高中數(shù)學(xué)函數(shù)解題思路多元化的方法分析

唐菊香

摘 要：本文主要以高中數(shù)學(xué)函數(shù)解題思路多元化的方法分析為重點(diǎn)進(jìn)行闡述，結(jié)合當(dāng)下高中學(xué)生數(shù)學(xué)函數(shù)學(xué)習(xí)現(xiàn)狀為依據(jù)，首先分析高中數(shù)學(xué)函數(shù)解題思路多元化概述，其次從函數(shù)解題思路多元化，形成發(fā)散思維、函數(shù)解題思路多元化，形成逆向思維、函數(shù)解題思路多元化，形成創(chuàng)新思維幾個(gè)方面深入說(shuō)明并探討高中數(shù)學(xué)函數(shù)解題思路多元化的有效方法，進(jìn)而凸顯多元化解題方法的重要性，提高高中數(shù)學(xué)函數(shù)教學(xué)整體質(zhì)量，旨意在為相關(guān)研究提供參考資料.

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué);函數(shù)問(wèn)題;解題思路;多元化

中圖分類號(hào)：G632文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：1008-0333（2021）10-0044-02

新課改標(biāo)準(zhǔn)下，高中學(xué)生在學(xué)習(xí)期間逐步意識(shí)到函數(shù)解題的重要性，多元化解題思路成為影響學(xué)生學(xué)習(xí)效果的關(guān)鍵點(diǎn)，關(guān)聯(lián)學(xué)生綜合能力的培養(yǎng).在多元化解題過(guò)程中，不只是可調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)主觀能動(dòng)性，還可使得學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)得以發(fā)展，為學(xué)生全面成長(zhǎng)奠定基礎(chǔ).如何帶領(lǐng)學(xué)生掌握函數(shù)解題多元化方法，拓展學(xué)生學(xué)習(xí)視野是至關(guān)重要的課題，為此筆者給出下列建議.

一、高中數(shù)學(xué)函數(shù)解題思路多元化概述

在高中函數(shù)學(xué)習(xí)過(guò)程中，為了保障學(xué)生邏輯思路清晰化，學(xué)生要以客觀的視角出發(fā)，在處理函數(shù)問(wèn)題時(shí)，了解計(jì)算方法，可是不知道解決問(wèn)題的真實(shí)含義.因此在訓(xùn)練解題思路過(guò)程中，要深層次探索解題問(wèn)題的意義，多元化解題方法可實(shí)現(xiàn)這一個(gè)目標(biāo)，調(diào)動(dòng)學(xué)生創(chuàng)新思維，在問(wèn)題解決期間掌握多元化處理問(wèn)題的思路，提高學(xué)生解決問(wèn)題效率，所以多元化解題方法的運(yùn)用是至關(guān)必要的.學(xué)生學(xué)習(xí)函數(shù)之后，可初步了解函數(shù)代表變量y以及變量x之間的關(guān)系，高中階段涉及的函數(shù)知識(shí)比初中階段的函數(shù)知識(shí)更加繁瑣，重點(diǎn)是基于集合變量，計(jì)算對(duì)應(yīng)關(guān)系.解決問(wèn)題時(shí)要分析函數(shù)相關(guān)概念，了解變量之間的關(guān)聯(lián)，由此優(yōu)化現(xiàn)有的解題形式.在具體解決問(wèn)題期間，沒(méi)有完全明確概念知識(shí)條件下就參與訓(xùn)練，取得的結(jié)果是不理想的，因此在日常學(xué)習(xí)與教學(xué)中，要全面掌握函數(shù)知識(shí)，以基礎(chǔ)知識(shí)為主探索解決問(wèn)題的更多方法，加強(qiáng)學(xué)生對(duì)知識(shí)點(diǎn)理解與掌握，強(qiáng)化學(xué)生綜合能力和數(shù)學(xué)素養(yǎng)發(fā)展.

