高中數(shù)學(xué)中立體幾何試題的有效解題方法探究

葛宏偉

摘 要：立體幾何是高中數(shù)學(xué)試題中非常重要的一個考查方面.它對學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識、空間想象能力以及運(yùn)算能力提出了很高的要求.學(xué)生在解題過程中需要發(fā)揮想象能力和探究能力，通過分析的方式把握知識規(guī)律，理清知識間的關(guān)系，明確考查本質(zhì)，快速答題.

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué);立體幾何;解題方法

中圖分類號：G632文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A文章編號：1008-0333（2021）10-0038-02

立體幾何知識需要學(xué)生從多角度考慮，對學(xué)生各方面的能力提出了很高的要求.教師在教學(xué)中要對學(xué)生進(jìn)行“授之以漁”的教育，從方法上引導(dǎo)學(xué)生，促進(jìn)學(xué)生積極思考.教師要引導(dǎo)學(xué)生在夯實(shí)基本功的基礎(chǔ)上探究解題方法，總結(jié)解題規(guī)律，深化認(rèn)識.只有學(xué)生具有了較好的基礎(chǔ)知識和敏銳的洞察力，通過認(rèn)真揣摩和分析的方式才能夠明確各個數(shù)量之間的關(guān)系，構(gòu)建出空間圖形.通過想象和探究的方式來確定立體空間觀念，構(gòu)建出空間模型，探究解題思路.一、射影法

在立體幾何中線面角和二面角都是非常重要的概念，對于學(xué)生解決立體幾何問題非常關(guān)鍵.例如如圖，P-ABCD是四棱錐，△PAD是等腰直角三角形，AD是它的斜邊，其中BC∥AD，CD⊥AD，PC=AD=2DC=2CB，E為PD的中點(diǎn).

（1）證明：CE∥平面PAB;

（2）求直線CE與平面PBC所成角的正弦值.

在分析問題是，學(xué)生首先要明確題目中的已知信息，通過認(rèn)真閱讀的方式明確題目中給出的條件，分析它們彼此之間的關(guān)系，形成對試題的簡單理解.思考中，學(xué)生可以設(shè)F為PA中點(diǎn)，連接EF，F(xiàn)B，證明CE∥平面PAB.在求解第二問時，教師可以指導(dǎo)學(xué)生采用射影的方式來思考和探究，通過射影來探究各種數(shù)量關(guān)系，通過邏輯思考的方式來尋找解題思路.解題中，學(xué)生可以分別取BC，AD的中點(diǎn)M，N.為了方便解題，學(xué)生在思考中可以連接PN交EF于點(diǎn)Q，連接MQ.推理中學(xué)生會發(fā)現(xiàn)Q為EF的中點(diǎn).在接下來的思考和探究中，學(xué)生會看到平行四邊形BCEF中中MQ∥CE，又因?yàn)椤鱌AD是等腰直角三角形，可以得到PN⊥AD.由DC⊥AD，BC∥AD，BC=12AD，在認(rèn)識到AD⊥平面PBN后，學(xué)生可以得到平面PBC⊥平面PBN.再一次做輔助線，過點(diǎn)Q作PB的垂線，H為垂足，連接MH.根據(jù)射影知識可以看到MH是MQ在平面PBC上的射影，所以∠QMH是直線CE與平面PBC所成的角.

設(shè)CD=1.在△PCD中可以計(jì)算出CE=2，在Rt△PBC中，由BC=1，PC=2得PB=3.根據(jù)直角三角形的相關(guān)知識可以計(jì)算出MQ=2，所以sin∠QMH=28.

二、最值法

最值法是解決立體幾何的一種常見方法，通常用于解決最大值與最小值方面的問題.例如如圖所示的三視圖，正視圖中的三角形邊長為2，側(cè)視圖的半圓半徑為1，求內(nèi)接三棱錐的體積的最大值是（）.

