高中數(shù)學解題過程中培養(yǎng)學生反思能力的措施

何惠萍

摘 要：高中數(shù)學教育教學中，由于數(shù)學知識本身具有較強的邏輯性和一定的難度，學生的數(shù)學知識基礎(chǔ)、學習效果、解題能力的差異，導致學生在解答數(shù)學問題的過程中出現(xiàn)一些錯誤，不利于提升學習能力，不利于形成數(shù)學核心素養(yǎng)，以此需要進行反思。本文主要探究高中數(shù)學解題過程中培養(yǎng)學生反思能力的類型和舉措，關(guān)于高中數(shù)學解題過程中的反思類型，可以分為對數(shù)學基礎(chǔ)概念的反思、對數(shù)學思想方法的反思、對數(shù)學題目類型的反思;關(guān)于高中數(shù)學解題過程中培養(yǎng)學生反思能力的舉措分為引導學生進行查缺補漏、提高學生綜合解題能力、有效改進數(shù)學解題方法、更加重視知識遷移運用、整合知識提出創(chuàng)新問題、探究知識規(guī)律進行總結(jié)。教師通過落實這些舉措，能夠更好提高學生的數(shù)學反思能力。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學;解題過程;反思能力;思想方法;解題策略

高中數(shù)學教育教學中，根據(jù)教學研究和研究資料發(fā)現(xiàn)，由于學生知識基礎(chǔ)與認知能力的局限，在做題時常常出現(xiàn)各類錯誤，但是對錯誤內(nèi)容卻不求甚解、不進行反思，繼續(xù)大量做題，導致無法提高解題能力和學習水平，不能主動找出錯誤所在，不能概括數(shù)學思想方法，不能構(gòu)建數(shù)學知識體系。因此，教師應(yīng)該注重培養(yǎng)學生的反思能力，引導學生反思解題過程，思考命題意圖、考察知識點、需要具備的知識和能力、驗證結(jié)論是否合理、是否可以繼續(xù)完善，通過反思這些內(nèi)容可以更好地提高解題效果，能夠提高學生的數(shù)學學習水平。

一、高中數(shù)學解題過程中培養(yǎng)學生反思能力的類型

（一）是對數(shù)學基礎(chǔ)概念的反思。高中學生在學習數(shù)學的過程中，除了理解與掌握函數(shù)、平面向量、立體幾何等知識內(nèi)容，還需要學會數(shù)學思想方法，學會用數(shù)學的眼光看問題。學生在解答數(shù)學問題時，常見的錯誤是基礎(chǔ)概念的錯誤，因此反思的第一類型是對數(shù)學基礎(chǔ)概念的反思，主要是反思數(shù)學基礎(chǔ)概念的邏輯、歷史、關(guān)系等。關(guān)于反思數(shù)列基礎(chǔ)概念的邏輯，關(guān)于數(shù)列的知識分為含義、表示方法、通項公式、分類、特殊數(shù)列，數(shù)列也是一種函數(shù)，具有函數(shù)的部分性質(zhì)[1]。關(guān)于反思數(shù)列基礎(chǔ)概念的關(guān)系，其中的概念具有緊密聯(lián)系，與其他數(shù)學知識也具有一些聯(lián)系，比如數(shù)列是定義在自然數(shù)集合上的函數(shù)。

（二）是對數(shù)學思想方法的反思。在解答高中數(shù)學題目時，不僅需要運用基礎(chǔ)概念，而且往往還需要掌握一定的數(shù)學思想，運用一些特定的解題方法，這樣才能更好地解題，如果沒有掌握相關(guān)數(shù)學思想方法，或者在解題時套用錯誤，就會導致出錯。反思數(shù)學思想方法，主要是以函數(shù)這條主線進行反思，根據(jù)高中數(shù)學的代數(shù)和幾何內(nèi)容，反思概念運算是否準確、邏輯推理是否嚴謹、空間想象是否豐富、分析問題是否靈活等。關(guān)于解題方法的反思，主要是反思是否正確運用換元法、配方法、分析法、待定系數(shù)法、歸納法，以及是否進行數(shù)形結(jié)合和化歸等。

（三）是對數(shù)學題目類型的反思。高中數(shù)學題目類型主要分為選擇題、填空題、解答題，學生在解答這些題目時都可能出錯，因此教師也應(yīng)該指導學生根據(jù)數(shù)學題目類型進行反思。選擇題多是基礎(chǔ)題，很多是對基礎(chǔ)知識的變式或者變形，如果學生的數(shù)學基礎(chǔ)知識掌握不牢，就會出現(xiàn)各類錯誤，在做選擇題時應(yīng)該注意解題方法的簡便性，比如可以運用數(shù)形結(jié)合思想和代入法快速解題。填空題也多是對基礎(chǔ)知識考察，總體難度不大，但是錯誤率普遍比選擇提高，學生也不太喜歡做填空題，主要出錯原因是基礎(chǔ)知識掌握不牢、缺乏訓練。解答題的題目有難有易，往往考察綜合知識，題目類型復雜多樣，教師需要指導學生從多個方面反思。

