“弧度制”教學(xué)設(shè)計(jì)

劉燁燁

摘? 要：弧度制是建立三角函數(shù)知識(shí)體系的基礎(chǔ)，本節(jié)課以角度制下的弧長(zhǎng)公式為基礎(chǔ)，啟發(fā)學(xué)生用弧長(zhǎng)度量角的大小，通過類比、由特殊到一般的思想建構(gòu)弧度制概念，建立弧度制與角度制的聯(lián)系，體會(huì)引入弧度制的必要性.

關(guān)鍵詞：概念本質(zhì);弧長(zhǎng)公式;合理度量;換算關(guān)系

一、教學(xué)內(nèi)容解析

本節(jié)課是蘇教版《普通高中教科書·數(shù)學(xué)（必修）》（以下統(tǒng)稱“教材”）第一冊(cè)第七章第一節(jié)“角與弧度”的內(nèi)容. 弧度制是三角函數(shù)一章的基礎(chǔ)內(nèi)容，由角和圓等幾何元素出發(fā)、度量角而生成，進(jìn)而構(gòu)建以弧度制為核心的相關(guān)知識(shí)群，為全面建立三角函數(shù)體系提供理論準(zhǔn)備. 弧度制的本質(zhì)是用線段長(zhǎng)度度量角的大小，統(tǒng)一了三角函數(shù)自變量和函數(shù)值的單位. 事實(shí)上，弧度制作為構(gòu)建三角函數(shù)的重要工具，與實(shí)數(shù)的十進(jìn)制運(yùn)算統(tǒng)一了起來，簡(jiǎn)化了弧長(zhǎng)、扇形面積公式，并為學(xué)習(xí)、研究高等數(shù)學(xué)及其他學(xué)科知識(shí)奠定了基礎(chǔ)，帶來了便利.

本節(jié)課概念的形成經(jīng)歷“背景—研究對(duì)象—對(duì)應(yīng)關(guān)系的本質(zhì)—定義—應(yīng)用”的過程，考慮到弧度制獨(dú)特的度量特征和三角函數(shù)的基礎(chǔ)地位，選擇以單位制度為本節(jié)課弧度制生成的鑰匙，著力啟發(fā)學(xué)生用弧長(zhǎng)度量角的大小，體會(huì)引入弧度制的必要性，力圖通過揭示弧度制的本質(zhì)特征和思想內(nèi)涵，使弧度制的相關(guān)知識(shí)結(jié)構(gòu)得以完善. 本節(jié)課也是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)創(chuàng)新意識(shí)，以及認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)科學(xué)價(jià)值和文化價(jià)值的重要載體.

根據(jù)以上分析，可以確定本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)是：弧度制的探究與生成，弧度制與角度制的互化.

二、教學(xué)目標(biāo)設(shè)置

通過對(duì)教學(xué)內(nèi)容的解讀，結(jié)合《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》對(duì)這部分內(nèi)容的教學(xué)要求，對(duì)本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)設(shè)置如下.

（1）學(xué)生參與認(rèn)識(shí)現(xiàn)實(shí)生活中周期現(xiàn)象和抽象數(shù)學(xué)模型的活動(dòng)，經(jīng)歷弧度制的生成過程，嘗試用弧長(zhǎng)度量角的大小，了解弧度制下角的集合與實(shí)數(shù)集R之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，體會(huì)引入弧度制的必要性.

（2）學(xué)生能熟練進(jìn)行角度制與弧度制的互化，總結(jié)角度制與弧度制的內(nèi)在聯(lián)系，感受公式應(yīng)用的簡(jiǎn)潔性.

（3）學(xué)生通過構(gòu)建弧度制的知識(shí)體系，完善認(rèn)知結(jié)構(gòu)，體會(huì)定義的合理性和類比的思想方法，學(xué)會(huì)站在系統(tǒng)的高度形成整體的認(rèn)識(shí)，感悟數(shù)學(xué)的理性精神.

三、學(xué)生學(xué)情分析

1. 學(xué)生已有的認(rèn)知基礎(chǔ)

本節(jié)課的授課對(duì)象是高一學(xué)生，他們已經(jīng)學(xué)習(xí)了角度制和任意角的相關(guān)知識(shí)，有用不同單位進(jìn)行度量的生活經(jīng)驗(yàn)，具有一定的探究能力和邏輯思維能力，這為本節(jié)課的學(xué)習(xí)提供了一定的知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)方面的儲(chǔ)備和能力方面的保障.

