如何用數(shù)學(xué)思想解答物理題

胡家愿

摘 要：數(shù)學(xué)思想是對數(shù)學(xué)事實(shí)與理論經(jīng)過概括后產(chǎn)生的本質(zhì)認(rèn)識.眾所周知，數(shù)學(xué)與物理有著密切的聯(lián)系，在數(shù)學(xué)思想指引下，有助于學(xué)生更好的找到解題思路，提高學(xué)生的解題能力，因此教學(xué)中應(yīng)注重運(yùn)用數(shù)學(xué)思想進(jìn)行解答，不斷提高學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)思想解題的意識與能力.

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)思想;高中物理;解題;探討

中圖分類號：G632文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A文章編號：1008-0333（2021）04-0085-02

高中物理解題中常用的數(shù)學(xué)思想較多，主要有數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)與方程思想、歸納推理思想等.為使學(xué)生牢固的掌握這些思想，靈活用于解答相關(guān)的物理習(xí)題，教學(xué)中應(yīng)注重為學(xué)生講解相關(guān)理論，并優(yōu)選與講解相關(guān)例題，使學(xué)生掌握運(yùn)用數(shù)學(xué)思想解答物理題的思路與方法.

一、數(shù)形結(jié)合思想解答物理題“數(shù)”與“形”有著密切的聯(lián)系.“數(shù)”使得人們對“形”的研究更加細(xì)致、入微，而“形”可直觀的展示“數(shù)”的一些規(guī)律.高中物理教學(xué)中應(yīng)注重解題中常用的“形”，如三角形、平行四邊形、圓形等，其中三角形、平行四邊形在力、速度的分解中較為常用，而圓形常用于解答粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)問題.教學(xué)中為使學(xué)生掌握應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想解答物理習(xí)題的一些細(xì)節(jié)，應(yīng)注重篩選與講解經(jīng)典的例題，為其在解題中正確的應(yīng)用奠定堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ).

例1 如圖1所示，一勻強(qiáng)磁場分布在半徑為R的半圓形區(qū)域中，方向

與紙面垂直，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B.一帶電量為q，質(zhì)量為m的粒子，以一定的速度沿垂直于半圓直徑AD方向經(jīng)P點(diǎn)射入磁場（AP=d），忽略粒子的重力.如粒子從Q點(diǎn)射出，出射方向和半圓在Q點(diǎn)切線方向的夾角為φ，求入射粒子的速度.

該題目難度中等，主要考查粒子在磁場中的運(yùn)動(dòng)知識.解答該題的關(guān)鍵在于找到正確的角度、線段關(guān)系，因此，需要繪制相關(guān)圖形，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想進(jìn)行求解.根據(jù)所學(xué)求解粒子的入射速度，需找到其做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)的半徑.根據(jù)描述，繪制如圖2所示的圖形：

圖2

分別做粒子入射、出射方向的兩條垂線交于點(diǎn)O1，則O1即為粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的圓心.借助圖形確定粒子運(yùn)動(dòng)的半徑，便可順利解答該題.

設(shè)半徑為r.由幾何知識可得∠OQO1=φ，OO1=r-（d-R），由余弦定理可得|OO1|2=R2+r2-2rRcosφ，又∵qvB=mv2r，

聯(lián)立以上各式解得v=qBd（2R-d）2[R（1+cosφ）-d]

二、函數(shù)與方程思想解答物理題

函數(shù)與方程思想是一種重要的數(shù)學(xué)思想，在求解某一參數(shù)的最值問題中應(yīng)用廣泛.教學(xué)中為使學(xué)生牢固掌握，靈活應(yīng)用該思想解答物理習(xí)題，既要注重相關(guān)例題的講解，又要組織學(xué)生開展針對性的訓(xùn)練活動(dòng).通過講解例題使學(xué)生感受運(yùn)用函數(shù)與方程思想解題的過程，通過訓(xùn)練進(jìn)一步深化學(xué)生理解，積累相關(guān)的解題經(jīng)驗(yàn)與技巧，在以后解答相關(guān)問題時(shí)少走彎路，迅速突破.

例2 如圖3一開口向下半徑為R的光滑絕緣半球

圖3

面，固定在水平面上.整個(gè)空間存在方向豎直向下的勻強(qiáng)磁場，一質(zhì)量為m，電荷量為q的小球p在球面上做水平的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，圓心為O′.圓心到該圓周上任意點(diǎn)的連線與豎直方向的夾角為θ（0<θ<π2），求使小球在該圓周上運(yùn)動(dòng)時(shí)磁感應(yīng)強(qiáng)度的最小值.

該例題創(chuàng)設(shè)的情境較為新穎.很多學(xué)生看到該題目不知如何下手，教學(xué)中應(yīng)鼓勵(lì)學(xué)生運(yùn)用所學(xué)，根據(jù)題干情境構(gòu)建相關(guān)的方程，而后將方程聯(lián)立、整理，將其轉(zhuǎn)化為方程問題，運(yùn)用函數(shù)與方程思想解答.

