例談高考函數(shù)與導(dǎo)數(shù)類(lèi)壓軸題巧妙解法

侯思路

摘 要：函數(shù)與導(dǎo)數(shù)是歷年高考命題的必考內(nèi)容，而且題目形式新穎，設(shè)計(jì)巧妙，對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力有較高要求，考查了學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)解題思想方法的掌握.它也是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的難點(diǎn)和重點(diǎn)，只要抓住該類(lèi)題型的本質(zhì)，掌握其解題規(guī)律，無(wú)論其命題思路和形式再怎么變化，都可以有效破解.

關(guān)鍵詞：函數(shù)與導(dǎo)數(shù);高中數(shù)學(xué);高考題型

中圖分類(lèi)號(hào)：G632文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：1008-0333（2021）10-0024-02

函數(shù)與導(dǎo)數(shù)是高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容，在高考試卷中分值約占22～27分，函數(shù)與導(dǎo)數(shù)知識(shí)在高考試卷中多以壓軸題的形式出現(xiàn)，它也是高中數(shù)學(xué)中的難點(diǎn)內(nèi)容，能否突破函數(shù)與導(dǎo)數(shù)題是高考得高分的關(guān)鍵.下面結(jié)合高中數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐，例談破解高考函數(shù)與導(dǎo)數(shù)壓軸題的小妙招.

一、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值

利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)是高考命題的常見(jiàn)形式，每年高考命題中都會(huì)有所涉及.常見(jiàn)的命題形式包括：

1.判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性或單調(diào)區(qū)間;

2.求函數(shù)f（x）的最值;

3.已知函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、最值求參數(shù)的值.

典型例題 已經(jīng)函數(shù)f（x）=ax，g（x）=lnx.

（1）若函數(shù)F（x）=f（x）-g（x）有極值-1，求實(shí)數(shù)a的值;

（2）若函數(shù)G（x）=f[sin（1-x）+g（x）]在區(qū)間（0，1）上為增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

思路分析 （1）求函數(shù)F（x）的解析式，并求導(dǎo)，對(duì)實(shí)數(shù)a進(jìn)行分類(lèi)討論，判斷F′（x）的符號(hào)，利用函數(shù)F（x）有極植-1，求出關(guān)于參數(shù)a的方程，解方程，求出實(shí)數(shù)a的值;

（2）求函數(shù)G（x）的解析式，并求導(dǎo)，由函數(shù)G（x）在區(qū)間（0，1）上為增函數(shù)轉(zhuǎn)化為G’（x）≥0對(duì)x∈（0，1）恒成立，再將恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求參數(shù)的取值范圍問(wèn)題，從而求出實(shí)數(shù)a的取值范圍.

解析 （1）因?yàn)閒（x）=ax，g（x）=lnx且F（x）=f（x）-g（x），所以F（x）=ax-lnx（x>0），

所以F′（x）=a-1x（x>0），當(dāng)a≤0時(shí)，F(xiàn)′（x）<0，函數(shù)F（x）在（0，+SymboleB@）上單調(diào)遞減，函數(shù)F′（x）無(wú)極值，不符合題意.

當(dāng)a>0時(shí)，由F′（x）<0x>0，得0<x<1a;

由F′（x）>0x>0，得x>1a，所以，函數(shù)F（x）在（0，1a）上單調(diào)遞減，在（1a，+SymboleB@）上單調(diào)遞增，因?yàn)楹瘮?shù)F（x）有極值-1，

所以F（1a）=1-ln1a=-1，故a=e-2.（2）因?yàn)閒（x）=ax，g（x）=lnx，且G（x）=f[sin（1-x）]+g（x），

所以G（x）=asin（1-x）+lnx，

所以G′（x）=-acos（1-x）+1x.

由題意可得，G′（x）=-acos（1-x）+1x≥0對(duì)x∈（0，1）恒成立，

記h（x）=1xcos（1-x）（0<x<1），則h′（x）=-cos（1-x）+xsin（1-x）[xcos（1-x）]2<0，

所以h（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，所以h（x）>h（1）=1，所以a≤1，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-SymboleB@，1].

破題策略 本題設(shè)計(jì)意在考查分類(lèi)討論和方程思想，檢驗(yàn)學(xué)生的化歸與轉(zhuǎn)化能力和運(yùn)算求解能力.破題關(guān)鍵：（1）方程思想，即對(duì)于含有參數(shù)的可導(dǎo)函數(shù)有極值的關(guān)鍵是對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類(lèi)討論，并尋找其導(dǎo)數(shù)為零的根，以及在根的左、右兩側(cè)導(dǎo)數(shù)的符號(hào);

（2）轉(zhuǎn)化思想，即可導(dǎo)函數(shù)f（x）在某個(gè)區(qū)間D內(nèi)單調(diào)遞增（或遞減），則有f ′（x）≥0或f ′（x）≤0在區(qū)間D內(nèi)恒成立，由此，將求函數(shù)的單調(diào)性轉(zhuǎn)化為恒成立問(wèn)題.

