利用變式培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維能力

蔡天平

【內(nèi)容摘要】如何更有效的發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，在數(shù)學(xué)教學(xué)中是一個非常重要的課題。加強學(xué)生思維能力的培養(yǎng)，既能增強學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的主動性，又利于提升學(xué)生運用數(shù)學(xué)知識解決實際問題的能力，從而減輕師生教與學(xué)的負(fù)擔(dān)。本文將結(jié)合實例論述培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維能力的一個重要途徑——變式教學(xué)，及其對促進思維能力發(fā)展所起的重要作用。

【關(guān)鍵詞】變式 數(shù)學(xué)思維

“學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動應(yīng)當(dāng)是生動活潑的、主動的和富有個性的過程”。簡單重復(fù)的機械訓(xùn)練，會容易使學(xué)生產(chǎn)生厭倦心理，不愛學(xué)數(shù)學(xué)，覺得數(shù)學(xué)非?？菰铩⒊橄蠛蛷?fù)雜。另一方面，初中學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力還不成熟，思考問題容易停留在表面的認(rèn)知，不能透過表象看本質(zhì);或者習(xí)慣由因到果的思維方式，缺乏從不同角度去探索問題的途徑;又或者思維定勢，不注重變換思維的方式。如何幫助學(xué)生突破上述的數(shù)學(xué)思維障礙，同時又避免簡單重復(fù)的機械訓(xùn)練，充分調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，增強學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣和信心呢？“變式教學(xué)”就是一個很好的載體，在變式中掌握一類題目的方法，則會以少勝多，以少致精，滿足新課程標(biāo)準(zhǔn)的需要，具有時效性;同時對于學(xué)生思維能力的延伸和拓展具有很強的適用性。

一、變式教學(xué)與數(shù)學(xué)思維能力

“變式”——變更原題中的非本質(zhì)特征。是對教學(xué)中的問題進行不同角度，不同層次，不同背景的變式。例如，可以變換問題中的某些條件或結(jié)論，或者配置實際應(yīng)用中各種環(huán)境或使背景異化，可以轉(zhuǎn)換問題的具體內(nèi)容或表現(xiàn)形式，不過這些變更都要保持概念或問題的本質(zhì)不變。

不管是表面特征變化的水平變式，亦或是結(jié)構(gòu)變化的垂直變式，都重在關(guān)注展現(xiàn)知識發(fā)生、發(fā)展過程。由于數(shù)學(xué)問題的結(jié)構(gòu)和演變過程的變化，從而創(chuàng)設(shè)出暴露思維障礙的情境，引發(fā)解決問題的思維過程，這樣有利于有效訓(xùn)練和培養(yǎng)學(xué)生的思維。

通過一系列的變式來培養(yǎng)能力的關(guān)鍵是培養(yǎng)學(xué)生良好的思維品質(zhì)。即通過有意識的引導(dǎo)學(xué)生從“變”的表象中發(fā)現(xiàn)“不變”的本質(zhì)，從“不變”中探求規(guī)律。從而形成一種思維訓(xùn)練的有效模式。

二、水平變式

以“重復(fù)”源問題來實現(xiàn)表面形式變化的水平變式，主要是讓學(xué)生通過“重復(fù)”學(xué)會模仿，舉一反三，水平變式反映的是量的問題。

1.通過水平變式題的適當(dāng)“重復(fù)”透表求里

例1：如圖等邊△ABC中，D為BC邊上一點，E為AC邊上一點，且∠ADE=60°，BD=3，CE=2，則△ABC的邊長為____________

解析：問題的關(guān)鍵在于，利用外角性質(zhì)，∠ADC=∠B+∠BAD，得到∠EDC=∠BAD，從而利用△ABD∽△DCE去求△ABC的邊長。

這兩道題（尤其是變式題），如果從角之間的數(shù)量關(guān)系出發(fā)去求解，就比較復(fù)雜，而且易錯。但是如果引導(dǎo)學(xué)生作輔助線畫圓，就可以一目了然，化繁為簡。通過已知問題的解決，激活未知問題誕生，通過新舊知識的對比聯(lián)系，加深對知識點本質(zhì)的理解，這樣的水平變式可以引導(dǎo)學(xué)生舉一反三、觸類旁通。著名的教學(xué)教育家波利亞曾形象地指出：“好問題同某種蘑菇有些相像，它們都成堆地生長，找到一個以后，你應(yīng)當(dāng)在周圍找找，很可能附近就有好幾個?！彼阶兪骄褪沁@樣的蘑菇，它有效地降低了問題的難度，增強了學(xué)生的學(xué)習(xí)信心，而且有利于學(xué)生梳理知識的內(nèi)在聯(lián)系，總結(jié)規(guī)律，培養(yǎng)學(xué)生運用類比、聯(lián)想、特殊化和一般化的思維方法。

