中職“直線與圓錐曲線”專(zhuān)題解題分析

李士榮

摘 要：圓錐曲線題型多樣、解法靈活，對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)綜合性思維提出了較高的要求.但此類(lèi)題型也不乏有規(guī)律可循，如直線與圓錐曲線類(lèi)題型，其常見(jiàn)考查題型包括直線與圓錐曲線的基礎(chǔ)性之應(yīng)用、位置關(guān)系、弦長(zhǎng)及中點(diǎn)弦、最值和應(yīng)用證明類(lèi)等.因此，本文針對(duì)以上四點(diǎn)內(nèi)容，對(duì)“直線與圓錐曲線”開(kāi)展專(zhuān)題解題分析.

關(guān)鍵詞：直線;圓錐曲線;專(zhuān)題解析

中圖分類(lèi)號(hào)：G632文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：1008-0333（2021）04-0018-02

直線與圓錐曲線類(lèi)題型，是一種兼具對(duì)學(xué)生基礎(chǔ)考察和能力檢測(cè)的題型.當(dāng)此類(lèi)題型出現(xiàn)在選擇、填空及解答題型中時(shí)，往往是出于學(xué)生對(duì)圓錐曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程等基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)的考察，只要學(xué)生們按部就班、仔細(xì)研判，通常不難得到正確答案.而當(dāng)此類(lèi)題型出現(xiàn)在解答題中，往往會(huì)與圓錐曲線的軌跡、位置、弦長(zhǎng)、最值等相關(guān)聯(lián)，需要學(xué)生能夠融合函數(shù)、方程、幾何等知識(shí)點(diǎn)，并對(duì)數(shù)形結(jié)合、空間想象及復(fù)雜類(lèi)計(jì)算等能力實(shí)施考察.

一、直線與圓錐曲線的基礎(chǔ)性質(zhì)類(lèi)題型

對(duì)于直線與圓錐曲線基礎(chǔ)性質(zhì)類(lèi)問(wèn)題，其往往是考察一個(gè)圓錐曲線與一條或多條直線之間的組合關(guān)系，又或者是與其它平面圖形相聯(lián)系，對(duì)學(xué)生關(guān)于圓錐曲線知識(shí)點(diǎn)的掌握進(jìn)行全面考察.結(jié)合長(zhǎng)期的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，針對(duì)此類(lèi)基礎(chǔ)類(lèi)題型，可以通過(guò)采用待定系數(shù)法的方式，從而實(shí)現(xiàn)快速求解.

圖1例1 已知雙曲線的兩個(gè)定點(diǎn)分別為A、B，且點(diǎn)M為雙曲線上的任意一點(diǎn)，其中點(diǎn)A、B、M組成的△ABM為等腰三角形，其鈍角為120°，求雙曲線的離心率.

分析 結(jié)合題中已知條件可知，欲求解本題，等腰三角形是最重要的條件.不妨使用待定系數(shù)法，假設(shè)雙曲線方程，利用等腰性質(zhì)實(shí)現(xiàn)求解.

解析 假設(shè)雙曲線的方程為

x2a2-y2b2=1（a>0，b>0），由于△ABM為等腰三角形，可知

|AB|=|BM|，∠ABM=120°

.此時(shí)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)M做x軸的垂線MN交x軸于點(diǎn)N.于是，在此Rt△NBM中，|BN|=a，|MN|=3a，此時(shí)，結(jié)合雙曲線的性質(zhì)c2=a2+b2，及離心率表達(dá)式e=ca（e>1）.綜上可知，c2=2a2，離心率e=2.

二、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系類(lèi)題型

求解直線與圓錐曲線的位置關(guān)系時(shí)，待定系數(shù)法往往是最直接的方法，通過(guò)假設(shè)直線方程為Ax+By+C=0（A，B不同時(shí)為0），利用待定系數(shù)的方法，將其代入圓錐曲線的表達(dá)式，此時(shí)，利用消元法消去其中一個(gè)未知數(shù)，得到關(guān)于另外一個(gè)未知數(shù)的方程，再分類(lèi)討論a≠0及a=0的情況下，便可實(shí)現(xiàn)判斷.

例2 已知拋物線C：y2=3x，F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn)，此時(shí)斜率為32的直線l與拋物線C的交點(diǎn)為A和B，并與x軸交于P點(diǎn)，若有關(guān)系式|AF|+|BF|=4，試求此時(shí)直線l的方程.

分析 針對(duì)此題，可以利用待定系數(shù)法假設(shè)直線l的方程，再與拋物線聯(lián)立方程組消元求解，并結(jié)合交點(diǎn)個(gè)數(shù)，求解直線方程.

解析 假設(shè)直線l的方程為y=

32x+t，點(diǎn)A（x1，y1）、B（x2，y2）.將其代入拋物線方程C聯(lián)立方程組得到

y=32x+ty2=3x，消元并化簡(jiǎn)后得到

94x2+（3t-3）x+t2=0.結(jié)合已知條件，直線與拋物線存在兩個(gè)交點(diǎn)，利用一元二次方程的韋達(dá)定理得到Δ>0，即可得Δ=（3t-3）2-4×94t2>0，求解得到t<12，x1+x2=4×（3-3t）9.結(jié)合|AF|+|BF|=4，得到x1+x2=52，結(jié)合x(chóng)1+x2=4×（3-3t）9，求得t=-78，且滿足Δ>0.綜上可知，直線l的方程為12x-8y-7=0.