A.36B.33

C.433

D.3π3

通過對題目中的信息的閱讀，學(xué)生會看到這是求最值的問題.當(dāng)看到求最值問題時，學(xué)生會從三視圖中的已知信息看到，這是半個圓錐，在進(jìn)一步的思考和探究中，學(xué)生會從已知信息中了解圓錐的母線長，底面半徑，并且可以結(jié)合這些信息計(jì)算出圓錐的高為3.在探究三棱錐的最大體積時，學(xué)生會考慮到三棱錐的底面是斜邊為半圓直徑，高為半圓半徑的等腰直角三角形，高為半圓錐的高時，這個時候三棱錐的體積最大.通過體積公式可以計(jì)算出V=16×2×1×3=33，所以最大體積為33.

三、輔助線法

通過恰當(dāng)應(yīng)用輔助線可以把看似毫無關(guān)系的空間數(shù)量聯(lián)系起來，在輔助線的幫助下快速推理，準(zhǔn)確遷移，實(shí)現(xiàn)對試題的解答.例如如圖，點(diǎn)N為正方形ABCD的中心，△ECD為正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是線段ED的中點(diǎn)，則（）.

A.BM=EN，且直線BM，EN是相交直線

B.BM≠EN，且直線BM，EN是相交直線

C.BM=EN，且直線BM，EN是異面直線

D.BM≠EN，且直線BM，EN是異面直線

思考中，學(xué)生會做出輔助線，呈現(xiàn)如圖2所示的圖形.通過推理和邏輯分析，可以證明∴EF⊥平面ABCD.

∴EF⊥FN.不妨設(shè)AB=2，則FN=1，EF=3，

∴EN=FN2+EF2=2.

∵EM=MD，DG=GF，∴MG∥EF且MG=12EF，

∴MG⊥平面ABCD，∴MG⊥BG.∵M(jìn)G=12EF=32，BG=

CG2+BC2=（32）2+22=52.

之后可以計(jì)算出BM的值為7，進(jìn)而證明BM，EN是△DBE的中線.有了這些科學(xué)認(rèn)識和推理過程，學(xué)生會認(rèn)識到在幾何體中BM，EN必相交，所以B正確.

四、空間向量法

空間向量法是解決立體幾何的一種常見方法.例如如圖，正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱長相等，E，F(xiàn)，G分別為AB，AA1，A1C1的中點(diǎn)，則B1F與平面GEF所成角的正弦值是多少？探究問題過程中，學(xué)生可以通過向量法來思考.這是高中立體幾何試題常用的一種解題策略，通過對試題的分析，學(xué)生會建立直角坐標(biāo)系，在坐標(biāo)系中進(jìn)行數(shù)據(jù)的聯(lián)系，把握各個變量的關(guān)系，形成科學(xué)性認(rèn)識.在解題時，如圖所示建立坐標(biāo)系.通過對各個變量的值進(jìn)行分析可以得出B1（0，3，2），F(xiàn)（1，0，1），E（12，32，0），G（0，0，2），B1F=（1，-3，-1），EF=（12，-32，1），GF=（1，0，-1）.

為了解答問題，可以設(shè)平面的法向量為n=（x，y，z），則EF·n=0，GF·n=0，

即12x-32y+z=0，x-z=0，

取x=1，則z=1，y=3，

運(yùn)用所學(xué)過的數(shù)學(xué)知識進(jìn)行計(jì)算和解答，學(xué)生會計(jì)算出n=（1，3，1），結(jié)合三角函數(shù)知識，學(xué)生進(jìn)行推理和計(jì)算會得到B1F與平面GEF所成角的正弦值為

35.學(xué)生把題目中已知的數(shù)據(jù)放到坐標(biāo)系中，通過坐標(biāo)來建立聯(lián)系，大大提高了解題效率，有利于學(xué)生形成解題思路.

總之，“授之以魚”不如“授之以漁”，學(xué)生掌握了不同的解題方法和解題策略，會形成對知識的清楚認(rèn)識.學(xué)生主動探究會習(xí)得解題方法和策略，帶著對知識的理性理解來思考和分析.教師科學(xué)地指導(dǎo)學(xué)生，鼓勵學(xué)生在大腦中建構(gòu)圖形的立體框架和結(jié)構(gòu)，把握各個數(shù)量關(guān)系，會促進(jìn)學(xué)生更好地理解知識，提高解題能力.

參考文獻(xiàn)：

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[2]馬吉良.淺談高中數(shù)學(xué)中的立體幾何解題技巧[J].考試周刊，2018（43）：81.

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