應(yīng)用幾何畫板進(jìn)行立體幾何的探究

歐賀宏

摘 要：本文是由一道截面問(wèn)題的立幾題引出，運(yùn)用幾何畫板探究并發(fā)現(xiàn)了一個(gè)普遍的結(jié)論：所有平行于平行六面體底面對(duì)角線的截面中，當(dāng)截面經(jīng)過(guò)側(cè)棱中點(diǎn)時(shí)，所得截面面積最大。

關(guān)鍵詞：正方體;長(zhǎng)方體;平行六面體;截面;棱中點(diǎn);移動(dòng)點(diǎn)

立體幾何要求學(xué)生具備較強(qiáng)的空間感和想象能力，尤其當(dāng)立幾中出現(xiàn)“動(dòng)態(tài)”問(wèn)題時(shí)，就更為復(fù)雜;利用幾何畫板，通過(guò)動(dòng)靜結(jié)合的交互演示，不但可以使立幾學(xué)起來(lái)變得更直觀，而且還可以探究疑難問(wèn)題。

一、問(wèn)題初探：一道立幾題的啟示

首先，我們來(lái)看一道經(jīng)常出現(xiàn)在高中數(shù)學(xué)中的立幾題：在正方體ABCD-A1B1C1D1中，求在所有平行于平面ACD1的截面中，截面面積何時(shí)最大？

解：如圖1，當(dāng)截面交于DD1邊時(shí)，可知截面為一正三角形，此時(shí)顯然△MNP的面積比△AD1C的面積小。當(dāng)截面交于邊BB1時(shí)，此時(shí)，截得的平面圖形為一正三角形，且其面積比△AD1C面積小。當(dāng)截面交于AA1時(shí)，截面為一六邊形，下面來(lái)求其面積.

設(shè)ED1=a，AA1=L，可求得EJ=FG=IH=a，

EF=IJ=HJ=（L-a）

圖1如圖2，作出其平面圖形，易證得EF與JI

所成角為60°，△EOJ≌△ENJ≌△FLG，

四邊形LGHI為平行四邊形

∴S六邊形EJIHGF=S△OFI+S平行四邊形LGHI=（L）2+

（L-a）×a=

∴當(dāng)a=時(shí)，有Smax=L2，即當(dāng)點(diǎn)F為棱AA1的中點(diǎn)時(shí)，截得的平面圖形的面積最大。

所以，在正方體中，所有平行于體對(duì)角面的截面中，當(dāng)截在棱的中點(diǎn)處時(shí)，所得的截面面積最大。

二、問(wèn)題的進(jìn)一步探究：

猜想1：在正方體中能得出這樣的結(jié)論，那么在長(zhǎng)方體中是否也有這樣的結(jié)論？

下面，筆者利用幾何畫板作為研究工具來(lái)探討這一猜想：

如圖3，當(dāng)截面截于棱DD1，BB1時(shí)，截面為三角形，顯然面積不是最大。

可以用幾何畫板來(lái)討論截面截于棱AA1時(shí)的面積，下面是操作過(guò)程：

（1）利用幾何畫板作出一長(zhǎng)方體，連接D一、，AC，CD1，A1C1，C1B

（2）在棱AA1上任取一點(diǎn)F，過(guò)F作FG∥A1B交AB于G，過(guò)G作GH∥AC交BC于H，過(guò)H作HM∥BC1交CC1于M，過(guò)M作MN∥CD1交C1D1于N，過(guò)N作NE∥A1C1交A1D1于E，連EF，并且隱藏直線FG，GH，HM，MN，EN，并用線段分別連結(jié)E，F(xiàn)，G，H，M，N，E點(diǎn)，通過(guò)計(jì)算出六邊形各邊的長(zhǎng)度和各個(gè)夾角，作出一個(gè)正對(duì)著的六邊形O1O2O3O4O5O6

（3）AA1取的中點(diǎn)O，并作出由F→O的移動(dòng)按鈕。

拖動(dòng)F點(diǎn)，使截面位置不斷變化，截得的圖形非常直觀，我們?nèi)菀装l(fā)現(xiàn)六邊形面積顯然大于三角形ACD1的面積，在拖動(dòng)F點(diǎn)的過(guò)程中，當(dāng)F向O點(diǎn)靠近時(shí)，六邊形面積變大，到O點(diǎn)時(shí)面積最大，而這時(shí)的面積與雙擊移動(dòng)按鈕所得的六邊形面積一樣大。（證明見(jiàn)平行六面體的證明）

猜想2：在一般平行六面體中的情況又是怎樣呢？

我們同樣借助幾何畫板來(lái)研究。作法同上：拖動(dòng)F點(diǎn)觀察六邊形的面積變化，可以看出當(dāng)F在Q點(diǎn)時(shí)面積最大，此時(shí)的面積與雙擊按鈕時(shí)多邊形的面積相等.