2. 達(dá)成目標(biāo)所需的認(rèn)知基礎(chǔ)

弧度制與學(xué)生原有的角度制的認(rèn)知結(jié)構(gòu)有一定沖突，認(rèn)識(shí)弧度制定義的合理性，需要一定的批判思維和創(chuàng)新能力，這對(duì)學(xué)生而言具有一定的挑戰(zhàn)性.

3. 教學(xué)難點(diǎn)

基于對(duì)教學(xué)內(nèi)容和學(xué)生學(xué)情的分析，確定本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)為：弧度制概念的生成與理解.

4. 突破教學(xué)難點(diǎn)的策略

弄清1弧度角的概念、明確弧度制的本質(zhì)是學(xué)好弧度制的關(guān)鍵.

（1）借助問題驅(qū)動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生從熟悉的長(zhǎng)度單位入手，增加真實(shí)感，降低理解難度.

（2）運(yùn)用類比方法，通過對(duì)熟悉的角度制的回顧，引導(dǎo)學(xué)生探索發(fā)現(xiàn)弧與角的對(duì)應(yīng)關(guān)系.

（3）通過分組活動(dòng)、合作交流等方式，展示思維活動(dòng)的過程，促進(jìn)學(xué)生自主地構(gòu)建和認(rèn)識(shí)概念，在建立知識(shí)的聯(lián)系中深化理解.

四、教學(xué)策略分析

本節(jié)課是概念課，為了幫助學(xué)生理解知識(shí)和學(xué)會(huì)應(yīng)用，形成良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，培養(yǎng)學(xué)生的思維品質(zhì)，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，在教學(xué)過程中采用了以下策略.

（1）采用問題驅(qū)動(dòng)的方式，從創(chuàng)設(shè)情境入手，通過精心設(shè)計(jì)的問題串，啟發(fā)學(xué)生思考和探究，制定出研究方案，引導(dǎo)學(xué)生緊緊圍繞如圖1所示的問題鏈展開教學(xué)活動(dòng).

（2）以“提出問題—經(jīng)歷過程—建構(gòu)概念—深化理解—?dú)w納提升—延伸探究”為教學(xué)主線，從學(xué)生的已有認(rèn)知出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生自主探究、類比發(fā)現(xiàn)，鼓勵(lì)學(xué)生動(dòng)手操作，在嘗試和探索中完善認(rèn)知結(jié)構(gòu)，掌握思想方法，訓(xùn)練思維品質(zhì)，形成數(shù)學(xué)技能.

（3）突出數(shù)學(xué)思想方法的提煉和滲透，引領(lǐng)學(xué)生開展積極有效的思維活動(dòng)，關(guān)注信息反饋，用好生成資源，由淺入深、逐層遞進(jìn)，不斷給學(xué)生提供比較、分析、歸納的機(jī)會(huì)，使學(xué)生在思考、討論、對(duì)話、交流中經(jīng)歷知識(shí)的產(chǎn)生和發(fā)展過程，理解核心概念，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)本質(zhì).

五、教學(xué)過程設(shè)計(jì)

1. 創(chuàng)設(shè)情境，提出問題

問題1：無錫太湖邊豎立著美麗的摩天輪，當(dāng)摩天輪不斷旋轉(zhuǎn)時(shí)，摩天輪上的點(diǎn)[P]會(huì)周而復(fù)始運(yùn)動(dòng)（如圖2）. 那么點(diǎn)[P]的位置可以由哪些量確定？

活動(dòng)：回顧1°角的定義，角與弧長(zhǎng)的進(jìn)制不一致會(huì)為今后的研究帶來不便，聯(lián)系生活中同一個(gè)量可以用不同的單位制進(jìn)行度量，那么角的度量是否也能采用不同的單位制？

【設(shè)計(jì)意圖】認(rèn)識(shí)周期現(xiàn)象，建立刻畫周期現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型是三角函數(shù)一章的主題. 從學(xué)生熟悉的情境入手，利用摩天輪的運(yùn)動(dòng)這一常見、典型的生活實(shí)例創(chuàng)設(shè)問題情境，營(yíng)造學(xué)習(xí)氛圍. 雖然角與弧都可以刻畫點(diǎn)的位置，但是進(jìn)制不統(tǒng)一，會(huì)為今后的研究帶來不便，由此十分自然地引出本節(jié)課所要研究的問題，使學(xué)生明確學(xué)習(xí)新知識(shí)的必要性，為學(xué)生的學(xué)習(xí)指明方向. 學(xué)生回憶初中1°角的規(guī)定，充分說明角度制下單位角約定的合理性，初步感受圓心角與弧長(zhǎng)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，為后續(xù)弧度制的探究提供知識(shí)基礎(chǔ).

