數(shù)形結(jié)合，以形助學(xué)

陳子燁

摘 要：數(shù)與形是數(shù)學(xué)中兩個(gè)最基本的研究對(duì)象，它們?cè)谝欢l件下可以相互轉(zhuǎn)化。 教育心理學(xué)家皮亞杰所劃分的兒童認(rèn)知發(fā)展階段的第三個(gè)階段是具體運(yùn)算階段 （7～12歲）， 小學(xué)期間孩子們的具體運(yùn)算思維一般還離不開具體事物的支持。本文以五年級(jí)數(shù)學(xué)“植樹問題”一課進(jìn)行探究，數(shù)形結(jié)合的思想可以使某些抽象的數(shù)學(xué)問題直觀化、具體化、生動(dòng)化，把抽象思維化為具象思維，有助于把握數(shù)學(xué)問題的本質(zhì) ，更好地做到“以數(shù)解形”和“以形助數(shù)”。

關(guān)鍵詞：轉(zhuǎn)化;認(rèn)知發(fā)展;具體化;數(shù)形結(jié)合

“植樹問題” 一課是人教版五年級(jí)上冊(cè)《數(shù)學(xué)廣角》中的內(nèi)容?！爸矘鋯栴}”通常是指沿著一定的路線植樹，這條路線的總長(zhǎng)度被樹平均分成若干段（間隔），由于路線的不同、植樹要求的不同，路線被分成的段數(shù)（間隔數(shù)）和植樹的棵數(shù)之間的關(guān)系也就不同。像這些課堂上難以讓學(xué)生親身去感受的生活實(shí)際問題，我們可以借助線段圖等手段讓學(xué)生從中發(fā)現(xiàn)一些規(guī)律，抽取出其中的數(shù)學(xué)模型，然后再用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律來解決生活中的實(shí)際問題。

（一）在學(xué)生認(rèn)知基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)學(xué)習(xí)活動(dòng)

學(xué)生從小學(xué)一開始就會(huì)接觸數(shù)形結(jié)合的方法。一年級(jí)學(xué)習(xí)10以內(nèi)數(shù)相加減，老師就會(huì)用小棒或者其他圖案來代替數(shù)字，通過數(shù)一數(shù)擺一擺等方法學(xué)習(xí)簡(jiǎn)單的加減法;二年級(jí)學(xué)習(xí)簡(jiǎn)單的乘除法，老師也會(huì)借助具體物體來數(shù)一數(shù)擺一擺分一分輔助教學(xué);三年級(jí)認(rèn)識(shí)面積，老師會(huì)請(qǐng)來“小方格”幫助學(xué)生計(jì)算面積;四年級(jí)學(xué)習(xí)條形統(tǒng)計(jì)圖，讓學(xué)生學(xué)會(huì)使用圖形的變化表示數(shù)據(jù)的增減。學(xué)生在學(xué)齡階段的學(xué)習(xí)一直貫穿著數(shù)形結(jié)合的思想方法，因此在設(shè)計(jì)學(xué)習(xí)活動(dòng)時(shí)，我們要把幾何直觀作為解決植樹問題的重要手段?！爸矘鋯栴}”中的“公共汽車站”“架設(shè)電線桿”“敲鐘問題”“設(shè)置飲水點(diǎn)”“鋸木頭”“項(xiàng)鏈上的水晶”等問題，可以引導(dǎo)學(xué)生借助線段圖或示意圖進(jìn)行直觀理解。

（二）認(rèn)知沖突，引發(fā)思考

書本例題1是“同學(xué)們?cè)谌珗?chǎng)100m的小路一遍植樹，每隔5m栽一棵（兩端要栽），一共要栽多少棵樹？”很多同學(xué)看題后的第一想法就是“每隔5m栽一棵，也就是栽100÷5=20（棵）”，這時(shí)老師提出疑問“這個(gè)想法對(duì)嗎？我們檢驗(yàn)一下?！睂W(xué)生帶著問題和想法去驗(yàn)證，可以先用比較簡(jiǎn)單的例子來驗(yàn)證，由淺入深。

思考：20m可以栽多少棵？（通過示意圖和線段圖分析）

20÷5=4，可以栽5棵樹。

思考：30m可以栽多少棵？（通過示意圖和線段圖分析）

30÷5=6，可以栽6棵樹。

通過以上兩個(gè)例子，發(fā)現(xiàn)了什么？開始的想法是否正確？通過觀察和計(jì)算不難發(fā)現(xiàn)， 20÷5=4這里的4不代表4棵，而是代表4個(gè)間隔或者4份。因此原題100÷5=20中的20不代表20棵，而是代表20個(gè)間隔或者20份。通過兩個(gè)簡(jiǎn)單的例子加以驗(yàn)證，可以發(fā)現(xiàn)如果兩端都要栽樹，栽樹的棵數(shù)比間隔數(shù)要多1，從而建立起一條線段兩端都栽這類植樹問題的數(shù)學(xué)模型。

（三）逆向應(yīng)用，知識(shí)遷移

學(xué)生明確題目信息“100m”是全長(zhǎng)，“5m”是間隔長(zhǎng)，“20”是間隔數(shù)，“21”是要栽的棵數(shù)。當(dāng)題目變式為“園林工人沿一條筆直的公路一側(cè)植樹，每隔6m種一棵，一共種了36棵，從第一棵到最后一棵的距離有多遠(yuǎn)？”學(xué)生讀題時(shí)明確這一題是已知樹的棵數(shù)求路線長(zhǎng)度， 36棵樹也就是有35個(gè)間隔，因此總長(zhǎng)度應(yīng)該用35×6=210米。

