三角形的高

傅建利

【學前思考】

一、課時重組，充實高的體驗

人教版四年級下冊第5單元《三角形的特征》第一課時，很多人會將三角形的定義、高和底以及穩(wěn)定性這三塊內容合起來上，但我認為不妥，因為三角形的定義需要學生動手操作，親自參與概念形成過程，感受三角形“每相鄰兩條線段端點相連”。三角形的高，學生雖有之前平行四邊形高的學習基礎，但是受“位置”及“傾斜度”的非本質屬性干擾，是本單元的一大難點，需要占用課堂大量時間，而因為時間有限，三角形的穩(wěn)定性很多老師讓學生只是停留在三角形的不易變形的體驗上，沒有深入理解三角形的唯一性。將這三個環(huán)節(jié)放在一節(jié)課中，雖面面俱到，但蜻蜓點水，感受不深刻。同時為了更好區(qū)分不同三角形的高的特點，我將三角形的分類這節(jié)課往前移，對本單元的課時進行了微調：①三角形定義和穩(wěn)定性②三角形的分類③三角形的高。

二、聚焦本質，清晰高的屬性。

人教版教材中沒有教學鈍角三角形鈍角邊上的作高方法，但是教材又涉及了鈍角邊上的高的應用，如五年級上冊?P95的第11題就需要用鈍角三角形的鈍角邊上的高來解釋，所以在本節(jié)課要讓學生充分體驗直角和鈍角三角形的畫高方法。

而這也是本節(jié)課的最大難點，為什么會這么難呢？因為在教學平行四邊形高時教師往往有意或無意間將高的位置限定了一個范圍，無意間將“高在圖形的里面”的“位置”這一非本質屬性作為相關屬性。當直角三角形和鈍角三角形不可能在三角形內找到所有的高時，受平行四邊形做高時“點”可以任意選取的經驗影響，學生以為畫三角形的高時，這一點也是可以在一條邊上任意選取，進而用某一條垂線段來表示他們當時心理上的“高”。

三、初小對比，拓寬高的定義。

我對小學及初中的“三角形的高”的定義進行了對比：

發(fā)現，小學只說一個頂點到對邊作垂線，而初中擴展為對邊所在的直線，這能幫助學生理解高是沒有位置限制的，所以我認為“三角形高的定義”應該是它要經過三角形的頂點并垂直于這個頂點對邊所在的直線。我將在鈍角三角形的畫高后提出“給高的定義提出修改意見”，幫助學生拓寬高的定義。

【教學目標】

1.在自主畫高中討論，感悟三角形作高可以轉化成“點到線段的垂線段”。

2.重點突破直角三角形，鈍角三角形作高的難點，體驗鈍角三角形作高后嘗試給“高的定義”提出修改意見，理解三角形作高就是“點到對邊所在直線的垂線段”。

3.利用幾何畫板把銳角三角形的高、直角三角形直角邊上的高和鈍角三角形鈍角邊上的高進行動態(tài)聯系，整體感知各種三角形的高位置變化，類比三角形、平行四邊形和梯形的高，讓學生對高有整體的感知。

【教學重點】理解三角形作高就是“點到對邊所在直線的垂線段”。感知不同三角形高位置的變化。

【教學難點】直角三角形和鈍角三角形畫高

【教學準備】多媒體、學習單，尺子

【活動預設】

活動一、體驗自主畫高，揭示“高的本質”

1.自主畫高，揭示概念。

（1）我們上學期學了平行四邊形的高，你能說一說平行四邊形的高該怎么畫嗎？（PPT呈現平行四邊形高的定義）今天我們來學習三角形的高。

（2）請在學習單第1題畫出這個銳角三角形AB邊上的高。

反饋：出示學生的錯例，在辨析中知道三角形高的畫法，再展示正確畫法，學生的作品如下：

小結：（板書展示畫法）我們來看書上是怎么介紹三角形的高的。（PPT出示三角形高的定義）

2.歸納分析，揭示本質。

（1）請繼續(xù)畫出BC和AC這兩條邊上的高（學習單上畫高）

反饋：先呈現BC邊上的高的學生作品，學生作品如下：

討論：上面三種答案哪種是BC邊上的高？其他兩個為什么不是？

（2）請你思考一下，畫三角形的高有什么訣竅嗎？

小結：畫三角形底邊上的高，只要選好底和對應的頂點就可以了，那看來畫高我們只用關注一個點和一條邊就可以了，同學們，這不就是我們以前學過的過一點做線段的垂線段嗎？（PPT出示）

（3）看來我們只要找到相對應的頂點和對邊，可以很快畫出高。三角形有幾條高，為什么？

小結：有3組對應的頂點和底，所以有3條高。

[活動意圖]對銳角三角形的三條高的畫法進行歸納分析，讓學生理解作高的本質屬性，?就是過頂點作對對邊的垂線段，理解作高的兩個要素：“底”和“對應頂點”。正是"轉化"這種數學基本思想的及時介入，引出了學生對高的進一步辨別和理解，高的方向不一定是縱向的，方向的確定取決于“底”和“對應頂點”的位置。只要找兩個要素，就可以將作高轉化為過頂點畫對邊的垂線段，溝通了高與垂線段的這層內在規(guī)律，無論底的方向如何放置，作高都顯得易如反掌了。

