行列式的幾種計(jì)算方法

楊姜維

摘要：行列式是線性代數(shù)課程中的重要組成部分，應(yīng)用廣泛，本文根據(jù)每種行列式的特點(diǎn)，總結(jié)相應(yīng)的簡(jiǎn)便計(jì)算方法，并對(duì)一些典型的例題加以分析，以期為行列式初學(xué)者提供參考。

關(guān)鍵詞：行列式;行列式性質(zhì);計(jì)算方法

作為公共課程線性代數(shù)中極其重要的一個(gè)內(nèi)容，行列式在其他很多數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)中也起著重要的奠基作用，而行列式的計(jì)算具有較大的技巧性和靈活性，要使計(jì)算過(guò)程簡(jiǎn)單明了，避免過(guò)多不必要的解題步驟，應(yīng)選擇適當(dāng)?shù)姆椒āＮ恼吕眯辛惺蕉x、展開、化三角形、加邊、遞推等方法，給出了不同類型行列式的計(jì)算方法和技巧，為學(xué)生進(jìn)行行列式的學(xué)習(xí)奠定了理論基礎(chǔ)。

在行列式的計(jì)算過(guò)程當(dāng)中，通常要利用行列式的性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn)，行列式有如下性質(zhì)：

性質(zhì) 1：行列式與其轉(zhuǎn)置行列式相等。

性質(zhì) 2：互換行列式的兩行（列），行列式變號(hào)。

性質(zhì) 3：行列式的某一行（列）中所有的元素都乘同一數(shù)k，等于用數(shù)k乘此行列式。性質(zhì) 4：行列式如果有兩行（列）元素成比例，則此行列式等于零。

性質(zhì) 5：如果行列式的某一行（列）的元素都是兩數(shù)之和，則此行列式等于兩個(gè)行列式的和。

性質(zhì) 6：把行列式的某一行（列）的各元素乘以數(shù)k，再加到另一行（列）對(duì)應(yīng)的元素上去，行列式的值不變。

一、定義法

用行列式的定義計(jì)算行列式，特別是行列式元素里面存在很多0的情況下，用定義法比較合適。

例1

二、按某一行（列）展開法

行列式等于它的任一行（列）的各元素與其對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和，即

按第i行展開式：

按第j列展開式：

當(dāng)行列式的某一行或某一列有很多元素0，利用行列式的展開公式，給行列式降階，簡(jiǎn)化運(yùn)算。

例2 計(jì)算n階行列式

解：將此行列式按照第一列展開

三、化三角形法

化三角形法是計(jì)算行列式常用的一種方法，上三角形行列式的主對(duì)角線左側(cè)元素全為零，下三角形行列式的主對(duì)角線右側(cè)元素全為零，這兩種行列式的值都等于主對(duì)角線元素的乘積。

例3 計(jì)算n階行列式

解：此行列式主對(duì)角線元素都為a，其它元素都為b，且各行（各列）元素之和相等，若將第2列之后各列都加到第1列，將公因子提出，再對(duì)行作運(yùn)算，把D化為上三角行列式. 或者將第2行之后各行都加到第1行，將公因子提出，再對(duì)列作運(yùn)算，把Dn化為下三角行列式。

四、提取公因式法

五、加邊法

加邊法，也叫升階法，將n階行列式分別增加一行和一列，從而變成n+1階行列式，通常對(duì)原行列式增加首行首列、首行尾列、首列尾行或尾行尾列等.

六、遞推法

結(jié)語(yǔ)

行列式類型豐富多樣，計(jì)算十分靈活，一道題目往往有多種解法，根據(jù)所給行列式的特點(diǎn)和行列式的性質(zhì)，找到合適的解法，做到快速準(zhǔn)確的計(jì)算行列式。本文總結(jié)了幾種常見的行列式的計(jì)算方法和技巧，方便學(xué)生針對(duì)一般的行列式題型，可以迅速找到針對(duì)性的解法，學(xué)生在課下應(yīng)多總結(jié)典型題目和解題方法，多看多練多動(dòng)腦，熟練掌握行列式的計(jì)算方法。

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基金項(xiàng)目：廣州工商學(xué)院2020年院級(jí)科研課題《多參數(shù)泛函方程穩(wěn)定性研究》（項(xiàng)目編號(hào)：KA202032）

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