新高考中數(shù)學(xué)文化試題賞析

李小東

摘 要：我國(guó)普通高中教育改革在不斷深入，新課程標(biāo)準(zhǔn)下對(duì)學(xué)生的文化素質(zhì)培養(yǎng)也有了新的要求，這體現(xiàn)在新課標(biāo)改革下的高考試題當(dāng)中，而數(shù)學(xué)文化試題則在全國(guó)高考卷試題中經(jīng)常涉及，對(duì)于此類(lèi)數(shù)學(xué)文化類(lèi)試題作賞析有助于讓學(xué)生更好地了解中華傳統(tǒng)文化的光輝歷史，從而增強(qiáng)民族自信心。了解我國(guó)數(shù)學(xué)研究歷史的來(lái)龍去脈，對(duì)數(shù)學(xué)思維培養(yǎng)、應(yīng)用能力提升、文化修養(yǎng)提升等方面都有很好的促進(jìn)作用，同時(shí)也能把數(shù)學(xué)理論與日常生活相結(jié)合，突出數(shù)學(xué)教學(xué)的社會(huì)性。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)文化;試題賞析;教學(xué)思考

引言：2017年頒布的《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》將數(shù)學(xué)文化定義為數(shù)學(xué)領(lǐng)域內(nèi)涵蓋的思想、方法、表達(dá)形式、思維方式和長(zhǎng)期豐富發(fā)展的歷史，以及數(shù)學(xué)在人類(lèi)社會(huì)發(fā)展進(jìn)程中對(duì)科學(xué)技術(shù)、日常生活、文化體育方面的重要推動(dòng)作用。新課標(biāo)要求教師在教學(xué)當(dāng)中應(yīng)當(dāng)將數(shù)學(xué)文化融入到課程學(xué)習(xí)中，引領(lǐng)學(xué)生更好了解其進(jìn)步歷程、感受數(shù)學(xué)的關(guān)鍵作用，激發(fā)其學(xué)習(xí)興趣，增強(qiáng)學(xué)科素養(yǎng)，高考中對(duì)數(shù)學(xué)史、思維邏輯以及生活應(yīng)用方面都有所考查，學(xué)生應(yīng)重點(diǎn)掌握。

一、以數(shù)學(xué)發(fā)展史為背景高考題目賞析

這類(lèi)題目是以各類(lèi)數(shù)學(xué)發(fā)展歷史中的事件和人物為背景，將前人在不同領(lǐng)域研究的杰出數(shù)學(xué)成果結(jié)論，經(jīng)過(guò)適當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)化變形后編制成選擇題、填空題或者簡(jiǎn)答題，多以代數(shù)和幾何兩種題型出現(xiàn)，題目的范圍也較廣，涵蓋了古今中外，比如歐幾里得發(fā)現(xiàn)的重要定理、楊輝三角、秦九韶算式等等，一方面是考核學(xué)生是否能夠從表面的歷史事實(shí)中看到題目真正的本質(zhì)是檢測(cè)的哪一部分的知識(shí)點(diǎn)，另一方面則是讓學(xué)生解題的過(guò)程中多了解和感受數(shù)學(xué)悠久的歷史文化，其應(yīng)用意義和文化理念，受到數(shù)學(xué)文化環(huán)境熏陶，從而提升其學(xué)習(xí)探究數(shù)學(xué)的興趣程度[1]。

以算法的靈活應(yīng)用為例來(lái)對(duì)2016年的全國(guó)Ⅱ卷文科試卷中的9題為原型中的數(shù)學(xué)文化元素進(jìn)行分析鑒賞。

例題1.在中國(guó)古代一種用于多項(xiàng)式計(jì)算的方法較為有名，稱(chēng)之為秦九韶算法，它的整體計(jì)算過(guò)程如圖一所示，先按照改圖的程序?qū)⒁唤M數(shù)值x，n代入運(yùn)算程序后，最終得到運(yùn)算值a和b，若設(shè)x=2，n=1，相應(yīng)的圖框中輸入的a分別是2、2、5，那么最終的輸出的s的值是（ ）

