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    數(shù)形結合,舞動點的坐標

    2021-09-10 07:22:44張新民李思蒙
    中國數(shù)學教育(初中版) 2021年3期
    關鍵詞:解題策略數(shù)形結合

    張新民 李思蒙

    摘? 要:數(shù)形結合是重要的數(shù)學思想. 利用數(shù)形結合思想在直角坐標系中求點的坐標是一類常見問題,也是解決與直角坐標系相關問題的基礎. 在解決問題的過程中,以明晰點的坐標的定義為出發(fā)點,基于圖形的特殊性,分析圖形的整體和局部,巧設點的坐標有助于有效地將數(shù)與形相結合,讓求點的坐標不再成為學生解決問題的障礙.

    關鍵詞:數(shù)形結合;發(fā)現(xiàn)與構造;解題策略

    《義務教育數(shù)學課程標準(2011年版)》(以下簡稱《標準》)中明確了“圖形與坐標”內容是由坐標與圖形位置、坐標與圖形運動兩部分構成. 綜觀2020年全國各地區(qū)中考數(shù)學試題,發(fā)現(xiàn)關于這部分內容的試題就其難度來說比較基礎. 因此,教師要按照《標準》的要求落實學生的基礎知識和基本技能. 由于“圖形與坐標”在很多代數(shù)與幾何綜合問題的解決中起著“工具”和“橋梁”的作用,所以這部分內容對于學生來說非常關鍵. 本文針對2020年中考數(shù)學“圖形與坐標”試題的特點,就幫助和引導學生透過問題的表面現(xiàn)象發(fā)現(xiàn)問題的本質,找到解決這一類問題的關鍵策略展開研究.

    一、溯源解題策略的關鍵點

    在研究了100多套2020年中考數(shù)學試卷中“圖形與坐標”試題后,發(fā)現(xiàn)該專題主要考查以下幾類問題:用坐標描述圖形的位置,坐標系下特殊圖形的性質研究,坐標系下圖形的變換,坐標系下坐標規(guī)律的探索,坐標系中函數(shù)的圖象及性質研究,等等.

    在解決這些中考試題的過程中,學生往往存在解題切入點不當、思路不清晰、方法不靈活、解題效率不高等情況. 造成這些情況的主要原因是學生不能抓住解題的關鍵點,無法發(fā)現(xiàn)試題的本質,最終不能靈活進行數(shù)與形之間的相互轉化. 經(jīng)過分析,不難發(fā)現(xiàn)“圖形與坐標”試題離不開平面直角坐標系,試題最終指向在平面直角坐標系中“求點的坐標”,即求出關鍵點的坐標是解決“圖形與坐標”試題的突破口.

    二、建立“求點的坐標”的基本模型

    數(shù)學是研究數(shù)量、結構、變化及空間模型等的一門學科,概念是數(shù)學結構的基石. 因此,數(shù)學學習要緊緊抓住概念的學習. 在平面直角坐標系中,點的坐標的定義是我們研究“圖形與坐標”問題的出發(fā)點. 點的坐標的定義實際上是通過分別向兩條坐標軸作垂線,將點的坐標轉化為坐標軸上的點的坐標,點的橫、縱坐標的正、負通過數(shù)軸上點的坐標的正、負來體現(xiàn). 在具體問題中,將求點的坐標轉化為求某些線段的長度,然后將這些線段的長度轉化為點的坐標. 在實際教學中,發(fā)現(xiàn)有些學生在解題過程中運用概念的意識比較薄弱,不能正確作出輔助線,不能有效應用數(shù)形結合思想解決問題.

    通過研究2020年全國各地區(qū)中考數(shù)學“圖形與坐標”試題,發(fā)現(xiàn)其解題策略基本上都是求點的坐標,或利用求出的點的坐標解決后續(xù)問題. 因此,教師需要在教學中向學生滲透運用點的坐標的定義解決問題的意識.

    例1 (甘肅·天水卷)如圖1,將正方形OEFG放在平面直角坐標系中,O是坐標原點,點E的坐標為[E2,3,] 則點F的坐標為 ? ? ? .

