因式分解的常用方法

朱菊香

分解因式即把一個(gè)多項(xiàng)式轉(zhuǎn)化為幾個(gè)最簡(jiǎn)整式的乘積的形式.它與整式乘法是互逆的關(guān)系，是代數(shù)中不可或缺的恒等變形方法，也是解答代數(shù)問(wèn)題的有力工具.因式分解的方法有很多，同學(xué)們可根據(jù)多項(xiàng)式的具體結(jié)構(gòu)特征靈活選擇.現(xiàn)將因式分解的幾種常用方法舉例說(shuō)明.

方法一：提取公因式法

提取公因式法是指通過(guò)提取多項(xiàng)式中的公因式達(dá)到因式分解的目的，是因式分解最為常用的方法之一.在運(yùn)用提取公因式法分解因式時(shí)，同學(xué)們要把握如下幾點(diǎn)：1.所提取的公因式應(yīng)一次提全、提凈，各項(xiàng)不可再出現(xiàn)公因式.因此，在提取時(shí)要注意“三取”：一是取“大”，即各項(xiàng)系數(shù)均為整數(shù)時(shí)，公因式的系數(shù)應(yīng)取各項(xiàng)系數(shù)絕對(duì)值的最大公約數(shù);二是取“同”，即取多項(xiàng)式中各項(xiàng)相同的字母;三是取“低”，即取多項(xiàng)式中相同字母的最低次冪.2.若多項(xiàng)式的某一項(xiàng)與公因式相同，切記不能遺漏常數(shù)項(xiàng)“1”.3.若首項(xiàng)為負(fù)，應(yīng)提取負(fù)號(hào)，使括號(hào)內(nèi)的首項(xiàng)系數(shù)為正，此時(shí)括號(hào)內(nèi)各項(xiàng)都應(yīng)注意變號(hào).

例1 因式分解：①8abc-12abcd+16abc;

②-6xy（a-b）-9xy（a-b）-3xy（a-b）.

解析：①仔細(xì)觀察多項(xiàng)式，8、|-12|、16的最大公約數(shù)為4，所以公因式的系數(shù)是4.a、b、c這三個(gè)相同字母最低次冪分別為a、b、c，故提取的公因式是4abc.②此多項(xiàng)式中的首項(xiàng)系數(shù)為負(fù)數(shù)，需要先提取“-”號(hào)，括號(hào)內(nèi)各項(xiàng)則變?yōu)閇6xy （a-b）+ 9xy （a-b）+3xy （a-b）].6、|-9|、|-3|最大公約數(shù)是3，所以公因式的系數(shù)為3.各項(xiàng)中相同字母x、y、（a-b）的最低次冪分別為x、y、（a-b），因而提取的公因式是-3xy（a-b）.

解：①8abc-12abcd+16abc=4abc（2bc-3ad+4bc）

②-6xy （a-b）-9xy（a-b）-3xy（a-b）=-3xy（a-b）（2x+3y+1）

方法二：主元分解法

主元分解法是一種反“客”為“主”的思維方法，也是破解因式分解問(wèn)題的有效策略.它是指在分解因式時(shí)，選擇其中某個(gè)變?cè)獮橹饕?，視其他變?cè)獮槌Ａ?，然后將原式重新整理成關(guān)于主要元素按降冪排列的多項(xiàng)式，這樣就能排除字母的干擾，簡(jiǎn)化問(wèn)題的結(jié)構(gòu).在進(jìn)行因式分解時(shí)，同學(xué)們?nèi)舭l(fā)現(xiàn)對(duì)多項(xiàng)式直接分解存在很大難度時(shí)，要克服思維定勢(shì)，反其道而行，變“客”為“主”，使問(wèn)題化繁為簡(jiǎn)、化難為易.