A.7 B.12 C.17 D.34

思路分析與題目賞析：題目中提到的“秦九韶算法”其歷史較為悠久，是南宋時(shí)代一位著名的數(shù)學(xué)家秦九韶在多項(xiàng)式運(yùn)算中研究出的一種較為簡(jiǎn)便的運(yùn)算方法，它的基本思路是把一個(gè)一元高次的多項(xiàng)式轉(zhuǎn)換成多個(gè)一次等式的，次冪數(shù)和等式個(gè)數(shù)相等，這種方法能夠極大地減少計(jì)算的過(guò)程，簡(jiǎn)化運(yùn)算復(fù)雜程度。在當(dāng)代運(yùn)用計(jì)算機(jī)二進(jìn)制計(jì)算多項(xiàng)式時(shí)，經(jīng)過(guò)大量實(shí)踐證明，我國(guó)的該種方法依然是最為優(yōu)秀的方法之一，它可以大大減少計(jì)算機(jī)中央處理器的運(yùn)算頻次，加快計(jì)算速度，此法在國(guó)際也被稱(chēng)之為霍納算法，用英國(guó)數(shù)學(xué)家霍納來(lái)命名的。

對(duì)該題而言，要透過(guò)現(xiàn)象看到題目的本質(zhì)，考查基本的程序性計(jì)算問(wèn)題，要對(duì)于是否兩種情況做出準(zhǔn)確判斷，最后退出s的值，容易得出s=17，選C。

中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)歷史為背景設(shè)置題目更為深遠(yuǎn)的意義則是能夠增強(qiáng)的學(xué)生的民族自豪感和愛(ài)國(guó)主義情懷，顯然這種情懷的培育和增強(qiáng)不是像歷史題、政治題等可以直觀鮮明的體現(xiàn)的，其特別之處在于將中外兩種數(shù)學(xué)思想在其交匯點(diǎn)上做了全面深入的對(duì)比，讓學(xué)生在中外不同的數(shù)學(xué)思維的試驗(yàn)和對(duì)比中，找到中華民族的優(yōu)秀品質(zhì)所在，中國(guó)的傳統(tǒng)思維并不是全部由于國(guó)外的數(shù)學(xué)方法，但是其理論成果都是原創(chuàng)性的，也較好的指導(dǎo)的社會(huì)發(fā)展，這才是數(shù)學(xué)文化的魅力所在，它不是為名利而生，而是為民族的利益價(jià)值而生。

以2015年全國(guó)Ⅱ卷卷中的第8題為例，題目的表述是程序框圖（可參見(jiàn)圖一）的運(yùn)算思路是來(lái)源于我國(guó)古代數(shù)學(xué)中的“更相減損術(shù)”按照該程序框圖的預(yù)算程序，當(dāng)輸入x、y分別為14，18，則得到的值是（ ）。

這題的本質(zhì)是解決兩個(gè)數(shù)之間的最大公約數(shù)的問(wèn)題，我國(guó)的數(shù)學(xué)家探究出“更相減損術(shù)”能夠有效簡(jiǎn)便地解決同類(lèi)的相關(guān)問(wèn)題，當(dāng)然，國(guó)外的數(shù)學(xué)家也對(duì)這種問(wèn)題做了探究，提出了對(duì)應(yīng)的程序算法，被稱(chēng)之為歐幾里得算法，它是按部就班的代入相應(yīng)的值通過(guò)尋找公約數(shù)來(lái)求出答案。把中外兩種運(yùn)算過(guò)程和簡(jiǎn)便程度做一詳細(xì)對(duì)比后發(fā)現(xiàn)，我國(guó)的該方法在運(yùn)算步驟、運(yùn)算時(shí)間上都略勝一籌，也是符合現(xiàn)代計(jì)算原理的一種方法，在這一方向上占據(jù)了領(lǐng)先的位置，學(xué)生可以通過(guò)對(duì)此段歷史的了解增進(jìn)愛(ài)國(guó)之情，更激發(fā)了努力學(xué)習(xí)，為國(guó)家民族再添新磚的熱情[2]。

