基于核心素養(yǎng)下對(duì)基本不等式的再思考

楊偉達(dá)

摘 要：基本不等式是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，也是歷年高考考查的難點(diǎn).本文介紹了一些基本不等式的求解策略，僅供參考.

關(guān)鍵詞：基本不等式;求解策略

中圖分類號(hào)：G632文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：1008-0333（2021）10-0002-02

新教材將基本不等式放入高中數(shù)學(xué)第一冊(cè)第二章，

成了一線數(shù)學(xué)教師對(duì)新教材教學(xué)的熱門(mén)話題，其意義深遠(yuǎn)，即突顯出基礎(chǔ)性、實(shí)用性、技巧性，又能夠進(jìn)一步提升學(xué)生的運(yùn)算求解能力和轉(zhuǎn)化與化歸能力.下面是筆者對(duì)一些關(guān)于基本不等式的數(shù)學(xué)問(wèn)題進(jìn)行剖析，旨在提高學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

一、和與積

和與積是天生一對(duì)孿生兄弟.缺了誰(shuí)，就找誰(shuí)﹒如果和為定值，就要想辦法找積的形式;如果積為定值，就要想辦法找和的形式.在運(yùn)用“和與積”時(shí)，必須滿足“一正、二定、三相等”，若發(fā)現(xiàn)不符合三個(gè)條件時(shí)，就要進(jìn)行變形，運(yùn)用基本不等式即可.

例1 已知a>0，b>0，1a+2b=3，求ab的最大值.

分析 已知條件是和的形式，和為定值求積的最大值.觀察、發(fā)現(xiàn)直接運(yùn)用基本不等式即可.

解 因?yàn)閍>0，b>0，

所以1a+2b=3≥21a×2b即2ab≤32，所以1ab≤98，ab≥89

所以當(dāng)且僅當(dāng)a=23，b=43 ，ab最小值為89.

二、倒數(shù)和

倒數(shù)和的形式如：a□+b△（a，b為正數(shù)）.當(dāng)且僅當(dāng)□≠△時(shí)，就要對(duì)倒數(shù)和進(jìn)行變形，或加m減m、或乘m除m等方法把□變?yōu)椤?，最終達(dá)到乘積為定值.

例2 已知x>12，求x+22x-1的最值.

分析 觀察、發(fā)現(xiàn)倒數(shù)和的兩項(xiàng)乘積不是定值，不能直接運(yùn)用不等式，此時(shí)需要對(duì)倒數(shù)和進(jìn)行變形，直到乘積為定值時(shí)運(yùn)用基本不等式即可.

解 因?yàn)閤>12，所以x-12>0.

將x+22x-1=x+1x-12=（x-12）+1x-12+12≥2+12.

當(dāng)且僅當(dāng)x=32時(shí)，x+22x-1的最小值為2+12.

例3 求函數(shù)y=x2+3x+5x+1（x≠-1）的值域.

分析 本題看似與不等式無(wú)關(guān)，實(shí)則可以通過(guò)拆分變?yōu)榈箶?shù)和的形式，然后再運(yùn)用基本不等式求解.

解 y=x2+3x+5x+1=（x+1）2+（x+1）+3x+1=（x+1）+3x+1+1

（1）當(dāng)x+1>0即x>-1時(shí)，y≥2（x+1）×3x+1+1即y≥1+23，當(dāng)且僅當(dāng)x=3-1時(shí)，等號(hào)成立;

（2）當(dāng)x+1<0即x<-1時(shí)，y≤-2（x+1）×3x+1+1即y≤1-23，當(dāng)且僅當(dāng)x=-3-1時(shí)，等號(hào)成立.

綜上所述，函數(shù)y=x2+3x+5x+1（x≠-1）的值域?yàn)?SymboleB@，1-23∪1+23，+SymboleB@.

