高斯函數(shù)x 性質(zhì)及其應(yīng)用

文貴雙

摘 要：高斯函數(shù)是一個(gè)有名的特殊的函數(shù).教材以及各類考試中經(jīng)常出現(xiàn)有關(guān)高斯函數(shù)的試題.文章列舉了高斯函數(shù)的性質(zhì)，舉例說明高斯函數(shù)在考試中的各種應(yīng)用.

關(guān)鍵詞：高斯函數(shù);高考試題;教材

中圖分類號：G632文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A文章編號：1008-0333（2021）04-0051-03

高考試題根植于教材，但又不斷創(chuàng)新，將教材內(nèi)容與高等數(shù)學(xué)巧妙結(jié)合，成為高考、競賽的熱點(diǎn).高斯函數(shù)就是一個(gè)好的結(jié)合點(diǎn)，高斯函數(shù)出現(xiàn)在教材的習(xí)題中，各類考試中都有高斯函數(shù)的“倩影”，此類問題新穎靈活，能更好考查學(xué)生的思維品質(zhì)和數(shù)學(xué)素養(yǎng).

高斯函數(shù)也叫取整函數(shù).取整函數(shù)x表示不大于x的最大整數(shù)，且由于對于任意的實(shí)數(shù)x，對應(yīng)的函數(shù)值x都是整數(shù)，故稱函數(shù)y=x 為取整函數(shù).

x滿足下面幾條簡單性質(zhì)

（1）x 是整數(shù).

（2）x≤x<x+1.

（3）取整函數(shù)是一個(gè)不減函數(shù)，即對任意x1，x2∈R， 若x1<x2，則x1≤x2

（4） 若x，y∈R，則x+y≤x+y≤x+y+1

（5） 若n是正整數(shù)，x∈R，則nx≥nx

（6） 若m是整數(shù)，則x+m=x+m，y=x的圖象如圖1所示.其圖象是一組階高為1的平行與x軸的線段，不包括右端點(diǎn)，這組平行線段成階梯狀，故取整函數(shù)亦稱階梯函數(shù).

而函數(shù)f（x）=x-x稱為x的非負(fù)純小數(shù)部分，并用“x”表示.任意一個(gè)實(shí)數(shù)都能寫成整數(shù)與非負(fù)純小數(shù)之和，即：x=x+x，其中x∈[0，1）稱為小數(shù)部分函數(shù).f（x）=x-x圖象如圖2所示，是一個(gè)周期函數(shù).

高斯函數(shù)x是一個(gè)非常有趣的數(shù)論函數(shù)，在許多數(shù)學(xué)分支中都有廣泛的應(yīng)用，在高中數(shù)學(xué)競賽和高考試題中也經(jīng)常出現(xiàn)與高斯函數(shù)有關(guān)的試題. 由于高斯函數(shù)x性質(zhì)不如初等函數(shù)（利如二次函數(shù)，指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)）多，使用起來不方便.所以涉及取整函數(shù)x的題目，有其特殊的技巧，下面舉例說明其解法.

一、有關(guān)高斯函數(shù)求值題

例1 Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，且a1=1，S7=28.記bn=[lgan]，其中[x]表示不超過x的最大整數(shù)，如[0.9]=0，[lg99]=1.

（1）求b1，b11，b101;

（2）求數(shù)列{bn}的前1000項(xiàng)和.

解 （1）設(shè)an的公差為d，S7=7a4=28，由a4=4，得d=a4-a13=1，an=a1+（n-1）d=n.故b1=lga1=lg1=0，b11=lga11=lg11=1，b101=lga101=lg101=2.

（2）記bn的前n項(xiàng)和為Tn，則T1000=b1+b2+…+b1000=lga1+lga2+…+lga1000.

當(dāng)0≤lgan<1時(shí)，n=1，2，…，9;

當(dāng)1≤lgan<2時(shí)，n=10，11，…，99;

當(dāng)2≤lgan<3時(shí)，n=100，101，…，999;

當(dāng)lgan=3時(shí)，n=1000.

故T1000=0×9+1×90+2×900+3×1=1893

例2 求 log21+log22+log23+…+log22012的值.

解 log21=0，log22=1，log23=1，log24=log25=log26=log27=2，

當(dāng)2k≤n<2k+1時(shí)，log2n=k，k，n是自然數(shù)，故有：

原式=0+1×（22-2）+2×（23-22）+…+9×（210-29）+10×（2012-1023）

=1×2+2×22+3×23+…9×29+9890=8194+9890=18084

評注 例1，例2不需要什么技巧，只要理解取整函數(shù)的概念即可解決問題.

二、有關(guān)高斯函數(shù)圖象題

例3 已知x∈R，若函數(shù)f（x）=xx-a，（x≠0）有且有3個(gè)零點(diǎn)，則a的取值范圍是（）.

A.34，45∪43，32B.34，45∪43，32

C.12，23∪54，32D.12，23∪54，32

圖3

解 f（x）=xx-a的零點(diǎn)，就是方程x=ax，（x≠0）的根，即為函數(shù)y=x，y=ax，（x≠0）交點(diǎn)的橫坐標(biāo).作出兩函數(shù)圖象可知選A.

