學(xué)會逆向運(yùn)用『冪的運(yùn)算性質(zhì)』

☉河南省新鄉(xiāng)市第十中學(xué) 魏秋菊

冪的運(yùn)算有四個性質(zhì)，即同底數(shù)冪的乘法性質(zhì)、冪的乘方性質(zhì)、積的乘方性質(zhì)和同底數(shù)冪的除法性質(zhì).它們是整式乘法的基礎(chǔ)和主要依據(jù)，四個運(yùn)算性質(zhì)反過來也是成立的，在解題時能正反靈活地運(yùn)用冪的運(yùn)算性質(zhì)，會給解題帶來很大的幫助.

一、同底數(shù)冪的乘法公式的逆向運(yùn)用

逆用同底數(shù)冪的乘法法則，可以把一個冪分解成兩個（或兩個以上）同底數(shù)冪的積.用式子表示為：am+n=am·an（m，n都是正整數(shù)）.其中，拆分所得的（兩個或兩個以上）同底數(shù)冪的底數(shù)與原來冪的底數(shù)相同，指數(shù)之和等于原來冪的指數(shù).

例1 若5m=x，5n=y，則5m+n+3=_________.

分析：注意到已知式與未知式之間的底數(shù)是相同的，而指數(shù)存在著和的關(guān)系，于是，逆用法則進(jìn)行計算.

解 ：5m+n+3=5m·5n·53=125xy.

二、冪的乘方運(yùn)算性質(zhì)的逆向運(yùn)用

例2 若a=2555，b=3444，c=5333，d=6222，試比較a、b、c的大小.

分析：只要將這幾個數(shù)化為同指數(shù)或同底數(shù)進(jìn)行比較即可，而各個指數(shù)均是111的倍數(shù).

解：a=2555=（25）111=32111；

b=3444=（34）111=81111；

c=5333=（53）111=125111；

d=6222=（62）111=36111.因為32＜36＜81＜125，所以a＜d＜b＜c.

三、積的乘方運(yùn)算性質(zhì)的逆向運(yùn)用

積的乘方性質(zhì)反過來用式子表示為：an·bn=（ab）n（n是正整數(shù)）.要準(zhǔn)確把握式子的特點(diǎn)，具備能轉(zhuǎn)化為相同指數(shù)的冪的積的式子能應(yīng)用這一法則，如.靈活地正、反使用本法則可以簡化計算.

例3 計算（-0.125）2005·82007.

分析：當(dāng)?shù)讛?shù)間互為倒數(shù)時，通常逆用“積的乘方的運(yùn)算性質(zhì)”，靈活整合，使得它們的指數(shù)相同，使指數(shù)都化為2005，這樣就會使運(yùn)算過程變得簡便，也會使運(yùn)算結(jié)果變得較為簡單.

四、同底數(shù)冪的除法公式的逆向運(yùn)用

逆用同底數(shù)冪的除法法則，可以把一個冪分解成兩個（或兩個以上）同底數(shù)冪的商.用式子表示為：am－n=am÷an（m，n都是正整數(shù)）.其中，拆分所得的（兩個或兩個以上）同底數(shù)冪的底數(shù)與原來冪的底數(shù)相同，指數(shù)之差等于原來冪的指數(shù).

例4 已知am=9，an=27，求a3m－2n的值.

分析：將指數(shù)相減恢復(fù)為冪的除法，將指數(shù)相乘恢復(fù)為冪的乘方.

解：a3m－2n=a3m÷a2n=（am）3÷（an）2=93÷272=36÷36=1.

五、冪的運(yùn)算性質(zhì)綜合運(yùn)用

例5 已知ax=2，ay=5，求a3x-2y的值.

分析：該題可先將同底數(shù)冪除法性質(zhì)反過來運(yùn)用后得到a3x-2y=a3x÷a2y，這時再將冪的乘方性質(zhì)逆用一次，得到a3x-2y=a3x÷a2y=（ax）3÷（ay）2，再代入已知條件就可求出所求代數(shù)式的值.

例6 若整數(shù)N=2m×58是一個11位數(shù)，試探求m的所有可能取值.

分析：用一個具體的數(shù)字代入顯然是不可取的，應(yīng)把58設(shè)法轉(zhuǎn)化為108即可.

解：N=2m×58=2m－8×2m×58=2m－8×2×（）

58=2m－8×108，要使整數(shù)2m－8×108是一個11位數(shù)，只要使2m－8是一個三位數(shù)即可，而27，28，29都是三位數(shù)，所以m-8的值為7，8，9.所以m的值為15，16，17.

點(diǎn)評：本題靈活運(yùn)用了積的乘方的逆向運(yùn)用及同底數(shù)冪的乘法的逆向運(yùn)用，使題目化繁為簡，化難為易，收到事半功倍的效果.