橫看成嶺側(cè)成峰 遠(yuǎn)近高低各不同

摘 要：一題多解，就是從不同角度、不同思路人手，運(yùn)用不同的方法或不同的解題過程，解答同一問題的思維活動.本文從一道希望杯老題入手，在解答中滲透一題多解思想的策略，以期培養(yǎng)同學(xué)們審慎的解題習(xí)慣與開闊的思維品質(zhì).

關(guān)鍵詞：希望杯;一題多解;思維;廣闊性

中圖分類號：G632文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A文章編號：1008-0333（2021）04-0024-03

一、問題提出

2020屆的高考已經(jīng)塵埃落定，已經(jīng)畢業(yè)的這一屆高三學(xué)生讓筆者在教學(xué)上又多了一份新的體會，正所謂“愈教愈新”.暑期剛開始沒有幾天，有幸作為學(xué)科骨干教師參與學(xué)校的新教材學(xué)習(xí)與分享.新教材第一章依舊是集合相關(guān)內(nèi)容，第二章由基本初等函數(shù)（1）變成了一元二次函數(shù)、方程和不等式，第三章才開始函數(shù)的概念與性質(zhì).筆者研讀之后結(jié)合多屆已經(jīng)畢業(yè)學(xué)生的高三一年的學(xué)習(xí)情況與實(shí)際高考成績，發(fā)現(xiàn)新進(jìn)高一的學(xué)生不僅要重點(diǎn)培養(yǎng)對概念深刻的理解，更多的要培養(yǎng)學(xué)生思維的廣度，沒有廣度的思維是呆板的、木訥的、沒有靈性的！

基于此，筆者思考了以何為載體進(jìn)行這種思想的培養(yǎng)呢？通過對比，筆者認(rèn)為一題多解是個很好的載體.所謂一題多解就是沒有唯一和固定的模式，教師可以通過縱橫對比發(fā)散、知識串聯(lián)、綜合溝通等手段，由一題引發(fā)多種解答方法，為學(xué)生構(gòu)建完善的知識體系.引導(dǎo)學(xué)生從不同角度人手，用不同的解答方法完成解題過程.并以此來幫助學(xué)生更加深刻的理解數(shù)學(xué)的本質(zhì)概念，掌握試題解答的思路與方法.幫助學(xué)生體會數(shù)學(xué)的多樣美感，激發(fā)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，拓寬學(xué)生思維的廣闊度.

二、實(shí)例分析

例 （第九屆希望杯全國數(shù)學(xué)邀請賽高一試題）

若二次函數(shù)fx=ax2+bx，恒有fx1=fx2x1≠x2，求fx1+x2的值.

策略一：利用已知條件，直接帶入化簡，常規(guī)操作

解法1 一方面：由已知條件fx1=fx2，代入得到：ax21+bx1=ax22+bx2，整理得到：x1-x2ax1+x2+b=0，又因?yàn)閤1≠x2，所以ax1+x2+b=0，另一方面：fx1+x2=ax1+x22+bx1+x2=x1+x2ax1+x2+b，所以fx1+x2=0.

評注 解數(shù)學(xué)題是有有一定模式的，各種不同類型的題目有相應(yīng)的基本解題策略，這就是常說的“套路”，實(shí)際上就是我們講的“通性通法”.學(xué)生在測試中面對一道試題的時候，如果不能很快的思考出最優(yōu)的策略，那么切不可忽略本原，即常見常用的解題思路，在時間不充足的情況下快速的找到解決問題的策略是關(guān)鍵.畢竟時間有限，先得分，考完之后再進(jìn)行反思優(yōu)化是提高的必由之路，只會機(jī)械的記住套路，甚至背套路是萬萬不提倡的，因?yàn)檫@會完全喪失解題的靈性.

策略二：在進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算時，適當(dāng)進(jìn)行變形配方，效果往往讓人喜出望外

解法2 當(dāng)x1+x2=0時，顯然fx1+x2=0; 當(dāng)x1+x2≠0時，由fx1=fx2

即得：0=fx1-fx2=x1-x2ax1+x2+b=x1-x2x1+x2ax1+x22+bx1+x2

=x1-x2x1+x2fx1+x2，又因?yàn)閤1≠x2，所以fx1+x2=0.