二、數(shù)學(xué)指導(dǎo)人類(lèi)進(jìn)步為背景的高考數(shù)學(xué)題類(lèi)賞析

數(shù)學(xué)的美妙之處不僅在于其嚴(yán)密的邏輯性和廣闊的未知性與創(chuàng)新性，更在于它對(duì)實(shí)際生產(chǎn)生活的重要指導(dǎo)作用，傳統(tǒng)歷史上的數(shù)學(xué)研究多是人類(lèi)在長(zhǎng)期社會(huì)實(shí)踐中積累的經(jīng)驗(yàn)，其成果也是用來(lái)幫助人們解決現(xiàn)實(shí)中遇到的社會(huì)生產(chǎn)問(wèn)題，比如生產(chǎn)中的投入量產(chǎn)出量，成本效益問(wèn)題，建筑中的幾何問(wèn)題，生活中的分配、交換問(wèn)題等，這些問(wèn)題衍生出了相應(yīng)的數(shù)學(xué)成果，長(zhǎng)時(shí)間的成果積累和不斷傳承創(chuàng)新，最后沉淀形成了博大精深的數(shù)學(xué)思維和歷史文化，無(wú)論在歷史長(zhǎng)河中的人和還是當(dāng)下的人類(lèi)，都要借助數(shù)學(xué)這一神秘而又親切的伙伴來(lái)認(rèn)識(shí)世界、改造世界、與世界實(shí)現(xiàn)和諧相處，這也體現(xiàn)出數(shù)學(xué)“以數(shù)理造化人類(lèi)”的高遠(yuǎn)境界。

以2015年全國(guó)一卷中的一道數(shù)學(xué)題為范本來(lái)對(duì)這一獨(dú)特?cái)?shù)學(xué)文化體現(xiàn)做一鑒賞和分析。

例題2.作為我國(guó)歷史上數(shù)學(xué)發(fā)展里程碑式的重要學(xué)術(shù)成果，《九章算術(shù)》中涵蓋了豐富的數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)公理，直至現(xiàn)在仍有較多在被沿用和發(fā)展。該書(shū)中就曾提出問(wèn)題：

用當(dāng)前的白話文翻譯過(guò)來(lái)就是，以房屋內(nèi)部的墻角根處放置了一堆谷子（米），這對(duì)谷子的形狀是一個(gè)圓錐體削掉四分之三后的形態(tài)，谷堆圓錐底部的弧長(zhǎng)是八尺（古代的一種計(jì)量單位），谷堆的高度是五尺，求該谷堆的占用體積是多大，且一共堆放了多少粒的谷米，題目中也告知了一斛米的體積約為1.6立方尺，設(shè)圓周率π=3，則可以計(jì)算出谷堆斛中方的谷米大約有多少，

題目鑒賞：此題目的考查背景就是來(lái)源于古代人民的生產(chǎn)生活實(shí)際，古代的谷物儲(chǔ)藏?zé)o論是官宦市民都是一件大事，如何利用有限的空間存儲(chǔ)更多的糧食，計(jì)算一定空間內(nèi)儲(chǔ)藏谷物的數(shù)量都是管理者和所有者需要掌握的技能，而這就涉及到規(guī)則物體的一些幾何知識(shí)，此題就是從這個(gè)背景出發(fā)即讓學(xué)生了解了《九章算術(shù)》的一些歷史淵源與內(nèi)容知識(shí)，還考查了圓錐等立體幾何知識(shí)，實(shí)現(xiàn)了兩者的有機(jī)結(jié)合，與生活融合的題目，能夠讓學(xué)生從枯燥乏味抽象的各類(lèi)數(shù)字公式中脫離出來(lái)，進(jìn)入到實(shí)際生活中，以問(wèn)題為導(dǎo)向來(lái)理解數(shù)學(xué)的精妙之處[3]，從而潛移默化間將數(shù)學(xué)文化的優(yōu)秀品質(zhì)傳輸?shù)綄W(xué)生之中，把數(shù)學(xué)思想根植到我國(guó)古代的優(yōu)秀傳統(tǒng)文化當(dāng)中，從題目的解答可以解決實(shí)際社會(huì)問(wèn)題，也學(xué)生有了一定的成就感，對(duì)數(shù)學(xué)這門(mén)學(xué)科的現(xiàn)實(shí)意義有了更加直觀深入的了解，也培養(yǎng)了學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性和主動(dòng)性，真正體現(xiàn)了“以數(shù)化人”文化境界。

三、以培育數(shù)理思維與邏輯分析為背景的高考題目賞析

數(shù)學(xué)文化的內(nèi)涵極為豐富，學(xué)習(xí)領(lǐng)悟文化內(nèi)涵要內(nèi)化于心，外化于形，要認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)文化的外在表現(xiàn)上是悠久的歷史積累，各類(lèi)數(shù)學(xué)原理和概念，對(duì)應(yīng)的運(yùn)算規(guī)則、公式等實(shí)實(shí)在在的要素，其更為關(guān)鍵的是看不見(jiàn)的邏輯分析、數(shù)學(xué)方法、數(shù)學(xué)審美、數(shù)理思維等等無(wú)形的觀念意識(shí)，它才是整個(gè)數(shù)學(xué)文化的內(nèi)在核心，而學(xué)習(xí)研究數(shù)學(xué)的高層次境界就是腦海中忘卻了有形的公式理論，留下了應(yīng)對(duì)各類(lèi)問(wèn)題的理念和方法，能夠以不變應(yīng)萬(wàn)變，把這種無(wú)形的元素貫穿于整個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題的思考分析、邏輯判斷和創(chuàng)新上[4]。下面以2017年全國(guó)Ⅱ卷理科第7題為原型的題目來(lái)做一賞析。