三、整式和與分式和

整式和的形式如：a○+b▲（a，b為正數(shù)），分式和的形式如：c□+d△（c，d為正數(shù)）﹒在涉及整式和與分式和的數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)常常已知一個(gè)定值求另一個(gè)最值. 當(dāng)且僅當(dāng)□+△不為定值時(shí)，就要對(duì)整式和變形，或加m減m、或乘m除m等把分母之和變?yōu)槎ㄖ?解決辦法：先設(shè)，接著進(jìn)行乘法運(yùn)算，最后變?yōu)榈箶?shù)和的形式求最值.

例4 已知正數(shù)a，b滿足a+b=1，求12a+3+1b+2的最小值.

分析 本題是整式和為定值求分式和的最值問(wèn)題. 解決辦法：整式和乘以分式和﹒筆者觀察、發(fā)現(xiàn)分式中的兩分母之和與已知條件的定值不吻合，所以先將分式進(jìn)行變形，后再將整式變形即可.

解 不妨設(shè)12a+3+1b+2=m，將12a+3+1b+1變?yōu)?2a+32+1b+1，

因?yàn)閍+b=1所以（a+32）+（b+2）=92，

所以92m=（a+32）+（b+2）×12a+32+1b+2

92m=32+2a+32b+2×12（b+2）a+32≥32+2

所以m≥13+239﹒

當(dāng)且僅當(dāng)a=922-6，b=7-922時(shí)，12a+3+1b+2的最小值為13+239﹒

例5 已知a>0，b>0，a+3b=5ab，則3a+4b的最小值是（）.

A.245B. 285C. 5D. 6

分析 將題設(shè)條件化簡(jiǎn)為分式和為定值的形式. 筆者發(fā)現(xiàn)原問(wèn)題是分式和為定值求整式和為最值的數(shù)學(xué)問(wèn)題. 解決辦法：整式和乘以分式和后用基本不等式即可.

解 將a+3b=5ab化簡(jiǎn)3a+1b=5

不妨設(shè)3a+4b=m，且a>0，b>0，則有

5m=（3a+1b）（3a+4b）=13+12ba+3ab≥13+24ba·9ab

即5m≥25 解得m≥5，故選C﹒

四、整式和與整式和

已知整式和為定值求另一個(gè)整式和的最值.解決辦法：分離后找配對(duì). 即配添分離，運(yùn)用基本不等式即可將問(wèn)題解決.

例6 已知正數(shù)a，b滿足a+b=1，求a+b的最大值.

分析 觀察、發(fā)現(xiàn)題設(shè)條件與目標(biāo)都是整式和，若是求和的最大值，則提取系數(shù)、找配對(duì)，想辦法找到和為定值，運(yùn)用ab≤a2+b22或者ab≤（a+b2）2，若達(dá)不到定值，則需要先對(duì)題設(shè)目標(biāo)進(jìn)行變形，運(yùn)用基本不等式即可.

解 因?yàn)閍>0，b>0且a+b=1

a=2·（a·22）≤2（a+122）

同理，b=2·（b·22）≤2（b+122）

所以a+b≤2（a+12+b+122）=2

所以a+b≤2

當(dāng)且僅當(dāng)a=b=12時(shí)，a+b的最大值為2.

例7 已知正數(shù)a，b，c滿足a+b+c=1，求證a2c+b2a+c2b≥1

分析 本題題設(shè)條件、目標(biāo)都是和式、項(xiàng)數(shù)相同. 若是求和的最小值，則分離后找配對(duì)，添項(xiàng)補(bǔ)數(shù)，想辦法找到積為定值;若達(dá)不到定值，則先變形，直到找到積為定值時(shí)才運(yùn)用a2+b2≥2ab或者a+b≥2ab即可.

解 a>0，b>0，c>0

所以a2c+c≥2a，b2a+a≥2b，c2b+b≥2c

所以a2c+b2a+c2b+c+a+b=（a2c+c）+（b2a+a）+（c2b+b）≥2a+2b+2c

當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c=13時(shí)，等號(hào)成立

所以a2c+b2a+c2b≥1證畢.

參考文獻(xiàn)：

[1]蔡勇全.構(gòu)造“基本不等式”適用背景的六種變換[J].數(shù)理化解題研究，2019（01）：56-59.

[責(zé)任編輯：李 璟]