二、高中數(shù)學解題過程中培養(yǎng)學生反思能力的舉措

（一）引導學生進行查缺補漏

在高中數(shù)學解題過程中，教師指導學生進行反思，培養(yǎng)學生反思能力，首先應(yīng)該引導學生根據(jù)相關(guān)錯題進行查缺補漏，看看是否存在審題不明確、忽視隱含條件、概念混淆、套用知識或方法錯誤、考慮不周、計算出錯等問題[2]。同時，教師還應(yīng)該指導學生在解題后注意回歸整個解題過程，驗證結(jié)論是否正確與合理，比如在解答數(shù)學問題時，一些錯誤可以歸結(jié)為：解題結(jié)論比較荒謬，特殊性代替一般性，臆造一些數(shù)學定理和公式，導致判斷和相關(guān)步驟無根據(jù)等。

例如，對于集合與邏輯的內(nèi)容，我一般會總結(jié)出以下順口溜指導學生查缺補漏知識點：集合邏輯互表里，子交并補歸全集;對錯難知開語句，是非分明即命題;縱橫交錯原否逆，充分必要四關(guān)系;真非假時假非真，或真且假運算奇。有這樣一個關(guān)于集合的基礎(chǔ)題目，很多學生往往忽視了互異性，導致解題出錯，題目是：A={1，4，a}，B={1，a2}，BA，那么請求出a。對于這個題目，很多學生的答案是這樣的：a2=4或者a2=a，得出a=±2，或者a=0，或者a=1。對于這個答案，主要是對集合的基礎(chǔ)概念掌握不牢，忽視了互異性，所以正確答案是應(yīng)該去掉a=1。在指導學生查缺補漏時，主要是讓學生根據(jù)作業(yè)中和考試中的錯題，思考錯誤類型，得出需要補充的基礎(chǔ)知識，并將這些錯題整理到錯題本上，寫上分析過程。

（二）提高學生綜合解題能力

高中數(shù)學知識之間具有很強聯(lián)系性，縱橫交錯，導致在解題時可以靈活多變地運用多種解題方法，進而實現(xiàn)一題多解和多題一解[3]。因此，對于培養(yǎng)學生的數(shù)學反思能力，教師還應(yīng)該注重提高學生的綜合解題能力，以此能夠更好地開拓學生是思路，建立數(shù)學知識體系，掌握數(shù)學解題規(guī)律，權(quán)衡一個問題最優(yōu)解，有效進行更高層次的學習、創(chuàng)造性學習等，在這個過程中可以更為有效地實現(xiàn)反思。

例如，對于一題多解，在看到一道數(shù)學題目時，學生往往會使用最拿手的解法，但是會出現(xiàn)各類問題，比如由于對解題方法掌握不熟悉出現(xiàn)錯誤、耗費大量時間等，因此在知道答案或者考試結(jié)束后，應(yīng)該反思這些問題。通過探究這道問題的其他解法，可以復習不同章節(jié)的數(shù)學知識，學習不同的解題方法與相關(guān)技巧，試著寫出所有的解法，并比較哪一種解法更加簡便、更加合理，以此掌握解題規(guī)律，提高綜合解題能力，以便下一次遇到同類型的題目時直接運用最優(yōu)解法。比如關(guān)于不等式有這樣一道題目：已知a2+b2=1，x2+y2+1，求證ax+by≤1。對于這道題目，解題方法多種多樣，經(jīng)過反思和總結(jié)得出有：一是運用比較法，只要證出1-（ax+by）≥0即可，通過觀察兩式相加等于2可以同時利用兩已知條件;二是運用分析法，根據(jù)所需證明的不等式，結(jié)合已知條件和相關(guān)定理、不等式的性質(zhì)等知識，證明1-（ax+by）≥0，進而證明出原結(jié)論正確，因為分析法是探究命題成立充分條件，所以需要做到步步可逆;三是運用綜合法，好主意是運用不等式性質(zhì)、定理（平均值不等式）、公式等，進行運算和推理，進而證明不等式能夠成立。教師可以講解以上方式，讓學生試著解答，并提出運用三角換元法、數(shù)形結(jié)合法等進行證明，并讓學生分析和試著解答，然后選擇適合自己的解題方法加強訓練。

（三）有效改進數(shù)學解題方法

學生在解答高中數(shù)學題目之后，如果計算正確也需要進行反思，主要是反思是否還有更簡便、更優(yōu)化的解題方法，是否浪費了一些信息，是否多走了一些思維上的回路，是否進行過多的計算等。教師應(yīng)該指導學生摒棄思維定式，不要照搬以往的思維方式和解題方法，在反思時主要推陳出新，通過質(zhì)疑解題過程和不斷改進與優(yōu)化，從而讓解題的過程更加簡便、科學、合理等[4]。

