關(guān)于模型思想在中學(xué)數(shù)學(xué)幾何中的運用及反思

謝秀兵

摘 要：高中數(shù)學(xué)幾何涉及很多模型.教學(xué)中注重模型思想的講解與應(yīng)用，能很好的提高學(xué)生的解題能力，促進學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成績的顯著提升.本文重點講解了墻角模型、對棱相等模型以及等體積模型，探討模型的相關(guān)運用與反思，以供參考.

關(guān)鍵詞：模型思想;高中數(shù)學(xué);幾何;運用;反思

中圖分類號：G632文獻標(biāo)識碼：A文章編號：1008-0333（2021）04-0009-02

高中數(shù)學(xué)幾何教學(xué)中，既要注重幾何相關(guān)理論知識的講解，鍛煉學(xué)生空間想象能力，又要注重模型思想的講解，尤其應(yīng)結(jié)合具體例題，為學(xué)生展示幾何模型在解題中的具體應(yīng)用，并根據(jù)學(xué)生學(xué)習(xí)情況，做好模型思想教學(xué)的反思，做好細(xì)節(jié)上的優(yōu)化與調(diào)整，不斷提高學(xué)生運用模型思想解答幾何問題的水平與能力.

一、立體幾何中的模型概述

高中數(shù)學(xué)幾何模型中墻角模型、對棱相等模型以及等體積模型是各類測試考查的熱點，因此，課堂上應(yīng)與學(xué)生一起進行分析，推導(dǎo)相關(guān)的結(jié)論.

1.墻角模型

對于柱體而言，找到三條兩兩垂直的棱，便可求出其外接圓的半徑，外接圓的表面積、體積等問題也就迎刃而解.設(shè)三條棱長分別為a、b、c，將柱體補成長方體，設(shè)其外接圓半徑為R，則滿足（2R）2=a2+b2+c2，即，R=a2+b2+c22.

2.對棱相等模型

對棱模型是墻角模型的延伸.三棱錐中三組對棱分別相等，設(shè)為x、y、z，則其外接圓半徑R=x2+y2+z28.研究該模型時可將其放到長方體中，因長方體的對棱相等，因此，連接對棱使其構(gòu)成一個三棱錐.設(shè)長方體的長、寬、高為a、b、c，由勾股定理列方程組，不難推出R=a2+b2+c22=x2+y2+z28.

3.等體積模型

等體積模型在解答三棱錐點到面的距離中較為常用，即，通過題干中的已知參數(shù)求解出三棱錐的體積后，通過換底便可求解頂點到面的距離.如知道三棱錐O-ABC的體積VO-ABC，而且根據(jù)已知條件容易求得△OAC、△OAB、△OBC的面積，則可求出點B、點C、點A到面OAC、OAB、OBC的距離.

二、模型思想在幾何教學(xué)中的應(yīng)用

1.墻角模型的應(yīng)用

如圖1在三棱錐P-ABC中，PA⊥底面ABC，AB⊥BC，若PA=AB=BC=2，E、F分別為PB、PC的中點，則三棱錐P-AEF的外接球的表面積為（）.

圖1

A.2π B.3π C.4π D.5π

應(yīng)用墻角模型解題時應(yīng)注重結(jié)合已知條件以及所學(xué)的立體幾何知識判斷其是否符合模型條件.∵PA⊥底面ABC，則BC⊥PA，又∵BC⊥AB，PA∩AB=A，BC⊥平面PAB，則BC⊥PE、BC⊥AE，又∵E、F分別為PB、PC的中點，則EF∥BC，又∵PA=AB，則AE⊥PE，則PE、AE、EF滿足兩兩垂直，顯然其符合墻角模型.又∵EF=1，PE=AE=2，則直接代入墻角模型R=a2+b2+c22=52，則S=4πR2=4π×54=5π，正確選項為D.

2.對棱相等模型的應(yīng)用

在三棱錐P-ABC中，若PA=PB=BC=AC=5，PC=AB=42，則其外接球的表面積為（）.

A.41πB.41π2 C.41π3D .41π4

繪制草圖不難發(fā)現(xiàn)，PA與BC為對棱、PB與AC為對棱、PC與AB為對棱，與對棱相等模型情境相符，因此，可直接套用對棱相等模型，R=x2+y2+z28=25+25+328=412，則其外接球表面積S=4πR2=4π×414=41π，正確選項為A.

3.等體積模型的應(yīng)用

如圖2三棱錐O-ABC的側(cè)棱OA、OB、OC兩兩垂直，且OA=1，OB=OC=2，E是OC的中點，求點C到平面ABE的距離.

圖2

解答該題可以三棱錐A-BCE為研究對象，求出該三棱錐的體積以及△ABE的面積便可求出點C到平面ABE的距離.由已知條件可知AB=OB2+AO2、BE=OB2+OE2、AE=AO2+OE2，容易求得AB=5、BE=5、AE=2，在△ABE中，AE邊上的高h(yuǎn)=BE2-（12AE）2=322.容易求得S△ABE=12AE·h，S△BEC=12BO·EC，設(shè)點C到平面ABE的距離為d，由VA-BEC=VC-ABE，整理得到，BO·EC·AO=AE·h·d，易得d=23，即點C到平面ABE的距離為23.

三、模型思想在幾何教學(xué)中的運用反思

高中數(shù)學(xué)幾何教學(xué)中融入模型思想，結(jié)合學(xué)生在課堂上的表現(xiàn)以及掌握、運用幾何模型情況，做如下反思：

首先，應(yīng)將模型思想納入教學(xué)重點.學(xué)生在解題的過程中，只要符合模型的條件，便可直接套用模型結(jié)論，可簡化解題過程，使學(xué)生在解題中少走彎路，大大提高解題正確率，尤其對于一些空間想象能力較弱的學(xué)生而言，采用幾何模型解題是一種很好的解題思路，因此，教學(xué)中應(yīng)認(rèn)識到模型思想的重要性，將其納入教學(xué)的重要內(nèi)容，認(rèn)真匯總幾何中的常見模型，在課堂上給予學(xué)生針對性的講解.

其次，教學(xué)中應(yīng)注重調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)積極性.為使學(xué)生充分把握幾何模型本質(zhì)，領(lǐng)悟各種幾何模型思想的精髓，提高其應(yīng)用模型思想解題的意識與能力，既要注重在課堂上與學(xué)生積極互動，營造寬松活潑的課堂氛圍，又要做好課堂教學(xué)規(guī)劃，靈活運用多媒體技術(shù)、小組比賽教學(xué)法、合作學(xué)習(xí)法等開展教學(xué)工作，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，在學(xué)生的頭腦中留下深刻的印象，為其正確、高效的應(yīng)用幾何模型解題做好鋪墊.

最后，鼓勵學(xué)生多進行幾何模型的探究.教學(xué)中應(yīng)鼓勵學(xué)生利用課下時間進行幾何模型的探究，推導(dǎo)一些幾何模型結(jié)論，并根據(jù)學(xué)生的探究情況給予針對性的表揚，使其感受到幾何模型探究的成就感，更加積極主動的進行幾何模型的探究.同時，為提高學(xué)生的模型思想應(yīng)用能力，應(yīng)要求其做好常幾何模型總結(jié)，深刻把握幾何模型的特點，在解題中能夠融會貫通，舉一反三，實現(xiàn)數(shù)學(xué)解題水平的顯著提升.

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[責(zé)任編輯：李 璟]