例談解析幾何若干活動經(jīng)驗的優(yōu)化與重構(gòu)

摘 要：高中生數(shù)學活動經(jīng)驗具有主體性、發(fā)展性和多樣性.片面的、非本質(zhì)的活動經(jīng)驗容易造成錯誤的思維定勢，必須加以調(diào)整、加工、完善，促使其向高層次的數(shù)學活動經(jīng)驗發(fā)展.通過對解析幾何若干活動經(jīng)驗常見誤區(qū)的探究，提出調(diào)整、優(yōu)化的建議.

關(guān)鍵詞：解析幾何;數(shù)學活動經(jīng)驗;優(yōu)化

中圖分類號：G632 文獻標識碼：A 文章編號：1008-0333（2021）07-0066-04

收稿日期：2020-12-05

作者簡介：李永革，特級教師，從事高中數(shù)學教學研究.

基金項目：安徽省合肥市2019年教育規(guī)劃課題“高中數(shù)學基本活動經(jīng)驗內(nèi)容與活動途徑的實踐研究”（課題編號：HJG19042）.

經(jīng)驗是影響數(shù)學發(fā)展和數(shù)學學習的一個重要因素，數(shù)學的認識歸根結(jié)蒂來自經(jīng)驗、來自實踐.經(jīng)驗在數(shù)學教育中的積極作用正在被人們所重視.但是，經(jīng)驗在數(shù)學教學中的消極作用卻容易被忽視.杜威指出：“每一種經(jīng)驗就是一種推動力，經(jīng)驗的價值只能由它所推動的方向來評斷.相信一切真正的教育是來自于經(jīng)驗的，這并不表明一切經(jīng)驗都具有真正的或相同的教育性質(zhì)，不能把經(jīng)驗和教育直接地彼此等同起來.因為有些經(jīng)驗具有錯誤的教育作用”.

本文列舉學生在解析幾何學習中若干活動經(jīng)驗的常見誤區(qū)，提出優(yōu)化的建議.

一、“設而不求”經(jīng)驗的優(yōu)化

本活動經(jīng)驗來自于直線與圓錐曲線相交的背景下，處理弦長、中點弦、垂直等問題時對交點坐標只設不求，運用韋達定理整體代換，交點坐標起到幾何特征代數(shù)化的過渡作用，可有效減少運算量.學生對本活動經(jīng)驗的常見誤區(qū)有：

（1）只能在直線與曲線相交的情況下才能運用，在相切等其他位置關(guān)系下不能運用;

（2）只能用韋達定理整體代換消去坐標參數(shù);

（3）直線與圓錐曲線相交，交點坐標只能設，不能求.

解題反思 從考情分析發(fā)現(xiàn)，大多數(shù)學生解答時選擇直線MN的斜率k作為參數(shù)，然后聯(lián)立直線MN與橢圓C的方程求出M、N兩點坐標（用k表示），再用兩點式求直線MP的方程（用k表示），最后用點到直線距離公式求點O到直線PM的距離并與圓C′的半徑作比較，結(jié)果運算量過大，無功而返.這種思路顯然受到前面所說的“經(jīng)驗”影響.從圖形運動的根源出發(fā)選擇參數(shù)，又想讓參數(shù)數(shù)量最少，將圖中點的坐標與直線方程都用唯一的參數(shù)k 來表示，結(jié)果造成式子復雜、運算繁瑣.解法1改設直線MP的斜截式方程（即引進直線MP的斜率與縱截距作為參數(shù)），巧妙地解決了點O到直線PM距離難求的問題.

經(jīng)驗優(yōu)化 參數(shù)的選擇往往是通過設點或設線的方式實現(xiàn)的，到底選擇誰？選幾個？前面所說的兩個“經(jīng)驗”確實具有較為廣泛的適用性，但不能絕對，一切要從思想方法的高度思考問題，以運算簡潔為標準.不能模式化思考，過于教條.

三、“選系建系”經(jīng)驗的優(yōu)化

建系求曲線方程是解析幾何兩大基本問題之一.坐標系建得好，可使方程推導的過程簡單，方程的形式簡潔，為下一步利用方程研究曲線性質(zhì)奠定基礎.學完解析幾何之后學生一般都積累了一定的建系經(jīng)驗.都知道利用圖形自身的對稱性建系，利用圖中垂直關(guān)系建系，若已知定點或定直線，知道將定點與定直線放在坐標軸上.但是學生在選系、建系上往往局限于建立直角坐標系，很少考慮其它坐標系，這樣會影響學生解決問題能力的提高.

參考文獻：

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[4]普通高中數(shù)學課程標準修訂組.普通高中數(shù)學課程標準（2017年版）解讀[M].北京：高等教育出版社，2018.

[責任編輯：李 璟]