【設(shè)計(jì)意圖】在單位1的表示中，從符號(hào)語言、幾何表示及文字語言多個(gè)角度進(jìn)行闡述，通過多元表征，幫助學(xué)生理解1 rad的含義，認(rèn)識(shí)和感受弧度制的本質(zhì)特征. 在幫助學(xué)生自主建構(gòu)數(shù)學(xué)概念的同時(shí)，適當(dāng)融入數(shù)學(xué)史的教學(xué)，追溯數(shù)學(xué)家的思維活動(dòng)軌跡，增加學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)生、發(fā)展過程的了解，借以深化學(xué)生對(duì)弧度制本質(zhì)的認(rèn)識(shí)和理解.

4. 引導(dǎo)應(yīng)用，深化理解

問題5：用弧度制表示角，角的大小有正負(fù)之分嗎？如何區(qū)別呢？

問題6：試提出我們進(jìn)一步要研究、探索的課題.

預(yù)案1：研究度量角的兩種制度間的關(guān)系.

預(yù)案2：研究弧度制的應(yīng)用.

活動(dòng)：師生小結(jié)弧度制與角度制的聯(lián)系與區(qū)別：（1）它們都是度量角的大小的單位;（2）角度制是六十進(jìn)制，弧度制是十進(jìn)制;（3）弧度制是以線段長(zhǎng)度度量角，角度制是以角度量角;（4）無論是以“弧度”還是以“度”為單位，角的大小都是與半徑大小無關(guān)的值.

【設(shè)計(jì)意圖】鼓勵(lì)學(xué)生質(zhì)疑和提問，啟發(fā)學(xué)生提出需要繼續(xù)研究的問題并展開探究活動(dòng). 一方面，為梳理研究這類問題的方法進(jìn)行鋪墊，使學(xué)生在尋求角的兩種度量制度間的聯(lián)系中加深對(duì)弧度制的認(rèn)識(shí)和理解;另一方面，通過思考、探究和發(fā)現(xiàn)，使學(xué)生體會(huì)研究數(shù)學(xué)的一般思維方法，于潛移默化中提升學(xué)習(xí)能力，在學(xué)會(huì)知識(shí)的同時(shí)學(xué)會(huì)學(xué)習(xí).

活動(dòng)：師生探究弧度制下的弧長(zhǎng)與扇形面積公式，并與角度制下的公式進(jìn)行比較.

例3? 已知扇形的周長(zhǎng)為8厘米，圓心角為2 rad，求扇形面積.

【設(shè)計(jì)意圖】數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)，需要與原有知識(shí)建立聯(lián)系，在相互對(duì)比中思考其優(yōu)劣，在尋求聯(lián)系中完善其結(jié)構(gòu)，在追求真實(shí)簡(jiǎn)潔、和諧美妙中培養(yǎng)學(xué)生的科學(xué)精神.

5. 回顧過程，歸納提升

（1）本節(jié)課我們研究了度量角的新單位制——弧度制，回顧一下研究過程，我們是怎樣展開對(duì)弧度制的研究的？

（2）你認(rèn)為定義單位度量角時(shí)，應(yīng)該注意哪些問題？

（3）你認(rèn)為利用弧度制我們可以解決怎樣的問題？

【設(shè)計(jì)意圖】本節(jié)課類比長(zhǎng)度和角度的單位制構(gòu)建的過程，探究發(fā)現(xiàn)了度量角的新單位制——弧度制，通過小結(jié)，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步思考構(gòu)建一種單位制的一般過程，即從特殊事物中揭示一般規(guī)律，不僅要學(xué)習(xí)弧度制這方面的知識(shí)，還要梳理、概括出研究過程是什么，促進(jìn)學(xué)生明確研究?jī)?nèi)容、掌握研究方法、體會(huì)研究?jī)r(jià)值、感悟獲得這些知識(shí)的心路歷程.

6. 布置作業(yè)，延伸探究

（1）（必做）教材練習(xí)1 ～ 8，第10頁習(xí)題10，11.

（2）（選做）查閱弧度制的歷史及有關(guān)歐拉的資料，進(jìn)一步明確弧度制的優(yōu)點(diǎn)，了解歐拉在數(shù)學(xué)史上的貢獻(xiàn).

【設(shè)計(jì)意圖】必做作業(yè)的布置，用來幫助學(xué)生鞏固弧度制的概念，以及弧度制與角度制等有關(guān)知識(shí)，提高學(xué)生運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題的技能，深化對(duì)弧度制的認(rèn)識(shí)和理解，進(jìn)一步積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn);選做作業(yè)的布置，旨在讓學(xué)生通過閱讀數(shù)學(xué)史，了解弧度制的發(fā)生、發(fā)展過程，認(rèn)識(shí)弧度制的本質(zhì)，激發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣，將探究學(xué)習(xí)活動(dòng)延伸至課外.