    根據(jù)平面直角坐標系中的點的坐標的定義,可以很快作出輔助線. 如圖2,分別過點E,F(xiàn)向坐標軸作垂線,兩垂線交于點H,EH,F(xiàn)H分別交x軸、y軸于點N,M. 根據(jù)三角形全等及點E的坐標求出線段FM,HN的長度,從而轉化為點F的坐標.

    學生在解決這類問題時容易存在兩個困惑:一是依據(jù)已知條件不能有效地作出輔助線;二是在寫點F的坐標時容易弄混點F的橫、縱坐標,以及不能正確地明確點F坐標的符號.

    由此,我們可以梳理出解決“求點的坐標”問題的一般策略模型,如圖3所示.

    必須說明的是,過一點向坐標軸作垂線是非常重要的輔助線. 它將“求點的坐標”問題轉化為求坐標軸上的點的坐標,進一步轉化為求線段的長.

    三、典型解法賞析

    1. 還原整體圖形

    在很多時候,學生不能很好地解決問題,原因之一可能是缺乏對圖形結構的整體認識. 命題者有時只給學生呈現(xiàn)部分圖形,學生如果能還原圖形的整體結構,問題就不難解決了.

    例2 (江蘇·連云港卷)如圖4,將5個大小相同的正方形置于平面直角坐標系中,若頂點M,N的坐標分別為[M3,9,N12,9,] 則頂點A的坐標為 ? ? ? .

    利用復原整體策略,我們將圖4還原成一個5 × 3的長方形,如圖5所示. 由點M,N對應的坐標求出小正方形的邊長,很容易得到點A的坐標.

    需要注意的是,此題具有一定的特殊性,即圖中剛好有15個相等的小正方形,這樣的解題策略有助于學生快速找到解決問題的思路.

    2. 化整為零

    在解決問題時,有時遇到的一些圖形,需要學生利用化整為零的策略. 化整為零本質上就是轉化思想的運用,即將一個圖形運用輔助線轉化為若干個基本圖形.

    例3 (江蘇·南京卷)如圖6,在平面直角坐標系中,點P在第一象限,☉P與x軸、y軸都相切,且經(jīng)過矩形AOBC的頂點C,與BC相交于點D. 若☉P的半徑為5,點A的坐標是[A0,8],則點D的坐標是(? ? ).

    (A)[9,2] (B)[9,3]

    (C)[10,2] (D)[10,3]

    如圖7,過點P作y軸的垂線PE,交y軸于點E,交BC于點F,再過點P向x軸作垂線PG,連接PC,于是在圖7中呈現(xiàn)了兩個基本圖形——正方形OGPE和Rt△PFC. 根據(jù)圓與坐標軸相切,利用切線的性質實現(xiàn)了正方形OGPE與半徑的聯(lián)系,而直角三角形是應用垂徑定理的基本圖形.

    在解決例3的過程中,我們看到了化整為零的策略有助于在圖中發(fā)現(xiàn)基本圖形,并將題目中的所有信息聯(lián)系起來,最終解決問題.

    通過以上分析,發(fā)現(xiàn)“還原整體圖形”與“化整為零”是一對互為相反的思維模式,這兩種模式的有效運用能解決問題,這一切都是建立在解決坐標問題的基本模型上的. 我們可以進一步梳理出解決“求點的坐標”問題的邏輯思維導圖,如圖8所示.

    3. 發(fā)現(xiàn)與構造

    弗里德曼在《怎樣學會解數(shù)學題》一書中寫道:解題是一種創(chuàng)造性活動,而尋找解題方法是一個發(fā)明的過程. 對于坐標系中點的坐標的求法,當所求點位于特殊位置時,常常需要圍繞特殊點的坐標,發(fā)現(xiàn)坐標系中圖形的特殊性,如平行線或垂直于坐標軸的直線、全等三角形或相似三角形等. 當所研究的問題在網(wǎng)格中時,這一方法將變得格外簡潔.

    例4 (山東·煙臺卷)如圖9,已知點[A2,0,][B0,4,C2,4,D6,6,] 連接AB,CD,將線段AB繞著某一點旋轉一定角度,使其與線段CD重合(點A與點C重合,點B與點D重合),則這個旋轉中心的坐標為 ? ? ?.