以小球?yàn)檠芯繉ο髮ζ溥M(jìn)行受力分析，設(shè)球面的對其的彈力為N，在豎直方向上Ncosθ-mg=0;水平方向上洛倫茲力與彈力分量的合力提供做圓周的向心力，即，F(xiàn)-Nsinθ=mv2r，有因?yàn)镕=qvB，r=Rsinθ，

聯(lián)立以上各式得到：

v2-qBRsinθmv+gRsin2θcosθ=0

該方程要想有解，需滿足

Δ=（qBRsinθm）2-4gRsin2θcosθ≥0

得到B≥2mqgRcosθ

因此磁感應(yīng)強(qiáng)度B的最小值為Bmin=

2mqgRcosθ.

三、歸納推理思想解答物理題

運(yùn)用歸納推理思想解答物理習(xí)題對學(xué)生的綜合素質(zhì)要求較高，不僅需要掌握扎實(shí)的物理知識，而且還應(yīng)具備靈活的思維，能夠從求解的參數(shù)中尋找內(nèi)在規(guī)律.教學(xué)中為使學(xué)生掌握該解題思想，應(yīng)注重為學(xué)生認(rèn)真剖析相關(guān)例題，并鼓勵(lì)學(xué)生做好解題總結(jié)，不斷分析，彌補(bǔ)運(yùn)用歸納推理思想解題的不足，尤其鼓勵(lì)學(xué)生相互分享解題經(jīng)驗(yàn)，多虛心向他人請教.

例3 如圖4甲所示，在平行邊界MN、PQ之間存在寬為l，方向平行于紙面且與邊界垂直的變化電場，變化規(guī)律如圖4乙所示.在MN、PQ兩側(cè)足夠大的區(qū)域有方向垂直紙面向外，大小相同的勻強(qiáng)磁場，一忽略重力的帶電粒子，從t=0時(shí)，自邊界上某點(diǎn)由靜止第一次經(jīng)電場加速后，以速度v1垂直邊距MN第一次射入磁場中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，接著第二次進(jìn)入電場中做加速運(yùn)動(dòng)而后垂直邊界PQ的第二次進(jìn)入磁場中運(yùn)動(dòng)，已知粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)時(shí)電場區(qū)的場強(qiáng)為零，求粒子第n次經(jīng)過電場所用的時(shí)間.

圖4

該題目難度較大，教學(xué)中應(yīng)與學(xué)生一起分析粒子運(yùn)動(dòng)過程，使學(xué)生對粒子的運(yùn)動(dòng)規(guī)律有個(gè)更為清晰的認(rèn)識，而后鼓勵(lì)其列出方程，歸納推理出參數(shù)之間的關(guān)系.

設(shè)粒子的質(zhì)量以及電荷量分別為m，q，第一次與第三次在磁場中的運(yùn)動(dòng)半徑為r1，r3，第二次、第三次出電場時(shí)的速度為v2，v3，在第一、二、三次在電場中運(yùn)動(dòng)時(shí)的場強(qiáng)大小分別為E1、E2、E3.

則由動(dòng)能定理可得：

E1ql=12mv12，

E1ql+E2ql=12mv22，

E1ql+E2ql+E3ql=12mv32，

由電場變化規(guī)律可得E1∶E2∶E3=1∶3∶5

聯(lián)立各式可得v1∶v2∶v3=1∶2∶3.

設(shè)粒子第n次進(jìn)入電場時(shí)的速度為vn-1，出電場時(shí)的速度為vn，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為tn，根據(jù)上述結(jié)論可歸納推理出vn=nv1，vn-1=（n-1）v1.

由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式可得：vn-1+vn2tn=l，

解得tn=2l（2n-1）v1=22n-1ml2E1q.

高中物理習(xí)題多種多樣.部分習(xí)題需要運(yùn)用數(shù)學(xué)思想進(jìn)行解答，因此教學(xué)中應(yīng)提高認(rèn)識，做好物理解題中常用數(shù)學(xué)思想的歸納，結(jié)合學(xué)生所學(xué)的物理知識，有針對性的篩選相關(guān)的習(xí)題，為學(xué)生逐一講解數(shù)學(xué)思想在解題中的應(yīng)用，使其掌握不同數(shù)學(xué)思想在解題中的應(yīng)用思路、技巧，為其更好的應(yīng)用于解題中做好鋪墊.

參考文獻(xiàn)：

[1]鄭德友.淺談高中物理極值問題中的數(shù)學(xué)方法[J].物理教學(xué)，2019，41（09）：13-15.

[2]涂鵬宇.淺談高中物理中的數(shù)學(xué)方法[J].科技風(fēng)，2018（15）：30-31.

[3]陳佳欣.高中物理力學(xué)學(xué)習(xí)中數(shù)學(xué)方法的應(yīng)用[J].中國高新區(qū)，2018（01）：85.

[4]陳宇昊.淺談數(shù)學(xué)方法在高中物理電磁學(xué)中的應(yīng)用[J].農(nóng)家參謀，2017（21）：165.

[責(zé)任編輯：李 璟]