例4 已知x∈R，符號x表示不超過x的最大整數(shù).若函數(shù)f（x）=x-mx-m，其中m∈N*，則給出以下四個(gè)結(jié)論其中正確的是（）.

A.函數(shù)f（x）在m+1，+SymboleB@上的值域?yàn)?2，1

B.函數(shù)f（x）圖象關(guān)于直線x=m對稱

C.函數(shù)f（x）在m，+SymboleB@是減函數(shù)

D.函數(shù)f（x）在m+1，+SymboleB@上的最小值為12.

圖4

解 函數(shù)f（x）=xx中，當(dāng)0<x<1時(shí)，f（x）=0;當(dāng)1≤x<2時(shí)，f（x）=1x;當(dāng)2≤x<3時(shí)，f（x）=2x;……函數(shù)f（x）=xx在（0，+SymboleB@）值域是12，1，將函數(shù)f（x）=xx的圖象向右平移m個(gè)單位得到f（x）=x-mx-m的圖像，故選A.

評注 熟練地掌握函數(shù)y=x，f（x）=x-x，f（x）=xx的圖像，由圖定奪.

三、有關(guān)高斯函數(shù)方程題

例5 解方程5+6x8=15x-75解 令15x-75=n（n∈Z），則x=5n+715，代入原方程得：10n+3940=n，由取整函數(shù)的定義有0≤10n+3940-n<1，解得：-130<n≤1310，則n=0，1.當(dāng)n=0時(shí)，則x=715;當(dāng)n=1時(shí)，則x=45.

例6 解方程1+x2+3-2x=2

解 設(shè)1+x2=n，3-2x=m，則原方程 n+m=2，且有 n≤1+x2<n+1，m≤3-2x<m+1，即2n-1≤x<2n+1，1-m2<x≤3-m2，結(jié)合這兩個(gè)不等關(guān)系，得

1-m2<2n+12n-1≤3-m2，即-m<4n4n<5-m，又m=2-n，解得n=0，n=1，進(jìn)而可得n=0m=2，n=1m=1，得到方程的解為0<x≤12與x=1.

評注 型如ax+b=cx+d或ax+b+cx+d=e的方程通常利用取整函數(shù)的定義與性質(zhì)，結(jié)合換元法求解.

四、有關(guān)高斯函數(shù)的數(shù)列題

例7 記[x]為不超過實(shí)數(shù)x的最大整數(shù)，例如，[2]=2，[1.5]=1，[-0.3]=-1.設(shè)a為正整數(shù)，數(shù)列xn滿足x1=a，xn+1=[xn+[axn]2]（n∈N*），現(xiàn)有下列命題：

①當(dāng)a=5時(shí)，數(shù)列xn的前3項(xiàng)依次為5，3，2;

②對數(shù)列xn都存在正整數(shù)k，當(dāng)n≥k時(shí)總有xn=xk;

③當(dāng)n≥1時(shí)，xn>a-1;

④對某個(gè)正整數(shù)k，若xk+1≥xk，則xn=[a].

其中的真命題有.（寫出所有真命題的編號）

解 當(dāng)a=5時(shí)，x1=a=5 x2=5+552=3，x3=[3+[53]2]=2，故①正確;

當(dāng)a=1時(shí)，x1=1，x2=x3=…=xn=1，但當(dāng)a=3時(shí)，x1=3，x2=2，x3=1，x4=2，x5=1，x6=2，x7=1，…，此時(shí)可以看出數(shù)列xn，從第二項(xiàng)起是以2為周期重復(fù)出現(xiàn)，不存在正整數(shù)k，使得當(dāng)n≥k時(shí)總有xn=xk，故②不正確.

對于③，x1=a>a-1成立，因xn是整數(shù)，故若 xn+axn是正奇數(shù)，則xn+1=xn+axn-12>xn+axn-22≥2a-12>a-1，若xn+axn是正偶數(shù)，xn+1=xn+axn2>xn+axn-12≥2a-12>a-1.

綜上知③正確.對于④，由xk+1≥xk得axk-xk≥0，axk-xk≥axk-xk≥0，xk≤a;結(jié)合③有a-1<xk≤a，因此有xk=a，④正確. 綜上知真命題是①③④.

評注 本題借用取整函數(shù)，構(gòu)造一個(gè)新數(shù)列，主要考查數(shù)列知識的靈活應(yīng)用和推理論證能力.本題是取整函數(shù)（高斯函數(shù)）與數(shù)列二者交匯而成，設(shè)計(jì)新穎，構(gòu)思精妙，難度較大.解此類題的關(guān)鍵是理解函數(shù)x的意義.

參考文獻(xiàn)：

[1]蔣孝國.數(shù)學(xué)競賽中的高斯函數(shù)[J].數(shù)學(xué)通訊，2015（19）：45-48.

[責(zé)任編輯：李 璟]