二、函數(shù)解題思路多元化，形成發(fā)散思維

在處理數(shù)學(xué)問(wèn)題過(guò)程中，也就是分析數(shù)量問(wèn)題，研究題目?jī)?nèi)多個(gè)元素之間的關(guān)系與具體結(jié)構(gòu)，挑選切合實(shí)際的處理問(wèn)題方法.總體而言，學(xué)生參與訓(xùn)練為了獲取解決問(wèn)題的思路，若局限在一個(gè)解決問(wèn)題方式上，學(xué)生自身的思維會(huì)相對(duì)被動(dòng)化，信息處理時(shí)間不足，對(duì)應(yīng)的思考空間也會(huì)相對(duì)封閉.可是因?yàn)槎喾N因素的影響，大多數(shù)情況下教材中的例子僅僅存在單一解決問(wèn)題的方法，引出學(xué)生思維受到限制的結(jié)果，降低學(xué)生發(fā)散思維培養(yǎng)效果，降低知識(shí)網(wǎng)絡(luò)建立有效性.所以要適當(dāng)組織學(xué)生參與一題多解的學(xué)習(xí)活動(dòng)，一方面保證學(xué)生對(duì)問(wèn)題進(jìn)行優(yōu)化，另一方面延伸學(xué)生思維空間，找到思維發(fā)散的具體方向，保證學(xué)生更好的學(xué)習(xí)與思考.

例1 解決下列問(wèn)題：若sin（π4-x）=513，且x∈[0，π4]，計(jì)算cos2xcos（π4+x）.

解法1 由于x∈[0，π4]，所以（π4-x）∈[0，π4]，那么cos（π4-x）=1213;sin（π4+x）=cos（π4-x）=1213，

cos（π4+x）=sin（π4-x）=513，即cos2x=cos[（π4+x）-（π4-x）]=120169，所以cos2xcos（π4+x）=2413.

解法2 由于cos2x=cos[π2-2（π4-x）]=sin[2（π4-x）]=2sin（π4-x）cos（π4-x）.而cos（π4+x）=sin（π4-x）=513，因此cos2xcos（π4+x）=2cos（π4-x）=2413.

解法3 對(duì)cos2xcos（π4+x）進(jìn)行變形，cos2xcos（π4+x）=cos2x-sin2x22（cosx-sinx）=2（sinx+cosx）=2cos（π4-x）=2413.

例2 計(jì)算f（x）=x+1x（x>0）的值域.

解法1 對(duì)x+1x進(jìn)行拆解，即f（x）=x+1x=（x）2+（1x）2≥2x·1x=2，得到f（x）=x+1x（x>0）的值域是[2，+∞];

解法2 對(duì)x+1x進(jìn)行配方，在一定條件下對(duì)未知數(shù)進(jìn)行消除，得到最小值.

f（x）=x+1x=（x-1x）2+2，在x=1x時(shí)，f（x）最小值是2，所以f（x）=x+1x（x>0）的值域是[2，+∞].

由此，處理數(shù)學(xué)函數(shù)問(wèn)題的方法是靈活且多樣的，技巧性比較強(qiáng)，問(wèn)題的分析成為處理問(wèn)題的關(guān)鍵點(diǎn)，熟練運(yùn)用解決問(wèn)題方法是要點(diǎn)，聯(lián)想計(jì)算問(wèn)題答案是必要的手段，科學(xué)旋轉(zhuǎn)與公式變形都是促使學(xué)生思維發(fā)散運(yùn)作的媒介.所以要組織學(xué)生善于使用發(fā)散思維，找到思維定勢(shì)的突破點(diǎn)，增強(qiáng)學(xué)生研究問(wèn)題能力，長(zhǎng)時(shí)間訓(xùn)練之后勢(shì)必會(huì)促使學(xué)生思維更為開(kāi)放.

三、函數(shù)解題思路多元化，形成逆向思維

結(jié)合個(gè)體的思維方式差異，思維過(guò)程涉及的方向性包含正向思維以及逆向思維，兩者互相矛盾與沖突，可都是比較重要的思想.然而現(xiàn)階段高中階段的數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容缺少逆向思維的滲透，在一定程度上影響學(xué)生逆向思維形成，要想通過(guò)正向思維對(duì)問(wèn)題進(jìn)行處理會(huì)產(chǎn)生困難，所以要探索另外處理問(wèn)題方式，明確逆向思維的使用思路，使得學(xué)生在有限時(shí)間內(nèi)通過(guò)逆向思維簡(jiǎn)化問(wèn)題.