    如圖10,由于點A,C是旋轉前后的一對對應點,容易作出線段AC的垂直平分線[l1]. 接下來思考線段BD的垂直平分線的作法. 當連接點B,D之后,可以找到線段BD的中點M,進一步構造出△BEM ≌ △MFN. 于是確定線段BD的垂直平分線MN,且MN與直線[l1]的交點為點N,從而求得點N的坐標.

    這種方法具有很好的應用性與拓展性,我們再看下面的試題.

    例5 (江蘇·泰州卷)如圖11所示的網(wǎng)格由邊長為1個單位長度的小正方形組成,點A,B,C在直角坐標系中的坐標分別為[A3,6,B-3,3,] [C7,-2,] 則△ABC內心的坐標為 ? ? ?.

    要解決此題,應該先作出平面直角坐標系. 根據(jù)三角形內心的定義,分析要找到[∠B和∠C]的平分線. 如圖12,構造[△BGE≌△BHE,△MCP≌△NCP,] 于是角平分線BE,CP的交點I即為△ABC的內心.

    其實有無網(wǎng)格,都可以構造出這樣的全等三角形或相似三角形,關鍵在于解題時我們的意識中應該有一個網(wǎng)格模式.

    在利用數(shù)形結合思想解決問題的過程中,通過反思例4和例5的解答過程,可以梳理出以下求特殊點的坐標問題解決的邏輯思維導圖,如圖13所示.

    4. 巧設點的坐標

    在求解點的坐標的相關問題時,教師要引導學生發(fā)現(xiàn)設點的坐標、構建方程求解的策略. 當設出點的坐標后,只需要建立起關于點的橫、縱坐標的方程(組)即可. 認真分析圖形,尋找點的橫、縱坐標所滿足的特殊關系,從而建立方程,能更加有效地解決問題. 這種策略的邏輯思維導圖如圖14所示.

    我們借助例6說明這一解題思路.

    例6 (江蘇·蘇州卷)如圖15,?OABC的頂點A在x軸的正半軸上,點[D3,2]在對角線[OB]上,反比例函數(shù)[y=kx k>0,x>0]的圖象經(jīng)過C,D兩點. 已知?OABC的面積是[152],則點B的坐標為(? ? ).

    (A)[4, 83] (B)[92,3]

    (C)[5, 103] (D)[245, 165]

    如圖16,過點C分別作x軸、y軸的垂線段,垂足分別為點H,G,再分別過點D,B作x軸的垂線DE,BF,垂足分別為點E,F(xiàn). 由于[△ODE∽△OBF,] 于是可以得到[BF∶OF=2∶3.] 從而可以設點B的坐標為[B3x,2x.] 又由于[S△ODE=S△OCH=S△OCG=3,] 且[S?OABC=][S矩形CBFH,] 可得[S矩形OFBG]=[272]. 最終建立起關于x的方程,使問題得以解決.

    四、結束語

    本文之所以從“求點的坐標”這一小的切入點入手,是因為“求點的坐標”是解決“圖形與坐標”問題的起點和關鍵點. 在以上關于坐標系中“求點的坐標”的解題策略的研究中,點的坐標的定義是思考問題的邏輯思維出發(fā)點,解決問題的關鍵是向坐標軸作垂線段,這樣建立坐標和線段之間的聯(lián)系,從而解決問題.“求點的坐標”類問題的解決策略比較豐富,需要我們對圖形的整體和局部加以分析,充分挖掘數(shù)與形的關系,以及圖形結構中所體現(xiàn)出的特殊性. 同時,還應該研究怎樣將點的坐標轉化為方程(組)來解決問題. 有效、準確地求出點的坐標之后,才可以解決坐標系中的后續(xù)問題.

    參考文獻:

    [1]中華人民共和國教育部制定. 義務教育數(shù)學課程標準(2011年版)[M]. 北京:北京師范大學出版社,2012.

    [2]弗里德曼. 怎樣學會解數(shù)學題[M]. 陳淑敏,尹世超,譯. 哈爾濱:黑龍江科學技術出版社,1981.

    [3]羅增儒. 數(shù)學解題學引論[M]. 西安:陜西師范大學出版總社有限公司,2016.

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