評注 該解法使用配方法改變了代數(shù)式的原有結(jié)構(gòu)，從一個要求的結(jié)論出發(fā)，整理配湊出我們希望出現(xiàn)的結(jié)構(gòu)，再利用整體代換的思想直接得出結(jié)果，而這種思維是在日常教學(xué)中要著重鞏固的，不僅在該題有著很好的應(yīng)用在其它不等式等相關(guān)試題中的應(yīng)用也是十分廣泛的，所以工具越多，解題越從容.

策略三：聯(lián)想函數(shù)對稱軸，利用二次函數(shù)性質(zhì)，對稱美學(xué)凸顯

解法3 由二次函數(shù)滿足fx1=fx2則該函數(shù)圖像關(guān)于直線x=x1+x22對稱，

而x1+x2與0也是關(guān)于直線x=x1+x22對稱的，那么fx1+x2=f0=0.

評注 函數(shù)諸多性質(zhì)中，筆者最為推崇對稱性，這是數(shù)學(xué)美學(xué)的最淺顯的外在表

征，當(dāng)然在此處不過多去討論奇偶性，單調(diào)性，周期性等.此解法有諸多巧合重

疊，從函數(shù)對稱軸出發(fā)，結(jié)合離函數(shù)對稱軸距離相等的自變量所對應(yīng)函數(shù)值相等

這一結(jié)論使得對稱之美展現(xiàn)的淋漓盡致！其中在2017新課標(biāo)3卷理11中的應(yīng)用亦是美妙至極.

策略四：構(gòu)造方程的根結(jié)合韋達(dá)定理，從具體到抽象，二者自由切換

解法4 由已知條件fx1=fx2，不妨令fx1=fx2=-c，于是有以下不等式

組：ax21+bx1+c=0ax22+bx2+c=0這樣就可以把x1，x2視作方程ax2+bx+c=0的兩根了，利用

韋達(dá)定理知x1+x2=-ba，那么fx1+x2=f-ba=0.

評注 實(shí)際上此解法說好，其實(shí)似乎又有些“臃腫”.如果不設(shè)fx1=fx2=-c，直接將x1，x2帶入fx的解析式得到方程組，亦可求得所要結(jié)果.這樣寫僅僅是為了和學(xué)生平時所認(rèn)知的一元二次方程形式進(jìn)行統(tǒng)一，做這樣的假設(shè)形式其實(shí)就是最近發(fā)展區(qū)理論，這能夠很好的和學(xué)生所固有的認(rèn)知契合，學(xué)生很容易接受，能夠有效提高教學(xué)效率.

策略五：利用抽象函數(shù)的廣義對稱性質(zhì)，若函數(shù)y=fx關(guān)于直線x=m對稱，則有f2m-x=fx

解法5 由于二次函數(shù)滿足fx1=fx2那么該函數(shù)圖像關(guān)于直線x=x1+x22對

稱，所以f2·x1+x22-x=fx，將x=0帶入，立得：fx1+x2=0.

評注 這種解法在于對抽象形式的理解和掌握，是前面解法3的升華.因?yàn)樵擃惡瘮?shù)性質(zhì)實(shí)際上可以推廣到任意具備對稱性函數(shù)求值問題，這就比直接考慮二次函數(shù)對稱性的思維更加深刻，將這種解法安排在解法3之后十分合適，這本身就有利于學(xué)生思維的自然過渡，從而進(jìn)一步加深對原始二次函數(shù)更加深刻的認(rèn)識.

策略六：構(gòu)造直線共線向量，利用共線性質(zhì)，思維遷移提升

解法6 由已知條件得：fxx=ax+b，不妨令fx1=fx2=t，fx1+x2=c于是得：Ax1，tx1，Bx2，tx2，Cx1+x2，cx1+x2，所以AC=x2，cx1+x2-tx1，

BC=x1，cx1+x2-tx2，再由三點(diǎn)共線知：AC∥BC，那么就有以下數(shù)量關(guān)系：

x2cx1+x2-tx2=x1cx1+x2-tx1，整理得cx2x1+x2=cx1x1+x2，又x1≠x2，所以c=0，進(jìn)而fx1+x2=0.