三、直線與圓錐曲線的弦長(zhǎng)類(lèi)問(wèn)題

直線與圓錐曲線弦長(zhǎng)類(lèi)問(wèn)題最具代表性的即是中點(diǎn)弦的計(jì)算，處理中點(diǎn)弦的常見(jiàn)方法包括點(diǎn)差法和根與系數(shù)的關(guān)系.點(diǎn)差法，顧名思義，即是將弦兩端點(diǎn)坐標(biāo)帶入圓錐曲線方程，并兩兩相減，得到x1+x2、y1+y2、y1-y2x1-x2三個(gè)未知量.此時(shí)即可將中點(diǎn)與直線斜率相結(jié)合.根與系數(shù)的關(guān)系，指的是聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程得到方程組，化為一元二次方程后由根與系數(shù)的關(guān)系求解.

例3 已知雙曲線x2-y23=1上分別有兩點(diǎn)M、N關(guān)于直線y=x+m

對(duì)稱(chēng)，其中MN的中點(diǎn)在拋物線y2=18x上，試求實(shí)數(shù)m的取值.

分析 本題雖說(shuō)包含直線、雙曲線和拋物線，并存在交點(diǎn)、中點(diǎn)等，但若是利用點(diǎn)差法，假設(shè)處各個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，聯(lián)立方程組，并結(jié)合已知條件，便可實(shí)現(xiàn)順利求解.

解析 首先假設(shè)M（x1，y1）、N（x2，y2）、P（x0，y0），結(jié)合已知條件聯(lián)立方程組得到x21-y213=1x22-y223=1x1+x2=2x0y1+y2=2y0，聯(lián)立上兩式得到（x2-x1）（x2+x1）=13（y2-y1）（y2+y1），明顯x1≠x2.

于是可知，

y2-y1x2-x1·y2+y1x2+x1=3，即是kMN·y0x0=3.同時(shí)，結(jié)合已知條件M、N關(guān)于直線y=x+m對(duì)稱(chēng)，得到kMN=-1，即是y0=-3x0.同時(shí)有y0=x0+m，于是將點(diǎn)P帶入拋物線方程得到916m2=18·（-m4），最終解得m=0或-8均滿足條件.

四、直線與圓錐曲線的最值類(lèi)問(wèn)題

圓錐曲線最值問(wèn)題的題型眾多，但最終的求解方法無(wú)異于兩類(lèi).一是幾何求解方法，即是利用圓錐曲線的定義、性質(zhì)及定理等實(shí)施求解;二是利用代數(shù)的方法進(jìn)行求解，即是將最值求解的幾何量或表達(dá)式轉(zhuǎn)化成函數(shù)或不等式的形式進(jìn)行求解.

例4 已知橢圓

x24+y2=1，過(guò)橢圓左焦點(diǎn)作兩條互相垂直的直線，兩直線與橢圓相交于點(diǎn)A、B、C、D，則試問(wèn)四邊形ABCD最大值與最小值的差值為多少？

分析 針對(duì)該四邊形面積的最值求解，其最大值較為明顯，即是當(dāng)其中一條直線經(jīng)過(guò)通徑時(shí)，故本題的難點(diǎn)就在于判斷何時(shí)四邊形面積取得最小值.其核心方法就是建立關(guān)于面積變量的目標(biāo)函數(shù).

解析 當(dāng)BD⊥于x軸時(shí)，AC長(zhǎng)度為2a，則|BD|=2b2a，此時(shí)四邊形面積取得最大值，即是Smax=12·2a·2b2a=2b2=2.假設(shè)其中一條直線AC的方程表達(dá)式為y=kx-3k，通過(guò)與橢圓聯(lián)立方程組得到（14+k2）x2-23k2x+3k2-1=0.

設(shè)點(diǎn)A、C的坐標(biāo)為A（x1，y1）、C（x2，y2），得到Δ=b2-4ac=12k4-4（14+k2）（3k2-1）=k2+1，此時(shí)得到

|AC|=1+k2（x1+x2）2-4x1x2=1+k214+k2，同理得到|BD|=

1+（1k）214+（1k）2

=4+4k2k2+4，得到S=12|AC||BD|=8（1+k2）2（4k2+1）（k2+4）·（4k2+1）（k2+4）≤（4k2+1+k2+42）2=25（1+k2）24，可得S≥8（1+k2）2·425（k2+1）2=3225.

于是可知Smax-Smin=2-3225=1825.

總之，對(duì)于直線與圓錐曲線的試題類(lèi)型眾多，解題方法也是千變?nèi)f化.但無(wú)論如何，其基本考點(diǎn)無(wú)非是對(duì)圓錐曲線的概念、性質(zhì)、交點(diǎn)及軌跡等，有效求解方法無(wú)非是待定系數(shù)、點(diǎn)差法等.相對(duì)重點(diǎn)題型的一對(duì)一訓(xùn)練，更重要的還是從題干入手，結(jié)合各題的已知條件及類(lèi)型，找出針對(duì)性的求解方法，實(shí)現(xiàn)對(duì)癥下藥，從而快捷高效求解.

參考文獻(xiàn)：

[1]黃如炎.走出直線與圓錐曲線位置關(guān)系的教學(xué)困境[J].中學(xué)數(shù)學(xué)研究，2018（05）：1-3.

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