條件極值在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用研究

姚廷蘭 王杏

摘 要：不等式的證明是中學(xué)數(shù)學(xué)中不等式的核心內(nèi)容之一，既是重點也是難點，通?？刹捎帽容^法、綜合法、分析法、反證法與放縮法等來進行證明，在中學(xué)數(shù)學(xué)中占有重要的地位.為了更好地理解中學(xué)數(shù)學(xué)中涉及的不等式證明問題，本文擬應(yīng)用大學(xué)《數(shù)學(xué)分析》課程中的條件極值法來解決在中學(xué)階段中一些較難的不等式證明問題，為日后從事數(shù)學(xué)教學(xué)工作奠定一定的基礎(chǔ)，提高自己的專業(yè)能力.

關(guān)鍵詞：條件極值;中學(xué)數(shù)學(xué);不等式證明

中圖分類號：G632文獻標識碼：A文章編號：1008-0333（2021）04-0015-03

一、條件極值簡述條件極值是指在一定的約束條件下求解最值問題，其中拉格朗日乘數(shù)法就是最常用的方法之一.對于許多較難證明的不等式問題，一般可轉(zhuǎn)化為一定約束條件下求解最值問題，從而可以利用條件極值來解決不等式問題.下面介紹二元和n元的情況：

（1）用拉格朗日乘數(shù)法求解二元函數(shù)z=fx，y在約束條件φx，y=0下的條件極值步驟如下：

作輔助函數(shù)

Lx，y，λ=fx，y+λφx，y

再令Lx=Ly=Lλ=0，即是

Lx=x，y，λ=fxx，y+λφxx，y=0Ly=x，y，λ=fyx，y+λφyx，y=0Lλx，y，λ=φx，y=0

解上述方程組，可得到穩(wěn)定點p0x0，y0.

現(xiàn)需判斷該穩(wěn)定點是否為條件極值.如果是現(xiàn)實生活中的實際問題，由問題本身的性質(zhì)進行判斷;如果不是實際問題，可用二階微分法判斷.由此就可以把條件極值問題轉(zhuǎn)化為討論函數(shù)Lx，y，λ=fx，y+λφx，y的無條件極值問題.這種方法稱為拉格朗日乘數(shù)法，函數(shù)L稱為拉格朗日函數(shù)，輔助變量λ稱為拉格朗日乘數(shù).

（2）用拉格朗日乘數(shù)法求解n元函數(shù)z=

fX1，X2，…，Xn在約束條件φX1，X2，…，Xn=0下的條件極值步驟如下：（其中f，φkk=1，2，…，m在區(qū)域上都具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且雅可比矩陣φ1X1…φ1Xn…φmX1…φmXn的秩為m.）

作輔助函數(shù)

LX1，X2，…，Xn，λ1，λ2，…，λm=fX1，X2，…，Xn+∑mk=1λkφkX1，X2，…，Xn，其中λ1，λ2……λm為拉格朗日乘數(shù).

令LX1=LX2=…=LXn=Lλ1=Lλ2…Lλm=0，即

LX1=fX1+∑mk=1λkφkX1=0…LXn=fXn+∑mk=1λkφkXn=0Lλ1=φ1X1，X2，…，Xn=0…Lλm=φmX1，X2，…，Xn=0

解方程組得到可能的條件極值點，再根據(jù)題目判定.

因此，若用求函數(shù)條件極值的拉格朗日乘數(shù)法來解決中學(xué)數(shù)學(xué)中一些較難的不等式證明問題，就較為容易理解，如中學(xué)數(shù)學(xué)選修4-5以及高考真題中的不等式問題.

二、條件極值在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

1.在不等式問題中的應(yīng)用

條件極值在不等式證明問題中的應(yīng)用，先分析題目，需要找到約束條件和目標函數(shù)，進而轉(zhuǎn)化為條件極值問題.通過構(gòu)造輔助函數(shù)、求偏導(dǎo)、解方程組，

由此證明不等式.

例1 （2019年全國Ⅱ卷）已知a，b，c為正數(shù)，且滿足abc=1，證明：

（1）a2+b2+c2≥1a+1b+1c

（2）（a+b）3+（b+c）3+（c+a）3≥24

分析 此題可看作在約束條件下求兩個函數(shù)的最小值問題，進而用拉格朗日乘數(shù)法求解.

證明：（1）構(gòu)造輔助函數(shù)L（a，b，c，λ）=a2+b2+c2+λ（abc-1）

令La=2a+λbc=0Lb=2b+λac=0Lc=2c+λab=0Lλ=abc-1=0

解之，有a=b=c=1.

根據(jù)題意得，a2+b2+c2≥1a+1b+1c成立.

（2）構(gòu)造輔助函數(shù)L（a，b，c，λ）=（a+b）3+（b+c）3+（c+a）3+λ（abc-1）

令La=6a2+6ab+3b2+3c2+6ca=0Lb=6b2+6ab+3a2+3c2+6bc=0Lc=6c2+6ac+3b2+3a2+6bc=0Lλ=abc-1=0

解之，有a=b=c=1.

考慮到在abc=1中，當(dāng)a充分大時，（a+b）3+（b+c）3+（c+a）3的值可以充分大，從此題的實際出發(fā)，可推斷當(dāng)a=b=c=1時，函數(shù)（a+b）3+（b+c）3+（c+a）3的取得最小值24，所以有（a+b）3+（b+c）3+（c+a）3≥24.

例2 證明不等式nx1x2…xn≤x1+x2+…+xnn，其中xi≥0，i=1，2，…，n.