例如，有關(guān)等差數(shù)列有這樣一道題目：如果（z-x）2-4（x-y）（y-z）=0，求證x、y、z成等差數(shù)列。對于這個題目，通過分析可知證明x、y、z成等差數(shù)列，需要讓x-y=y-z，所以得出的解題方案是展開已知條件尋找轉(zhuǎn)換，算出x+z-2y=0，所以有效證明，但是這個方案的計算過程比較多，容易出錯，不夠簡便。通過反思可以得出，根據(jù)已知條件得出x-y，y-z，z-x有著輪換對稱特點，可以通過換元減少原式字母，從而讓計算過程更加直觀和簡便，主要是：設(shè)x-y=a，y-z=b，x-z=a+b，并根據(jù)已知條件轉(zhuǎn)換原式的字母，得出x-y=y-z，進而證明x、y、z成等差數(shù)列。再比如，求證正四面體與正八面體相鄰兩側(cè)的所成二面角互補，一般的解題方案是分別求得兩個多面體二面角的值，然后進行求和，通過反思可以從結(jié)構(gòu)入手，優(yōu)化解題方案。

（四）更加重視知識遷移運用

在高中數(shù)學解題過程中，需要反思這些問題所包含的知識結(jié)構(gòu)、系統(tǒng)性等，思考能夠探究知識的縱向與橫向內(nèi)容，能否對相關(guān)數(shù)學規(guī)律和思想方法進行遷移運用，能否將一個問題所蘊含的點拓展到知識面等。比如，在反思三角函數(shù)的相關(guān)問題時，教師可以啟發(fā)學生根據(jù)以往所學知識，思考：sin（a+b）=sina+sinb是否成立，以此引導學生積極主動進行探究，根據(jù)新舊知識進行思考與探索，讓學生試著探究它們成立所需的條件，從而幫助學生靈活運用三角函數(shù)的知識。

（五）整合知識提出創(chuàng)新問題

對于高中數(shù)學問題而言，很多問題不是孤立的，它們之間往往具有一定的聯(lián)系，在反思解題過程中，還需要反思問題之前的相互聯(lián)系性。教師應(yīng)該整合相關(guān)數(shù)學知識提出一些創(chuàng)新性的問題，比如：這個條件下為什么會提出這樣的問題？這個問題和哪個問題具有聯(lián)系？關(guān)于這個條件還能夠提出哪些問題？通過提出創(chuàng)新問題，引發(fā)學生進行深入反思，體會數(shù)學學習過程中的樂趣，更好地發(fā)展學生的數(shù)學思維能力，培養(yǎng)高中學生是數(shù)學學科核心素養(yǎng)。

（六）探究知識規(guī)律進行總結(jié)

高中數(shù)學解題過程中的反思，教師還應(yīng)該在學生在反思過程中探究知識規(guī)律，并根據(jù)規(guī)律進行總結(jié)，得出一些數(shù)學思想方法，以及識記數(shù)學知識的良好方法。比如對于三角函數(shù)的問題，通過反思多個問題，可以總結(jié)出一些知識規(guī)律，將其總結(jié)成口訣：三角定義比值生，弧度互化實數(shù)融;同角三類善誘導，和差倍半巧變通;解前若能三平衡，解后便有一脈承;角值計算大化小，弦切相逢異化同[5]。

結(jié)束語

綜上所述，本文主要根據(jù)高中數(shù)學基本知識內(nèi)容與教學目標，結(jié)合新時期的教育教學理念，以及培養(yǎng)學生的要求，探究高中數(shù)學解題過程中培養(yǎng)學生反思能力的類型、高中數(shù)學解題過程中培養(yǎng)學生反思能力的舉措，反思的類型一般是反思數(shù)學基礎(chǔ)知識、反思數(shù)學思想方法、反思數(shù)學題目類型，通過提出創(chuàng)新問題和總結(jié)知識規(guī)律，引導學生進行查缺補漏、提高學生綜合解題能力、有效改進數(shù)學解題方法等，促進學生更好實現(xiàn)知識的遷移運用，有效提高學生的反思能力。

參考文獻

[1]趙忠璽. 淺談高中數(shù)學解題教學中反思習慣的培養(yǎng)[J]. 語數(shù)外學習：高中數(shù)學教學（中）， 2014（8）：21-21.

[2]張曉芳. 淺談如何培養(yǎng)高中學生在數(shù)學學習中的反思習慣[J]. 軟件：電子版， 2016（11）.

[3]朱坤燕. 高中生數(shù)學解題反思能力的培養(yǎng)研究[D]. 2017.

[4]陳興. 淺談高中數(shù)學教學中學生反思能力的培養(yǎng)[J]. 高考， 2015， 000（007）：18-19.

[5]向晟. 高中數(shù)學解題過程中培養(yǎng)學生的反思能力的研究[J]. 女報：時尚版， 2020， 000（004）：P.1-1.