例2? 分解因式：①p-4p+（4-2q）p+4qp+q-9;

②a+（1-2b）a+ （b-2b-1）a+b-1

解析：①該多項(xiàng)式是一個(gè)關(guān)于p的四次多項(xiàng)式，直接分解難度較大.借助主元分解法，把次數(shù)較低的字母q視為主元，這樣原式就可以變?yōu)殛P(guān)于q的二次多項(xiàng)式.②該多項(xiàng)式為二元三次多項(xiàng)式，直接分解比較棘手，若能利用主元法，把次數(shù)較低的字母b作為主元，那么原多項(xiàng)式就可以變?yōu)殛P(guān)于b的二次多項(xiàng)式，即可迅速解題.

解：①p-4p+（4-2q）p+4qp+q-9=q-2（p-2p） q+ （p-4p+4p-9）

=q-2（p-2p）q+[p（p-2）]-3

= q-2（p-2p）q+（ p-2p+3）（p-2p-3）

=[q-（p-2p+3）][q-（p-2p-3）]

= （p-2p-q+3）（ p-2p-q-3）.

②a+（1-2b）a+ （b-2b-1）a+b-1=（a+1）b-（2a+2a）b+（a+a-a-1）

=（a+1）b-2a（a+1）b+（a+1）（a-1）

=（a+1）{b-[（a+1）（a-1）]b+（a+1）（a-1）}

=（a+1）（a-b-1）（a-b+1）.

方法三：分組分解法

分組分解法是指根據(jù)多項(xiàng)式的具體特征，有目的地將多項(xiàng)式的某些項(xiàng)組成一組，從局部考慮，使每組能夠分解，從而達(dá)到對(duì)整個(gè)多項(xiàng)式因式分解的目的.在分組時(shí)，要有預(yù)見(jiàn)性，要統(tǒng)籌思考，常用思路一般有按系數(shù)分組、按公因式分組、按次數(shù)分組、按公式分組、按主元分組以及拆（添）項(xiàng)后分組等.

例3 分解因式：①a+a+2a+2;②4xy-x+8yz-z;③9m-12mn+4n-25

解析：①此多項(xiàng)式中的第一、三兩項(xiàng)，第二、四兩項(xiàng)的系數(shù)之比都是，因此，可以按照系數(shù)分組分解因式. ②該多項(xiàng)式中的第一、三項(xiàng)存在公因式，不妨按照公因式分組因式. ③此多項(xiàng)式中第一項(xiàng)、第三項(xiàng)次數(shù)相同，對(duì)此可以按照次數(shù)分組分解因式.

解：①原式=（a+2a）+（a+2）=a（a+2）+ （a+2）=（a+2）（a+1）.

②原式=（4xy-+8yz）-（x-z）=4y（x+z）-（x+z）=（4y-1）（x+z）.

③原式=（9m-12mn+4n）-25=（3m-2n）-5=（3m-2n+5）（ 3m-2n-5）.

方法四：配方法

對(duì)于形如x+2ax+a的二次三項(xiàng)式，可以用公式法將它分解成（x+a）的形式，但對(duì)于二次三項(xiàng)式x+2ax-3a就不能直接運(yùn)用公式了.此時(shí)，我們可以先適當(dāng)添加一項(xiàng)，使式子構(gòu)成完全平方式，再減去這個(gè)項(xiàng)，使整個(gè)式子的值不變，這種方法就被稱(chēng)為“配方法”.應(yīng)用配方法進(jìn)行因式分解，常常將多項(xiàng)式配成A- B的形式，使多項(xiàng)式可用平方差公式分解為（A+B）（A-B）的形式.

因式分解是初中數(shù)學(xué)的一個(gè)重點(diǎn)內(nèi)容，在代數(shù)的恒等變形、分式運(yùn)算、根式運(yùn)算、解方程等方面有著廣泛的應(yīng)用.因式分解的方法除了上面列舉的四種，還有很多，包括十字相乘法、待定系數(shù)法、換元法、求根公式法等.同學(xué)們要掌握好因式分解的方法，并注意靈活運(yùn)用.