分析 根據(jù)題意，要想轉(zhuǎn)化為求條件極值問題，需要找到約束條件和目標函數(shù)，所以，設(shè)fx1，x2，…，xn=x1x2…xn，x1+x2+…+xn=m，問題就轉(zhuǎn)化為證明fx1，x2，…，xn=x1x2…xn在約束條件x1+x2+…+xn=m下的最大值為mnn.

證明：設(shè)fx1，x2，…，xn=x1x2…xn，x1+x2+…+xn=m，用拉格朗日乘數(shù)法，構(gòu)造輔助函數(shù)L（x1，x2，…，xn）=x1x2…xn+λ（x1+x2+…+xn-m）

由 Lx1=x2x3…xn+λ=0Lx2=x1x3…xn+λ=0…Lxn=x1x2…xn-1+λ=0Lλ=x1+x2+…+xn-m=0

解之，有唯一駐點mn，mn，…，mn，因此 mn，mn，…，mn為目標函數(shù)在約束條件下的最大值點或者最小值點.任意取滿足條件的另一點0，0，…，0，a代入fx1，x2，…，xn=x1x2…xn得f0，0，…，0，a=0.

又f0，0，…，0，a=0≤mnn=fmn，mn，…，mn，所以 mnn為fx1，x2，…，xn=x1x2…xn在x1+x2+…+xn=m下的最大值，即x1x2…xn≤mnn=（x1+x2+…+xnn）n，結(jié)論得證.

2.在函數(shù)問題中的應(yīng)用

在實際的問題解決中，也涉及到不等式證明的問題.一般在有約束條件的情況下，可構(gòu)造輔助函數(shù)，分別對變量進行求偏導(dǎo)，進而求解方程組，最后把結(jié)果代入目標函數(shù)中，即可證明.

例3 農(nóng)夫現(xiàn)需做一個容積為1立方米的圓木桶用于盛水，怎樣設(shè)計此木桶才能使用料最少？

分析：此題可看作是一個條件極值問題，容積為1立方米就是一個約束條件，如何使用料最省，就是看表面積的大小，表面積越小，用料就越少.

解 設(shè)圓木桶的底面半徑為 r，高為h，由題意可得容積V=πr2h=1，則表面積S=2πrh+2πr2.

構(gòu)造輔助函數(shù)

Fr，h，λ=2πrh+2πr2+λπr2h-1

求偏導(dǎo)，得到

Fr=2πh+4πr+2πrhλ=0Fh=2πr+πr2λ=0Fλ=πr2h-1=0

解得r=312π，h=34π.

根據(jù)題意得，當(dāng)r=312π，h=34π時，圓木桶的表面積最小，此時最省材料.

例4 （1）求周長一定面積最大的矩形;（2）求面積一定周長最短的矩形.

分析 這兩個小題均是已知約束條件求最值問題，采用求偏導(dǎo)數(shù)，列方程組求解的方法.

解 （1）設(shè)矩形的長為x，寬為y，則面積為S=xy（x>0，y>0）.

約束條件為 C=2x+2y

令L（x，y，λ）=xy+λ（2x+2y-C）

由Lx=y+2λ=0Ly=x+2λ=0Lλ=2x+2y-C=0解之，有x=y=C4.

所以，在所有周長相同的矩形中，正方形的面積最大.

（2）設(shè)矩形的面積為S，約束條件為xy=S，

令L（x，y，λ）=2x+2y+λ（xy-S）

由Lx=2+λy=0Ly=2+λx=0Lλ=xy-S=0

解之，有 x=y=S.

所以，所求周長最短的矩形存在，邊長為S的正方形的周長最短.

通過以上兩個問題的求解，可知在遇到有約束條件問題時，也可選擇用條件極值法求解，較簡便，容易下手.

3.在三角函數(shù)證明問題中的應(yīng)用

雖然條件極值在三角函數(shù)證明問題中的應(yīng)用較為不是太多，但若題目滿足條件極值法的條件時，也可通過找到約束條件和目標函數(shù)，然后構(gòu)造輔助函數(shù)，求偏導(dǎo)，解方程組，從而解決問題.

例5 若三角形的邊長為a，b，c及面積S，證明：a2+b2+c2≥43S，并求等號成立的條件.

證明 根據(jù)題意，由余弦定理c2=a2+b2-2abcosC和面積公式S=12absinC得：不等式a2+b2+c2≥43S等價于a2+b2+a2+b2-2abcosC-43·12absinC=2（a2+b2-abcosC-3absinC）≥0，可寫為a2+b2-abcosC-3absinC≥0.

令L（a，b，C）=a2+b2-abcosC-3absinC

由La=2a-bcosC-3bsinC=0Lb=2b-acosC-3asinC=0LC=absinC-3abcosC=0

解之，得tanC=3C=60°，將C=60°

代入上式解得a=b，L（a，b，C）=a2+b2-abcosC-3absinC有極小值，

所以a2+b2-abcosC-3absinC≥L（a，a，60°）=0，

即a2+b2+c2≥43S成立.

不等式問題貫穿于中學(xué)與大學(xué)中，應(yīng)用非常廣泛，而且還能開拓學(xué)生的思維能力，所以探究不同的方法解決不等式問題非常有必要.本文主要介紹了用《數(shù)學(xué)分析》中的條件極值法解決中學(xué)階段的部分不等式問題，將不等式問題轉(zhuǎn)化為條件極值問題，就可以利用條件極值法來解決不等式問題.實際上，利用多元函數(shù)的條件極值證明不等式，關(guān)鍵是選擇適當(dāng)?shù)哪繕撕瘮?shù)和相應(yīng)的約束條件，這種證明方法對于證明含有多個變量的不等式問題是有效可行的，值得研究.

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[責(zé)任編輯：李 璟]