歸納推理要合“理”

管景強(qiáng)

【摘要】在小學(xué)階段，適當(dāng)應(yīng)用科學(xué)歸納推理有利于學(xué)生理解數(shù)學(xué)問題的實(shí)質(zhì)、發(fā)展邏輯思維能力、培養(yǎng)良好的思維品質(zhì)。本文結(jié)合實(shí)例談一談如何在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)用科學(xué)歸納推理，讓數(shù)學(xué)歸納推理做到合“理”。

【關(guān)鍵詞】歸納 推理 數(shù)學(xué)教學(xué) 應(yīng)用

一、什么是科學(xué)歸納推理

歸納推理是從一類對(duì)象中部分對(duì)象具有的某種屬性而推出這類對(duì)象全部都具有該屬性的推理方法。歸納推理分完全歸納推理和不完全歸納推理。不完全歸納推理分為枚舉歸納推理和科學(xué)歸納推理。枚舉歸納推理借助于事物外部的、表面的聯(lián)系做出的一般性結(jié)論，不揭示部分對(duì)象與其屬性之間的因果聯(lián)系;而科學(xué)歸納推理則是根據(jù)一類對(duì)象中部分對(duì)象與其屬性之間的因果聯(lián)系，推出這類對(duì)象全部都具有該屬性的推理方法。科學(xué)歸納推理的特點(diǎn)在于揭示了考察對(duì)象和屬性之間的因果聯(lián)系，并以此作為依據(jù)而得出結(jié)論。

例如：在教學(xué)同分母分?jǐn)?shù)加減法時(shí)，通過圖形驗(yàn)證使學(xué)生得到“5/8+2/8=7/8”“3/5-2/5=1/5”，再通過圖形驗(yàn)證計(jì)算這類同分母分?jǐn)?shù)加減法的算式，然后歸納得到同分母分?jǐn)?shù)加減法的計(jì)算法則：同分母分?jǐn)?shù)相加減，分母不變，分子相加減。由有限的例子推出一般的結(jié)論，這一過程用到了枚舉歸納推理。但如果結(jié)合圖形講清“5/8+2/8=7/8”是因?yàn)椤?個(gè)1/8加上2個(gè)1/8是（5+2）個(gè)1/8，也就是7/8”“3/5-2/5=1/5是因?yàn)椤?個(gè)言減去2個(gè)1/5是（3-2）個(gè)1/5，也就是1/5”，由此來揭示所考察的對(duì)象“兩個(gè)同分母分?jǐn)?shù)相加或相減”，所具有的屬性“分母不變，分子相加減”之間的因果聯(lián)系，則運(yùn)用了科學(xué)歸納推理。

二、為何要應(yīng)用科學(xué)歸納推理

一是應(yīng)用枚舉歸納推理教學(xué)時(shí)，結(jié)論的可靠性與所研究對(duì)象的數(shù)量和代表性有關(guān)，需要通過大量的交流活動(dòng)，讓對(duì)象的數(shù)量和覆蓋面變得更廣大，這樣才能提高結(jié)論的可靠性。理論上，不論有多少特例支持結(jié)論都不能認(rèn)為這個(gè)結(jié)論正確，所以枚舉歸納推理的結(jié)論是或然的。波利亞就曾指出：“不論多少試驗(yàn)性的檢驗(yàn)都不足以證明它一定可靠?！?/p>