例3.A、B、C、D四位學(xué)生去向老師查詢(xún)數(shù)學(xué)競(jìng)賽的成績(jī)，老師暗示，你們四人中有2位優(yōu)異，2位良好，我現(xiàn)在讓A看B、C的成績(jī)，讓B看C的成績(jī)，給D看A的成績(jī)。最后A對(duì)大家說(shuō)：我還是不知道我的成績(jī)，根據(jù)以上信息，可推斷（ ）

A.B可以知道四人的成績(jī)

B.D可能知道四人的成績(jī)

C.B、D可以知道對(duì)方的成績(jī)

D.B、D可以知道自己的成績(jī)

題目的鑒賞和分析：此題重點(diǎn)在考查學(xué)生的邏輯推理能力和內(nèi)容的梳理能力[5]，是提升其邏輯思維素養(yǎng)的有效方式。解題思路簡(jiǎn)述，根據(jù)題目的內(nèi)容可知，當(dāng)A看成績(jī)后對(duì)其他人說(shuō)到他仍不知道自己的成績(jī)，這就可以較為明顯地判斷出四人中B、D二人中定有一人成績(jī)?yōu)閮?yōu)異、另外一個(gè)人是良好，在結(jié)合題目給出的限定條件，這四個(gè)人中有2位是優(yōu)異，其余2位是良好，因此在B看到了C的成績(jī)后，如果C自己是優(yōu)異，那么B就是良好，如果C是良好，那么B就是優(yōu)異，二者必有其一，因此B定知道自己的成績(jī)，同理可知，在D看到了A的成績(jī)后，如果A的成績(jī)是優(yōu)異，D則應(yīng)當(dāng)是良好，如果A成績(jī)是良好，則D的成績(jī)就是優(yōu)秀，綜上可易得出D選項(xiàng)表述正確[6]。

結(jié)束語(yǔ)

不僅是數(shù)學(xué)科目，其他各個(gè)學(xué)科都有其自身的發(fā)展規(guī)律和獨(dú)特的文化淵源，而數(shù)學(xué)文化則是與生活更為貼近，它反映著這個(gè)學(xué)科的發(fā)展內(nèi)在機(jī)理和特有本質(zhì)，而高考題目中融入了數(shù)學(xué)文化元素，正是新課標(biāo)中對(duì)學(xué)生文化素養(yǎng)培育目標(biāo)的生動(dòng)實(shí)踐，數(shù)學(xué)對(duì)于推動(dòng)人類(lèi)文明進(jìn)步的重要意義不言而喻，而我國(guó)當(dāng)前在數(shù)學(xué)等基礎(chǔ)學(xué)科領(lǐng)域研究方面還存在較大的差距，因此從高考這個(gè)節(jié)點(diǎn)入手，就著重培養(yǎng)準(zhǔn)大學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，弘揚(yáng)數(shù)學(xué)文化，為后續(xù)高層次的數(shù)學(xué)人才建設(shè)打下良好的基礎(chǔ)。

參考文獻(xiàn)

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[3]張洪山.基于現(xiàn)代化教學(xué)中數(shù)學(xué)文化的弘揚(yáng)與發(fā)展[J]，高中數(shù)學(xué)文化教育論述，2013（32）.

[4]郭文芳.數(shù)學(xué)文化在近幾年高考試題中的滲透與賞析[J]，數(shù)學(xué)文化的滲透與賞析，2016（09）.

[5]李汝雁、郭要紅.2018年高考數(shù)學(xué)文化試題的評(píng)析與教學(xué)建議[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，2018（09）：31-33-61.

[6]左武明、呂喜文.高考試題中古數(shù)學(xué)元素對(duì)數(shù)學(xué)文化傳播效果賞析——由一道高考題談數(shù)學(xué)文化[J].中文信息，2019（06）：220-298.

本文系“甘肅省教育科學(xué)‘十三五’規(guī)劃2019年度課題，課題名稱(chēng)：基于高考背景下數(shù)學(xué)文化滲透的教學(xué)策略研究，課題立項(xiàng)號(hào)：GS[2019]GHB1008”研究成果。