數(shù)學概念及概念之間的關系,從事物的具體背景中抽象出一般規(guī)律和結構,并用數(shù)學語言予以表征。

    由此可見,數(shù)學抽象素養(yǎng)的形成和發(fā)展具有連續(xù)性和階段性,貫穿其數(shù)學學習過程的始終。數(shù)學抽象素養(yǎng)是適應學生終身發(fā)展和社會發(fā)展需要的與數(shù)學有關的關鍵能力和思維品質之一,能使學生養(yǎng)成在日常生活和實踐中運用數(shù)學抽象的思維方式思考并解決問題,學會把握事物的本質,以簡馭繁。本文從一節(jié)“全等三角形”習題課出發(fā),探討如何在初中幾何課堂教學中更好地發(fā)展學生的數(shù)學抽象素養(yǎng)。

    一、經歷“再創(chuàng)造”過程,提升數(shù)學抽象素養(yǎng)

    《義務教育數(shù)學課程標準(2011 年版)》提倡反映數(shù)學知識應用的過程應該是“問題情境—建立模型—求解驗證”的過程。本課例中,筆者將從“提出問題—歸納猜想—證明猜想—得出結論—應用模型—推廣延伸”六個環(huán)節(jié)開展數(shù)學活動。

    (一)提出問題

    例1:如圖1,∠A=∠B=∠DEC =60°,求證:∠1=∠C,∠D=∠2。

    變式1:如圖2, AB⊥BC,AB⊥AD,DE⊥EC,求證:∠1=∠C,∠D=∠2。

    (二)歸納猜想

    思考1:觀察圖1和圖2,它們有什么共同點?從中你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律?

    猜想1:如圖3,在△ADE和△BEC中,如果∠A=∠B=∠DEC ,那么∠1=∠C,∠D=∠2。

    (三)證明猜想

    證明猜想1(學生獨立完成證明)

    (四)得出結論

    結論:如圖3,在△ADE和△BEC中,如果∠A=∠B=∠DEC ,那么∠1=∠C,∠D=∠2。

    師:你能給這一新發(fā)現(xiàn)的幾何模型取名嗎?給大家半分鐘進行小組討論,為模型取個好名字。

    生:這兩個三角形連在一起像兩座山峰,不如就叫“雙峰模型”吧!

    師:非常形象的名字!大家喜歡這個名字嗎?好的,那么我們就給這一模型取名為“雙峰模型”。

    【設計意圖】在“提出問題—歸納猜想—證明猜想—得出結論”的數(shù)學活動過程中,教師首先通過對比例1及變式1,引導學生觀察、發(fā)現(xiàn)、分析和歸納圖形的特征,從中歸納并形成簡單的數(shù)學猜想,然后幫助學生對所得猜想進行嚴格證明,最后得出結論。在數(shù)學活動中提高合情推理和演繹推理的能力的同時,學生逐步學會清晰地用數(shù)學語言歸納概括自己的想法;在嘗試數(shù)學抽象的初步過程有深刻體會的同時,學生逐漸學會從特殊到一般、從具體到抽象的思維方式,在潛移默化中不斷提升數(shù)學抽象素養(yǎng)。另外,讓學生給所發(fā)現(xiàn)證明的幾何模型命名,學生能從數(shù)學學習中獲得極大的成就感,提高學生數(shù)學學習的自我效能感,激發(fā)學生學習數(shù)學的積極性。

    (五)應用模型

    練習1:如圖4,在△ABC中,∠B=∠C,點D、E、F分別在AB、BC、AC上,且BD=CE,∠DEF=∠B,圖中是否存在和△BDE全等的三角形?說明理由。

    練習2:如圖5,MN∥PQ,AB⊥MN,∠DEA=∠ECB,求證:DE⊥EC.

    (六)推廣延伸

    思考2:如果把猜想1的條件和結論互換,你能得到怎樣的命題?

    猜想2:如圖3,如果∠1=∠C,∠D=∠2 ,那么∠A=∠B=∠DEC.

    證明猜想2(學生獨立完成證明)

    應用模型2

    練習:如圖6,在△PAB中,PA=PB,M,N,K分別是PA,PB,AB上的點,且AM=BK, BN=AK,若∠MKN=44°,則∠P的度數(shù)為?

    思考3:如果把圖3的△ADE和△BCE沿直線AB分別向左右兩邊平移一定距離,如圖4所示,此時結論是否依舊成立?

    猜想3:如圖7,在△ADE和△BCF中,∠A=∠B=∠EGF.求證:∠1=∠C,∠2=∠D.

    證明猜想3(學生獨立完成證明)

    應用模型3

    練習:如圖8,∠A=∠ABC=90°,CE=BD,過點C作CF⊥BD,垂足為點F,延長CF交AB于E.試證明:BE=AD。

    【設計意圖】首先,通過將猜想1的條件和結論互換,得出猜想2這一逆命題并證明,不僅是對“雙峰模型”再建和完善的過程,更是對學生數(shù)學抽象素養(yǎng)形成的鞏固過程。然后,在學生能從圖3直接抽象出數(shù)學命題并證明其正確性的基礎上,通過對圖3進行平移變換得到更復雜的關聯(lián)圖形圖4,引導學生從關聯(lián)圖形中抽象出數(shù)學命題并證明,將已知數(shù)學命題推廣延伸至更一般的情形,這不僅是對“雙峰模型”拓展和豐富的過程,更是對學生數(shù)學抽象素養(yǎng)形成的深化過程。總而言之,在“推廣延伸”環(huán)節(jié)中,學生再度經歷“提出問題—歸納猜想—證明猜想—得出結論”的活動過程,加深了學生對數(shù)學知識生成的體會,有助于數(shù)學抽象素養(yǎng)的培養(yǎng)和提升。