二是科學(xué)歸納推理則力求做到“一葉知秋”，通過研究某些例子，揭示對(duì)象與其屬性之間的因果聯(lián)系，甚至考察的對(duì)象哪怕只有一個(gè)時(shí)，也可以得到較為可靠的結(jié)論。在運(yùn)用科學(xué)歸納推理時(shí)，對(duì)于每一個(gè)例證都要理解對(duì)象與屬性間的因果聯(lián)系，這就要求我們必須深入問題，弄清問題的實(shí)質(zhì)。如在比較詈和7/11這兩個(gè)分?jǐn)?shù)的大小時(shí)，有學(xué)生是這樣比較的：將這兩個(gè)分?jǐn)?shù)的分子和分母交叉相乘，5×11=55，7×8=56，55<56，所以5/8<7/11。這名同學(xué)還例舉了其他很多的例子來證明這種方法是可行的。那么，這樣比較的依據(jù)是什么？實(shí)質(zhì)在哪里？這就有必要讓學(xué)生弄清楚。可以讓學(xué)生先將這兩個(gè)分?jǐn)?shù)用通分的辦法比較一下：5/8=55/88，7/11=56/88，55/88<56/88，所以5/8<7/11。再讓學(xué)生比較兩種方法的應(yīng)用過程，不難發(fā)現(xiàn)交叉相乘后的55其實(shí)指的是55個(gè)1/88，56其實(shí)指的是56個(gè)1/88，我們只是把這里相同的分?jǐn)?shù)單位1/88省略了，原來交叉相乘的比較方法實(shí)質(zhì)上就是通分！相信學(xué)生此時(shí)對(duì)于交叉相乘比較法和通分比較法之間的聯(lián)系會(huì)有更深刻的認(rèn)識(shí)。所以說在小學(xué)階段應(yīng)用科學(xué)歸納推理，是有利于學(xué)生理解數(shù)學(xué)問題的實(shí)質(zhì)的。

科學(xué)歸納推理客觀上為學(xué)生提供了思維訓(xùn)練的“舞臺(tái)”，其在推理證明時(shí)所涉及的材料多是具體和形象的，推理過程中的一些思考方法和推理能力，也會(huì)被遷移到較為抽象的邏輯推理證明中。在上面交叉相乘比較分?jǐn)?shù)大小的例子中，具體的推理過程還可以逐步進(jìn)行抽象。比如，可以用b/a和d/c表示相比較的兩個(gè)分?jǐn)?shù)，通分后分別是b×c/a×c和d×a/a×c，接下來就可以比較b×c和d×a的大小。這樣可以更好地促進(jìn)學(xué)生向抽象邏輯思維過渡，使學(xué)生的邏輯思維能力得到主動(dòng)的發(fā)展。

基于數(shù)學(xué)推理嚴(yán)密的邏輯性，通過科學(xué)歸納推理活動(dòng)，有利于培養(yǎng)學(xué)生良好的思維品質(zhì)，而數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)所培養(yǎng)的嚴(yán)謹(jǐn)精神將會(huì)讓學(xué)生受用終生。

三、如何在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)用科學(xué)歸納推理

科學(xué)歸納推理在推理時(shí)需要關(guān)注每一個(gè)判斷的理由和依據(jù)，通過分析對(duì)象與屬性之間的因果聯(lián)系，對(duì)結(jié)論的合理性做出有說服力的說明。小學(xué)階段，絕大多數(shù)的數(shù)學(xué)命題都可以使用科學(xué)歸納推理得出結(jié)論的。

1.通過現(xiàn)實(shí)情境來明“理”

在教學(xué)“加法結(jié)合律”時(shí)，學(xué)生結(jié)合情境列出了不同的算式（28+17）+23和28+（17+23）（如圖1）。除通過計(jì)算讓學(xué)生得出結(jié)果相等外，還要讓學(xué)生結(jié)合情境思考：第一道算式先求跳繩人數(shù)，第二道算式先求女生人數(shù)，但最后都是求跳繩和踢毽子的總?cè)藬?shù)，本質(zhì)上都是求三個(gè)加數(shù)的和。學(xué)生再尋找現(xiàn)實(shí)情境中的例子，利用具體情境進(jìn)行解釋，理解加法結(jié)合律的意義，進(jìn)行科學(xué)歸納推理：“三個(gè)數(shù)相加時(shí)，無論先把前兩個(gè)數(shù)相加或者先把后兩個(gè)數(shù)相加，最后求的都是這三個(gè)數(shù)的和?！边@樣通過現(xiàn)實(shí)情境來明“理”遠(yuǎn)比列舉單調(diào)的數(shù)學(xué)算式要深刻許多。此時(shí)，再進(jìn)行符號(hào)化抽象出加法結(jié)合律的字母表達(dá)式（a+b）+c=a+（b+c）就水到渠成了。

2.借助幾何圖形來明“理”