評注 該解法筆者是基于微分思想的角度聯(lián)想到的，“點(diǎn)線面”，“一維二維三

維”是典型的思維遷移的模范！筆者試圖將二次函數(shù)降次理解構(gòu)造共線向量來進(jìn)

行理解，試過之后，發(fā)現(xiàn)著實(shí)可以這么理解，在講解中注重靈感思路的來源分析，

對學(xué)生的理解很有幫助，也能很好的啟迪學(xué)生，開闊思路，勇于嘗試，鍛煉學(xué)生

堅(jiān)毅的品格.

策略七：利用行列式三角形面積公式，高等數(shù)學(xué)思想與初等數(shù)學(xué)結(jié)合

解法7 由解法6，Ax1，tx1，Bx2，tx2，Cx1+x2，cx1+x2，再由三點(diǎn)共線知：

x1tx11x2tx21x1+x2cx1+x21=0行列式展開得：cx2x1+x2=cx1x1+x2，下同解法6.

評注 行列式在筆者所在學(xué)校是沒有強(qiáng)調(diào)必須要講解的，但是基于教學(xué)實(shí)際，筆

者認(rèn)為有必要進(jìn)行講解.第一，從高考命題角度與考試大綱要求來看，初等數(shù)學(xué)

之中融入高等數(shù)學(xué)思想是命題的重點(diǎn)方向，類似的還有洛必達(dá)法則，端點(diǎn)效應(yīng)，

泰勒展開等等，這就是其中很好的一例！第二，從考試直接應(yīng)用來看，行列式求

解三角形面積還廣泛存在于平面解析幾何之中，能夠有效減少計(jì)算量，達(dá)到思路

明晰，解題高效之效果.

策略八：由外形結(jié)構(gòu)fx=ax2+bx，類比到等差數(shù)列性質(zhì)，秒得答案，注重由

直觀想象到邏輯推理的過渡.

解法8 在等差數(shù)列an中，Sn是其前n項(xiàng)和，若Sm=Snm≠n，那么Sm+n=0.

結(jié)合fx1=fx2x1≠x2，立馬可得：fx1+x2=0.

評注 類比思想可以在此處得到了最大的恩寵，一時間復(fù)雜的問題在此刻得到了

瞬間的釋放，這才是真正的秒解！是運(yùn)氣？是福氣？都不是，是能力的完美體現(xiàn)！

是日積月累的思考與探究！發(fā)現(xiàn)新的事物往往是由所熟悉的事物進(jìn)行遷移類比產(chǎn)生猜想，然后依賴于嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐评碚撟C進(jìn)行驗(yàn)證.猜想是做學(xué)問和鍛煉創(chuàng)新思維的出發(fā)點(diǎn)，證明則是推理驗(yàn)證的落腳點(diǎn)與最終歸宿.此題只要能通過類比想到，可

以做到比前面任何一種解法都要快，效率都要高，真可謂妙不可言！

三、解題反思

縱觀以上8種不同解法，可以說一種更比一種妙！實(shí)際上一題多解更夠很好的幫助學(xué)生構(gòu)建更加完善的知識體系，通過讓學(xué)生比較分析，會進(jìn)一步認(rèn)清哪些只是較為一般的解法，哪些是比較有創(chuàng)新的思路，哪種解法更簡單等，這樣能夠使得大家的思維更開闊、更清晰，從而靈活地把握知識間的橫向關(guān)系與縱向聯(lián)系，提高在解決問題中的能力，培養(yǎng)學(xué)生審慎的解題習(xí)慣，發(fā)揮學(xué)生的創(chuàng)造性.

參考文獻(xiàn)：

[1]全剛.“一題多解”讓知識更系統(tǒng)[J].理科考試研究，2014，21（21）：91.

[2]廣東省教育考試院.廣東高考年報（2019）[M].廣州：廣東高等教育出版社，2020，3（157）.

[3]余鐵青.解題要有道 方法更重要——例談利用函數(shù)對稱性解高考題[J].中學(xué)數(shù)學(xué)，2020（13）：51-52.

[責(zé)任編輯：李 璟]