六、教學(xué)反思

1. 弧度制的概念教學(xué)揭示數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)

筆者曾嘗試許多不同類型的弧度制概念教學(xué)設(shè)計(jì)，但無論以何種方式設(shè)計(jì)，我們都應(yīng)該傳遞正確的信息. 弧度制只是眾多度量方式中的一種，只要度量的方法合理，就會(huì)產(chǎn)生新的度量標(biāo)準(zhǔn). 在學(xué)習(xí)的過程中，學(xué)生總是糾結(jié)為何用[lr]度量角的大小，在他們的觀點(diǎn)中，[l=nπr180]的變形應(yīng)該是[n=180lπr，] 常數(shù)[180π]為何要省略？用度量方式的多樣性可以幫助學(xué)生解釋這方面的疑惑，[lr]可以度量角的大小，當(dāng)然它也不是唯一的方式，[2lr， 3lr， 180lπr，…]這些比值都可以確定角的大小，那么為何會(huì)選擇[lr]？它的簡(jiǎn)潔性到底體現(xiàn)在哪里？這里的簡(jiǎn)潔性一定不是以表達(dá)式本身作為最終的衡量標(biāo)準(zhǔn)，而是它在其他領(lǐng)域使用的便捷性，特別是在微積分中的運(yùn)用. 弧度制的發(fā)展不是一蹴而就的，這些知識(shí)未必要在課堂中全部告訴學(xué)生，但可以在課后引導(dǎo)學(xué)生閱讀歷史材料，了解數(shù)學(xué)史中知識(shí)的產(chǎn)生過程，筆者覺得還是非常有必要的.

2. 以單位圓為知識(shí)載體凸顯本章研究問題的工具

本章研究三角函數(shù)，特別是研究定義、性質(zhì)、應(yīng)用時(shí)都強(qiáng)調(diào)用好單位圓，在弧度制學(xué)習(xí)中單位圓的作用也很大. 歐拉在定義弧度制時(shí)使用了單位圓，單位圓提供了學(xué)生認(rèn)識(shí)概念的幾何載體，把圓心角和弧之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系以圖形的形式呈現(xiàn)出來，學(xué)生理解度量方法的合理性時(shí)可以更形象、直觀. 后續(xù)學(xué)習(xí)中直角坐標(biāo)系的介入，又將單位圓中承載的知識(shí)體系從形與數(shù)方面進(jìn)行了串聯(lián)，更加彰顯了其工具性的作用.

3. 用弧長(zhǎng)度量角的大小緊扣“度量”方法的核心問題

教材利用初中學(xué)習(xí)的弧長(zhǎng)公式，由[lr]確定角的大小，在學(xué)生知識(shí)的最近發(fā)展區(qū)建構(gòu)新知，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律. 但筆者發(fā)現(xiàn)，對(duì)于思維品質(zhì)比較好的學(xué)生，可以多留一些操作的空間. 通過回顧角度制初步感受弧長(zhǎng)與圓心角的對(duì)應(yīng)關(guān)系，為學(xué)生用長(zhǎng)度度量角的大小奠定知識(shí)基礎(chǔ).

弧度制的核心問題是“度量”，學(xué)生用弧長(zhǎng)直接度量角的大小，這種度量的方法我們應(yīng)該用辯證的思維來看待. 當(dāng)半徑變化時(shí)，弧長(zhǎng)發(fā)生改變，用弧長(zhǎng)直接度量角確實(shí)不妥，但如果是半徑固定的圓，用弧長(zhǎng)度量角的方法是合理的. 如果選取的圓的大小不一樣，度量的標(biāo)準(zhǔn)也會(huì)有所不同. 當(dāng)然，圓中弧長(zhǎng)可能不是唯一度量角的工具，部分學(xué)生在圓中還考慮了弦長(zhǎng)，可以適當(dāng)解釋弦長(zhǎng)度量角的不合理性. 本節(jié)課的概念生成以“度量”為知識(shí)主線，度量的方法—單位的制定—定量表示—單位的換算.

本節(jié)課還利用度量角的探究活動(dòng)挖掘數(shù)學(xué)的文化價(jià)值，調(diào)動(dòng)了學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣，激發(fā)了學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)和研究的熱情，培養(yǎng)了學(xué)生的探究發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)新思維能力，優(yōu)化了學(xué)生的思維品質(zhì).

參考文獻(xiàn)：

[1]中華人民共和國(guó)教育部制定. 普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）[M]. 北京：人民教育出版社，2020.