活動二、繼續(xù)畫高，拓寬“高的定義”

1.直角三角形畫高，體驗高與邊重合。

活動：填空，畫出直角三角形指定底邊上的高（學習單）

（1）展示題①畫法，對嗎？作AC邊上的高，其實就是怎么作？

預設：其實就是過B點作邊AC的垂線段。

（2）展示題②③的錯例，對嗎？為什么？那如果垂直會出現什么情況？

（3）為什么直角三角形的3條高中會有兩條跟邊重合？

預設：因為直角形三角形的兩條直角邊互相垂直，比如以BC為底，過點A只能向BC作一條垂線段，所以這條垂線段即是三角形的高，也是三角形的直角邊，同理我們也可以說明AB邊的高為什么與BC邊重合。

小結：也就是說直角三角形的高跟銳角三角形的高的位置會有所不同，銳角三角形的高都在圖形內部，直角三角形的高不僅有在內部，也有在邊上的。

2.鈍角三角形畫高，改定義，拓寬“高的定義”

活動：填空，畫出鈍角三角形指定底邊上的高（學習單）

（1）反饋題①正確畫法，展示題②的錯例，他畫的高對嗎？為什么？

預設：1號同學他雖然是從A點出發(fā)，但這條線段不垂直BC邊。2號同學雖然垂直BC邊，但是他沒有過點A。

（2）過A點作BC的垂線段，但是BC不夠長，怎么辦？

預設：這個我們以前學過，把BC看做一條直線，它就可以往右邊延伸，這樣就可以過A點畫垂線段了。（PPT演示）

追問：那這還是在BC邊上作高嗎？

小結：這不是在BC邊作高，而是在BC邊所在的直線上作高，誒？鈍角三角形的作高似乎跟我們原先高的定義有所不同，你能找到不同嗎？

（3）給定義提出修改意見，你覺得該怎么修改？

[活動意圖]直角三角形和鈍角三角形畫高是難點，原因在與學生被“位置”這一無關屬性干擾，這個環(huán)節(jié)讓學生自主畫直角三角形的高時，遵循高的本質，先找底和對應頂點，建立作高的序，在結果中去對比銳角三角形作高，發(fā)現三角形的高的位置并不一定都在三角形內。畫鈍角三角形的高時，進一步發(fā)現高有時還可以垂直對邊所在的直線上，給定義提出修改意見，拓寬了高的概念的定義范圍，使學生更深刻的理解這一概念。

活動三、同底等高變形，強化“高的本質”

（1）現在有一條線段AB，有一個C點，到AB的距離是4dm.你覺得C點會在哪里？請你上來指一指，還可能在哪？

小結：C點只要在一條與線段AB平行，距離是4dm的直線上就可以了。

操作：找到與線段AB距離是4dm的一個C點，連成△ABC，并畫出AB邊上的高。在直線上拉動C點，觀察三角形AB邊上的高，你發(fā)現了什么？

小結：高可以在三角形的內部，也可以邊上，也可以在三角形外。不管C點怎么變，它的高都不變，像這樣的底相同，高相同、形狀各異的三角形我們稱作同底等高的三角形。

[活動意圖] 利用幾何畫板的動態(tài)展示，在C點向右移動的過程中，從最容易接受的銳角三角形的高到相對難接受的鈍角三角形鈍角邊上的高，在動態(tài)演示過程中再次排除“位置”這一無關屬性的干擾，強化三角形的高的本質屬性。

活動四、梳理三角形、平行四邊形和梯形之間三者高的關系

1.我們以前在平行四邊形和梯形中也學過高，大家來回顧一下以前學過的知識。

2.為什么平行四邊形和梯形一條底上的高可以有無數條，而三角形只有一條？

小結：因為三角形與底對應的頂點只有一個，而平行四邊形和梯形的對邊上不僅有對應頂點，還有跟頂點到底的距離相等的無數個點，這些點都可以作為頂點來作高。

【板書設計】

【教學反思】

1.設計可行性

數學知識有著本身固有的結構體系，往往是新知孕伏于舊知，舊知是新知的伸長點，同時也可能是新知產生的阻礙。三角形的“高的本質”是“經過頂點，垂直對邊所在直線”，如何在教學中讓學生感悟這一本質呢？首先讓三角形的高與學生已有的平行四邊形的高聯結起來，將畫高的過程抽象到“點到線段的垂線段”，建立了作高的轉化橋梁，然后畫直角三角形和鈍角三角形的高時突破高的位置限制，理解高除了在三角形內，還可以在三角形邊上，三角形外，感悟高的本質是“經過頂點，垂直對邊所在直線”。再通過動態(tài)變形，強化本質，比較不同圖形之間高的數量，豐富高的內涵。

2.達成效果

教學作高時，把新技能技巧轉化為已學過的作垂線段的知識，就把新經驗納入已有的知識結構中獲得理解，挖掘到有利于高這一知識、技能遷移的舊知元素，及時搭建溝通新舊知識的橋梁，從而幫助學生了解認知結構的前因后果、來龍去

脈。技能上讓學生建立了畫高的序，先找底，再找對邊所在的直線，隱去另外兩條干擾邊，轉化成“過1點作對邊所在直線的垂線段”，降低了學生畫高的難度。思想上排除了“位置”的干擾因素，對高的本質有了更深入的理解。

北大新世紀溫州附屬學校