證明：如圖5，設(shè)D1K=x，A1D1=a，AD1=m，CD1=n，AA1=c，A1B1=b，∠OQP=φ，A1K=a-x，由△A1KE∽△A1D一、得，EK=（a-x），由△A1KE∽△D1KQ得QK=。同理，利用相似三角形知識(shí)可求得：QK=EO=HG=，QI=EF=HP=，EA=HC=QD1=，OQ=m（1+），PQ=n（1+），

當(dāng)截面截于AA1時(shí)：

S（X）=

當(dāng)截于DD1或BB1時(shí)：S（x）=mt·ntsinφ，t為一比例系數(shù)0≤t≤1

∴當(dāng)，即x=a時(shí)，有S（X）max=

同樣，在平行六面體中，用平行于體對(duì)角面的平面去截平行六面體，當(dāng)截面經(jīng)過(guò)棱的中點(diǎn)時(shí)，所得的截面圖形的面積最大。

三、問(wèn)題的深入探討：

猜想3：若截面平行于底面對(duì)角線時(shí)，情況又是怎樣？

作法：

①.如圖6，作出平行六面體ABCD-A1B1C1D1，并且有的線段要用直線代替，在棱AA1上取一點(diǎn)F，在棱DD1上取一點(diǎn)I。

②.仿上例作出一平行于面A1C1I的截面FGHJKE。

③.拖動(dòng)F點(diǎn)，作出不同的截面XYZ，截面EFXJK，截面FGHJKE，截面RFGHJ，截面RSW，并且作出其多邊形內(nèi)部，并用不同的顏色涂色，選中R、F、S、G，作其多邊形內(nèi)部，并涂色。

④.度量出上面的多邊形的面積，取AA1的中點(diǎn)V，作一由F→V的移動(dòng)按鈕。

拖動(dòng)F點(diǎn)，可以發(fā)現(xiàn)當(dāng)V與F重合時(shí)面積最大;變化I點(diǎn)的位置，再拖動(dòng)F點(diǎn)會(huì)出現(xiàn)截面是平行四邊形RFSJ的情況，同樣是在中點(diǎn)處的截面面積最大。同時(shí)筆者進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)，無(wú)論F如何變化，平行四邊形RFSJ的大小形狀一直保持不變，可以看出所求的截面面積，就是平行四邊形RFSJ夾在平行六面體ABCD-A1B1C1D1內(nèi)部的面積，下面筆者利用這一發(fā)現(xiàn)來(lái)證明之。

證明：如圖7，由于上下底面的距離不變，所以EK與GH之間的距離不變，

設(shè)RP=m，EK=a，F(xiàn)J=b，RC=h，OB=n，則m+n=C（常數(shù)），由三角形相似可知OB=a，

∴S（X）=S平行四邊形RFOJ-（S△REK+S△OHG）=bh-（ma+an）

=bh-a（m+）=bh-a≤bh-=bh-，

當(dāng)且僅當(dāng)m=n時(shí)，等號(hào)成立時(shí)，即R、O分別到上下底面的距離相等，此時(shí)點(diǎn)F為AA1的中點(diǎn).

∴當(dāng)c≠0時(shí)，截面為五邊形或六邊形，S（x）=bh-;截面為三角形時(shí)，S（X）=t·bh（0≤t≤）。

當(dāng)c=0時(shí)，截面為平形四邊形，S（X）=bh.，此時(shí)點(diǎn)F在一段以V為中點(diǎn)的線段上移動(dòng)均可得到一完整的平形四邊形，面積最大。

以上就是筆者運(yùn)用幾何畫板得出的結(jié)論：所有平行于平行六面體底面對(duì)角線的截面中，當(dāng)截面經(jīng)過(guò)側(cè)棱中點(diǎn)時(shí)，所得截面面積最大。

參考文獻(xiàn)

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