二、函數(shù)、導(dǎo)數(shù)與零點(diǎn)相交匯

函數(shù)、導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的零點(diǎn)（方程的根）相交匯的考題在近年的高考中經(jīng)常出現(xiàn)，命題考查形式：

1.判斷函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)問(wèn)題;

2.已知函數(shù)在給定區(qū)間的零點(diǎn)（方程在給定區(qū)間的解）的情況，求參數(shù)的取值范圍或證明不等式成立.

典型例題 已知函數(shù)f（x）=ex-x-m（m∈R）.

（1）判斷函數(shù)f（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并說(shuō)明理由;（2）若函數(shù)f（x）有兩個(gè)零點(diǎn)x1，x2，證明：x1+x2<0.

思路分析 （1） 求f ′（x），判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性，得最小值，并對(duì)函數(shù)f（x）的最小值進(jìn)行分類(lèi)討論，

即可判斷函數(shù)f（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù);

（2）不妨設(shè)x1<x2，欲證x1+x2<0，只需證x1<-x2，判斷f（x1）-f（x2）的符號(hào)，并判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性，即可得證.

解析 （1）f ′（x）=ex-1，令f ′（x）<0，得x<0;

令f ′（x）>0，得x>0，所以，函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（-SymboleB@，0），單調(diào)遞增區(qū)間為（0，+SymboleB@），故當(dāng)x=0時(shí)，函數(shù)f（x）取得最小值f（0）=1-m.

當(dāng)1-m>0，即m<1時(shí)，函數(shù)f（x）沒(méi)有零點(diǎn).當(dāng)1-m=0時(shí)，即m=1時(shí)，函數(shù)f（x）有一個(gè)零點(diǎn).

當(dāng)1-m<0時(shí)，即m>1時(shí)，構(gòu)造函數(shù)g（x）=ex-2x（x≥1），則g′（x）=ex-2，

當(dāng)x∈[1，+SymboleB@）時(shí)，g′（x）>0，所以，函數(shù)g（x）在[1，+SymboleB@）

上單調(diào)遞增，所以g（x）≥g（1）=e-2>0，因?yàn)閙>1，所以g（m）=em-2m>0，又f（m）=em-2m（m>1），故f（m）>0.

又f（-m）=e-m>0，所以必存在唯一的x1∈（-m，0），唯一的x2∈（0，m），

使得x1，x2為函數(shù)f（x）的兩個(gè)零點(diǎn).故當(dāng)m>1時(shí)，f（x）有兩個(gè)零點(diǎn).

（2） 若x1，x2為f（x）的兩個(gè)零點(diǎn)，設(shè)x1<x2，則由（1）知x1<0，x2>0.

因?yàn)閒（x1）-f（-x2）=f（x2）-f（-x2）=（ex2-x2-m）-（e-x2+x2-m）

=ex2-e-x2-2x2.

令φ（x）=ex-e-x-2x（x≥0），則φ′（x）=ex+1ex-2≥2ex·1ex-2=0，所以，φ（x）在[0，+SymboleB@）上單調(diào)遞增，因此φ（x）≥φ（0）=0.

又x1<0<x2，所以φ（x2）>0，即ex2-e-x2-2x2>0，故f（x1）>f（-x2），又x1<0，-x2<0，且由（1）知f（x）在（-SymboleB@，0）上單調(diào)遞減，所以x1<-x2，所以x1+x2<0.

破題策略 本題重在檢驗(yàn)考生的推理能力、運(yùn)算能力和創(chuàng)新思維.破解此類(lèi)題型的關(guān)鍵是：

（1）牢固掌握函數(shù)、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)相關(guān)知識(shí)，熟練運(yùn)用導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)單調(diào)性、最值.

（2）轉(zhuǎn)化思想是解決函數(shù)類(lèi)題目的重要途徑，將判斷函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)求最值問(wèn)題.

（3）通過(guò)構(gòu)造函數(shù)，將比較大小問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題.

總之，關(guān)于導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的壓軸題類(lèi)型很多，而且每年的命題角度都會(huì)有所不同，對(duì)學(xué)生的邏輯思維能力有較高的要求.但是，只要我們掌握了基本的數(shù)學(xué)解題思想，注重積累和反思，對(duì)“函數(shù)與導(dǎo)數(shù)類(lèi)”壓軸題常見(jiàn)類(lèi)型心中有數(shù)，把握其實(shí)質(zhì)，掌握其規(guī)律，規(guī)范其步驟，做到“胸中有法”，那么不論高考“函數(shù)與導(dǎo)數(shù)類(lèi)”壓軸題的構(gòu)思多么新穎，我們都能做到以不變應(yīng)萬(wàn)變，此類(lèi)壓軸題就能迎刃而解.

參考文獻(xiàn)：

[1]趙承東.高中數(shù)學(xué)教學(xué)中學(xué)生發(fā)散思維的培養(yǎng) [J].基礎(chǔ)教育研究，2019（10）：20-22.

[2]駢吉軍.中學(xué)數(shù)學(xué)課程教學(xué)的有效策略 [J].中學(xué)教學(xué)參考，2018（11）：8-10.

[責(zé)任編輯：李 璟]