例3 若Sn代表等比數(shù)列前n項(xiàng)和，已知S3、S9以及S6之間成等差數(shù)列，證明：b2、b8與b5也是等差數(shù)列.

（1）通過(guò)公式Sn=b1（1-qn）1-q，由于S3、S9以及S6之間成等差數(shù)列，因此S3+S6=2S9，（q≠1），所以b1（1-q3）1-q+b1（1-q6）1-q=2×b1（1-q9）1-q，即q3+q6=2q9（q≠1），繼而1+q3=2q6.有b2+b5=b1q+b1q4=2b1q7=2b8，那么b2、b8與b5是等差數(shù)列;

（2）借助公式S2n=Sn（1+qn），S3n=Sn（1+qn+q2n），所以S6=S3

+b4+b5+b6=S3（1+q3）、S9=S3（1+q3+q6），由于S3+S6=2S9，有S3+S3（1+q3）=2S3（1+q3+q6），那么q3=-12，即b2+b5=2b8，那么b2、b8與b5是等差數(shù).

基于此，對(duì)函數(shù)問(wèn)題進(jìn)行多元化思考，改變以往的解決問(wèn)題順序，引進(jìn)逆向思維模式，更加透徹的分析問(wèn)題和解決問(wèn)題，樹(shù)立學(xué)生學(xué)習(xí)信心，調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)積極性，在學(xué)生得到良好學(xué)習(xí)體驗(yàn)同時(shí)強(qiáng)化學(xué)生逆向思維發(fā)展.

四、函數(shù)解題思路多元化，形成創(chuàng)新思維

一題多解，即解題思路多元化，能夠改變一組命題的結(jié)論，關(guān)聯(lián)著解決問(wèn)題的方法，師生對(duì)命題與命題的形式加以分析，增強(qiáng)解決問(wèn)題的綜合水平，活躍學(xué)生大腦思維，不斷調(diào)動(dòng)學(xué)生創(chuàng)新力，在解題思路多元化操作之下，幫助學(xué)生形成創(chuàng)新思維.

例4 計(jì)算不等式：3<|2x-3|<5.

解法1 對(duì)不等式進(jìn)行變形：3<|2x-3|<5可替換3<|2x-3|并且|2x-3|<5，所以3<x<4或者-1<x<0，即答案是{x|3<x<4或-1<x<0};

解法2 按照絕對(duì)值基本定義，分類進(jìn)行討論：

（1）在2x-3≥0時(shí)，3<|2x-3|<5等價(jià)為3<2x-3<5，即3<x<4.

（2）在2x-3<0時(shí)，3<|2x-3|<5等價(jià)為-1<x<0，因此答案是{x|3<x<4或-1<x<0};

解法3 通過(guò)等價(jià)命題法，3<|2x-3|<5替換成3<2x-3<5或者-5<2x-3<-3，得到{x|3<x<4或-1<x<0};

解法4 結(jié)合絕對(duì)值集合定義，把3<|2x-3|<5轉(zhuǎn)變?yōu)?2<|x-32|<52.所以幾何意義是點(diǎn)x與32的距離是32與52之間，那么答案是{x|3<x<4或-1<x<0}.

基于此，適當(dāng)引進(jìn)思維創(chuàng)新方法， 從多個(gè)角度上思考和處理問(wèn)題，體現(xiàn)數(shù)學(xué)問(wèn)題的靈活多變性，啟迪學(xué)生思維，使得學(xué)生思維得以創(chuàng)新與發(fā)展，強(qiáng)化高中學(xué)生學(xué)習(xí)效率.

綜上所述，高中數(shù)學(xué)教材中，函數(shù)知識(shí)是比較重要的，存在邏輯性與多變性，師生應(yīng)該立足于函數(shù)問(wèn)題的本質(zhì)，從函數(shù)概念出發(fā)，充分挖掘解決函數(shù)問(wèn)題的多元化方法與思路，在發(fā)散思維、逆向思維與創(chuàng)新思維培養(yǎng)之下，不斷提高學(xué)生解決問(wèn)題的速度，豐富學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)面，加深學(xué)生對(duì)知識(shí)點(diǎn)印象和感知，由此確保高中數(shù)學(xué)課程高效率進(jìn)行.

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[責(zé)任編輯：李 璟]