同樣是運(yùn)算律，乘法分配律教學(xué)則可借助幾何圖形進(jìn)行科學(xué)歸納推理（如圖2）。

先讓學(xué)生來求大長方形面積，如果合起來算，大長方形長是（2+5），寬是4，面積是（2+5）×4;如果分開算，左、右兩個(gè)長方形的面積分別是2×4和5×4，則大長方形的面積就是2×4+5×4。很明顯這道算式求得的都是大長方形的面積，所以（2+5）×4=2×4+5×4，反之也成立。借助圖形，學(xué)生容易想到乘法分配律中，相同乘數(shù)可看作兩個(gè)長方形相同邊的長度，而相加的另兩個(gè)數(shù)則是兩個(gè)長方形不相等邊的長度。此時(shí)，抽象出乘法分配律的字母表達(dá)式（a+b）×c=a×c+b×c后，再結(jié)合上圖，讓學(xué)生說說a、b、c在圖中各表示什么，加深理解。

3.建立知識(shí)聯(lián)系來明“理”

教學(xué)“分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)”時(shí)，先通過兩道例題得出1/3=2/6=3/9與1/2=2/4=4/8=8/16，接著引導(dǎo)學(xué)生觀察1/3=2/6=3/9與2/4=4/8=8/16，接著引導(dǎo)學(xué)生觀察和計(jì)算例子中分?jǐn)?shù)的分子和分母是怎樣變化的，在充分交流的基礎(chǔ)上得出分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)是“分?jǐn)?shù)的分子和分母同時(shí)乘以或除以一個(gè)相同的數(shù)（0除外），分?jǐn)?shù)的大小不變”。教材提出要求：“根據(jù)分?jǐn)?shù)和除法的關(guān)系，你能用除法中商不變的規(guī)律來說明分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)嗎？”此時(shí)不用再糾纏于枚舉驗(yàn)證，可以啟發(fā)學(xué)生將這些特例轉(zhuǎn)化成除法算式，如：1÷3=2÷6=3÷9，1÷2=2÷4=4÷8=8÷16，建立起兩類式子間的因果聯(lián)系，使學(xué)生明確再換成其他的分?jǐn)?shù)結(jié)論也是一樣的，這樣通過科學(xué)歸納推理論證了分?jǐn)?shù)基本性質(zhì)的合理性。

4.動(dòng)手實(shí)踐操作來明“理”

教學(xué)“三角形的三邊關(guān)系”時(shí)，筆者設(shè)計(jì)了操作活動(dòng)：用長10cm、6cm、5cm、4cm小棒各一根，從中任意選三根小棒，看看能否圍成一個(gè)三角形？

通過操作，學(xué)生得出10cm、5cm、4cm和10cm、6cm、4cm這兩種情況下是不能圍成三角形，原因是5+4<10而6+4=10。那么，怎么讓學(xué)生明白只要兩個(gè)小棒長度的和小于或等于第三根小棒的長度時(shí)，一定圍不成三角形呢？當(dāng)然不能通過枚舉來驗(yàn)證，這時(shí)可以通過學(xué)生再次動(dòng)手操作來明“理”。

5.回歸本質(zhì)屬性來明“理”

教學(xué)“2和5的倍數(shù)特征”時(shí)，通過觀察百數(shù)表中2和5的倍數(shù)，得到2和5的倍數(shù)的特征，最終得出判斷一個(gè)數(shù)是不是2或5的倍數(shù)，只要看個(gè)位上的數(shù)是不是2和5的倍數(shù)就可以了。然而，對(duì)于為什么只要看個(gè)位就可以判斷？超過100的數(shù)是否也可以這樣判斷？有沒有反例？在學(xué)生心中還有大大的問號(hào)。此時(shí)，如果能回歸數(shù)的組成這一本質(zhì)屬性來探明原因，進(jìn)行科學(xué)歸納推理，定能為學(xué)生解惑，同時(shí)也為后面探究3的倍數(shù)的特征背后的原理做好鋪墊。我們利用位值原理將一個(gè)多位數(shù)如2487展開成：2487=2×1000+4×100+8×10+7，引導(dǎo)學(xué)生觀察展開式，由于1000、100、10這樣的計(jì)數(shù)單位一定是2和5的倍數(shù)，所以劃線部分必定是2和5的倍數(shù)。在此基礎(chǔ)上，啟發(fā)學(xué)生思考，任何一個(gè)多位數(shù)都可以寫成類似的展開式，最后一個(gè)加數(shù)前面部分的和必定是2和5的倍數(shù)，所以一個(gè)數(shù)是不是2或5的倍數(shù)，只要看個(gè)位上的數(shù)即可。