書本例題2是“大象館和猴山相距60m。綠化隊(duì)要在兩館間的小路兩旁栽樹（兩端不栽），相鄰兩棵樹之間的距離是3m。一共要栽多少棵樹？”例2是在例1的基礎(chǔ)上進(jìn)行教學(xué)的。學(xué)生可以利用例1發(fā)現(xiàn)的規(guī)律和化歸的思想進(jìn)行思考，猜測(cè)兩端不栽應(yīng)該是用間隔數(shù)減1。

思考：12m可以栽多少棵？（通過示意圖和線段圖分析）

12÷3=4，可以栽3棵樹。

思考：18m可以栽多少棵？（通過示意圖和線段圖分析）

18÷3=6，可以栽5棵樹。

通過以上兩個(gè)例子，可以驗(yàn)證最初的猜想。通過示意圖和線段圖，更加直觀地呈現(xiàn)出當(dāng)兩端不栽時(shí)，要栽的棵數(shù)比間隔數(shù)少1。教師可根據(jù)教學(xué)情況，鼓勵(lì)學(xué)生用自己的方法探索規(guī)律，讓學(xué)生在知識(shí)遷移和轉(zhuǎn)化中學(xué)習(xí)解決問題的方法。

（四）數(shù)形結(jié)合，化曲為直

書本例題3是“張伯伯準(zhǔn)備在圓形池塘周圍栽樹。池塘的周長(zhǎng)是120m，如果每隔10m栽一棵，一共要栽多少棵樹？”區(qū)別于例1例2在筆直的線段上植樹，這是一條首尾封閉的曲線上植樹的問題。通過前兩個(gè)例題，學(xué)生已經(jīng)有了解決這類問題的一般方法和建立數(shù)學(xué)模型的能力，引導(dǎo)學(xué)生先從簡(jiǎn)單情況入手。

通過數(shù)形結(jié)合，化曲為直的方法，學(xué)生聯(lián)系已有的知識(shí)可以發(fā)現(xiàn)這種“封閉曲線”的規(guī)律，即栽樹的棵數(shù)正好等于間隔數(shù)，相當(dāng)于一端栽，一端不栽，從中滲透了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想。學(xué)習(xí)了3個(gè)例題后，教師可引導(dǎo)學(xué)生借助示意圖或者線段圖將三種情況進(jìn)行對(duì)比和分析，方便學(xué)生理解和記憶。教學(xué)中要強(qiáng)調(diào)畫圖的策略，充分運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方法進(jìn)行理解和總結(jié)。讓學(xué)生意識(shí)到養(yǎng)成畫圖的習(xí)慣是非常重要的，他們平時(shí)在解決數(shù)學(xué)問題遇到困難時(shí)，可以借助畫圖幫助理解。

（五）教學(xué)思考

新課標(biāo)中強(qiáng)調(diào)“以學(xué)生為主體”，體現(xiàn)學(xué)生的主體性。如果教師一下子把三種情況直接總結(jié)出規(guī)律，學(xué)生可以快速區(qū)分植樹問題的是三種情況，但學(xué)生在碰到問題是只會(huì)對(duì)號(hào)入座，照葫蘆畫瓢，無法發(fā)展數(shù)學(xué)思維和解決問題的能力。生生間的合作交流是課堂的推動(dòng)力，數(shù)形結(jié)合是學(xué)生構(gòu)建知識(shí)的一個(gè)拐杖，讓學(xué)生從“發(fā)現(xiàn)規(guī)律”到“運(yùn)用規(guī)律”，做到思維方法的真正滲透。植樹問題只能是種樹嗎？生活中路燈的安裝、上樓問題、敲鐘問題、鋸木問題等都可以運(yùn)用本節(jié)課知識(shí)，拓展了知識(shí)的外延。

“數(shù)缺形時(shí)少直覺，形少數(shù)時(shí)難入微;數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事非?！比A羅庚這四句詩很好地表現(xiàn)出數(shù)形結(jié)合的重要性。要想在解決問題中有效地實(shí)現(xiàn)數(shù)形結(jié)合，首先要明確“數(shù)”與“形”的結(jié)合點(diǎn)。幾何圖形具有直觀具體的特點(diǎn)，化抽象為具象，利用幾何圖形解決問題，往往能產(chǎn)生事半功倍的效果。我們既能把“數(shù)”化為“形”去理解，也能從“形”總結(jié)“數(shù)”的規(guī)律。從“植樹問題”這一課中，我們通過把例題信息轉(zhuǎn)化成示意圖和線段圖理解了三種不同情況，也從這些圖中建立了形象的數(shù)學(xué)模型，總結(jié)出相應(yīng)的計(jì)算規(guī)律。

對(duì)于小學(xué)生來說，理解和消化的過程一定要把問題具象化、簡(jiǎn)單化。本課除了運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方法，還巧妙地加入“歸化”思想幫助理解。從簡(jiǎn)單的例子入手，學(xué)生容易理解，從而獲得成功的體驗(yàn)，增加了學(xué)生繼續(xù)探究的動(dòng)力。再通過小組合作進(jìn)行問題猜測(cè)、檢驗(yàn)、得出結(jié)論，逐步形成自主解決問題的能力。學(xué)生一旦掌握了數(shù)形結(jié)合的方法，平常遇到難題的時(shí)候不斷嘗試、運(yùn)用，從而發(fā)現(xiàn)“數(shù)”與“形”的奧妙，提高數(shù)學(xué)思維能力。

本文系廣州番禺區(qū)教育規(guī)劃十三五專項(xiàng)課題《基于研學(xué)后教理念下小學(xué)數(shù)學(xué)“助學(xué)課堂”模式的研究》（課題編號(hào)：2018-zx269）階段性成果。