    二、總結

    (一)精心設計變式,激活學生數(shù)學抽象思維

    在初中數(shù)學幾何課程中,相關平面圖形往往有多種位置與形狀,圖形變化的復雜性、多樣性和抽象性大大增加了學生學習幾何的難度。因此在幾何內容教學中采取變式教學顯得尤為重要。高質量的變式設計是在初中數(shù)學幾何課堂中進一步完善幾何知識體系建構、培養(yǎng)學生數(shù)學抽象素養(yǎng)的基礎和保證。教師要從圖形的特征和數(shù)學命題的內容出發(fā),充分體現(xiàn)“觀察—思考—猜想—證明—應用”這一數(shù)學知識的再創(chuàng)造、理解和應用過程,展現(xiàn)圖形的變換過程和命題證明的思考過程。這一過程的展現(xiàn)可以通過教師在貫徹螺旋上升原則和化隱為顯原則的前提下,變換問題中的條件或結論,精心設計一系列由淺入深、環(huán)環(huán)相扣的變式,不斷地給學生提供比較、分析、歸納、綜合的機會,啟發(fā)引導學生在不同的幾何問題情境中抽象概括出幾何對象的內在聯(lián)系特征,將具體的幾何對象和內容進行歸類和“濃縮”,通過反復的體驗實踐,保持學生積極有效的思維活動,深化學生對幾何知識的認識和理解,使學生養(yǎng)成運用數(shù)學抽象思維方式解決問題的習慣,學生的抽象思維能力在遞進問題的探索中得到了發(fā)展。

    (二)展開“再創(chuàng)造”過程,引導學生主動進行數(shù)學抽象

    著名教育家蘇霍姆林斯基曾說:“在人的心靈深處,都有一種根深蒂固的需要,就是希望自己是一個探索者、發(fā)現(xiàn)者、研究者,而在兒童的精神世界中,這種需要特別強烈?!闭鐚W生發(fā)現(xiàn)“雙峰模型”時內心頗具成就感一樣,在數(shù)學學習的過程中,發(fā)現(xiàn)是一種樂趣,通過“再創(chuàng)造”過程展現(xiàn)習題的精彩,能夠激發(fā)學生主動去發(fā)現(xiàn)去探究,享受探究學習的樂趣。而且,學生對通過自身抽象思維活動自主獲得的知識比由旁人“填鴨式”硬塞的知識理解得更透徹,掌握得更迅速。因此,在幾何課堂中,教師要努力營造輕松、愉悅的探究學習氛圍,充分發(fā)揮學生的主觀能動性,激起學生強烈的求知欲和表達欲,讓學生主動經歷數(shù)學知識的再創(chuàng)造過程,搞清楚知識的來龍去脈。在這一過程中,學生能夠親身體驗過去的數(shù)學家們從特殊到一般的數(shù)學抽象思維過程,對數(shù)學的抽象本質和通過數(shù)學抽象形成數(shù)學知識的過程有更深刻的理解,促進學生數(shù)學抽象素養(yǎng)的形成和發(fā)展。

    (三)把握抽象程度,教學設計符合學生認知規(guī)律

    初中生的認知發(fā)展正處于具體運算階段向形式運算階段過渡的關鍵期,這時學生的數(shù)學認知結構中的抽象思維、逆向思維等開始發(fā)展,并能進行簡單的演繹推理。因此,初中幾何教學要符合初中生的認知規(guī)律,把握一個適當?shù)摹岸取?,本著嚴密性和量力性原則,以適合初中生的接受能力為宜,不應為了發(fā)展學生的數(shù)學抽象素養(yǎng)而過多研究復雜圖形問題。

    數(shù)學抽象是數(shù)學的基本思想,是形成理性思維的重要基礎,反映了數(shù)學的本質特征,貫穿在數(shù)學產生、發(fā)展、應用的過程中。數(shù)學抽象使得數(shù)學成為高度概括、表達準確、結論一般、有序多級的系統(tǒng)。數(shù)學抽象的重要性地位可見一斑。教師要充分挖掘教學資源,在初中數(shù)學幾何課堂上讓學生經歷探索知識的過程,產生數(shù)學思考的欲望,在實踐中體驗知識形成的過程和內在聯(lián)系,體會獲得知識的喜悅,在提高學生推理論證能力的同時,不斷潛移默化地提升學生的數(shù)學抽象素養(yǎng),真正學會用數(shù)學抽象思維去發(fā)現(xiàn)、分析和解決問題。

    【參考文獻】

    [1]毛錫榮,錢軍先.“教師稚化思維,促進學生理解”的理論研究與實踐探索[M].蘇州大學出版社,2018.

    [2]章建躍.數(shù)學核心素養(yǎng)如何落實在課堂[J].中小學數(shù)學,2016(3).

    [3]岳峻,羅建宇.例談數(shù)學核心素養(yǎng)如何落實在課堂[J].中學數(shù)學,2017(7).

    (責任編輯:周瑋凌)

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