三、垂直變式

以“突破”源問題來實現(xiàn)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)變化的垂直變式，反映的是質(zhì)的問題。垂直變式題恰到好處的“突破”，使得學(xué)生思維融會貫通，從而進一步螺旋式提升學(xué)生分析問題、解決問題的能力。

1.利用反例變式，培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴(yán)謹(jǐn)性和批判性。

教學(xué)時，有意識的設(shè)置一些陷阱，通過反例變式的訓(xùn)練去刺激學(xué)生，讓其“吃一塹，長一智”。

例3：如圖5，點M是反比例函數(shù)y=5x的圖象上一點，過M點作x軸、y軸的平行線，則為S陰影=____________.

（變式）如圖6，直線x=t（t>0）與反比例函數(shù)y=2x，y=kx的圖象分別交于B、C兩點，A為y軸上的任意一點，若△ABC的面積為32，則k=____________

解析：學(xué)生大多知道過雙曲線上的點作x軸，y軸的垂線段，得到的矩形面積等于︱k︱，但是反過來，如果已知矩形的面積，他們經(jīng)常錯誤的認(rèn)為k就是矩形的面積，而忽視k為負(fù)數(shù)的情形。變式中，學(xué)生首先需要尋找△ABC的面積與兩個反比例系數(shù)2和k的關(guān)系，然后才能確定k的值。這兩個步驟都需要思維的靈活性和嚴(yán)謹(jǐn)性，通過這個變式可以暴露學(xué)生在這類題型上的思維短視和常見錯誤，從而加深印象。

2.運用逆向變式培養(yǎng)逆向思維能力

數(shù)學(xué)是思維的體操，思維可以是單向的、多向的。逆向思維是正向思維的反向方式。通過轉(zhuǎn)換思維方式，可以培養(yǎng)學(xué)生另辟蹊徑，拓展思路，探索性地學(xué)習(xí)。通過多樣性和經(jīng)常性的正逆雙向思維交替，可以培養(yǎng)學(xué)生綜合運用知識的能力，進一步逐步優(yōu)化學(xué)生的思維品質(zhì)。

例4：如圖7，已知四邊形ABDC中，EA、EB分別平分∠CAB和∠DBA，CD過點E， AB=AC+BD，則AC∥BD嗎？請說明理由。

變式1：如圖7，已知AC∥BD，EA平分∠CAB，CD過點E， AB=AC+BD，EB分別平分∠DBA嗎？請說明理由。

變式2：如圖7，已知AC∥BD，EA、EB分別平分∠CAB和∠DBA，CD過點E，則AB與AC+BD相等嗎？請說明理由。

當(dāng)逆命題與原命題同真時，可用于訓(xùn)練學(xué)生的逆向思維。當(dāng)逆命題與原命題真假性相反時，引導(dǎo)學(xué)生舉出反例，促使學(xué)生進行雙向辨析，使學(xué)生對相關(guān)問題理解得更清晰、透徹。教師經(jīng)常把個別、特殊事物概括為一般原則、方法，讓學(xué)生辨析對錯，同時又把一般原則、方法運用到個別、特殊事例，就會使學(xué)生領(lǐng)悟個體與整體、特殊與一般的區(qū)別與聯(lián)系，通過這樣多角度、全方位的思考，可以引導(dǎo)學(xué)生找到發(fā)現(xiàn)新知識、認(rèn)識新知識的突破口。

3.利用一題多解培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性

著名數(shù)學(xué)家波利亞曾經(jīng)說過，掌握數(shù)學(xué)就意味著要善于解題。因為思考問題的角度不同而得到多種思路，從而對所學(xué)知識加以融會貫通，激發(fā)思維火花，培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性。通過比較各方法之間的關(guān)系與優(yōu)劣，使學(xué)生學(xué)會分析、比較、概括、總結(jié)。這樣的一題多解可以收到“講好一題，帶活一片”的效果。

通過學(xué)生討論、交流不同方法，教師點撥鞏固了所學(xué)知識，既達到了認(rèn)知目標(biāo)，也培養(yǎng)了學(xué)生思維的靈活性、變通性和創(chuàng)造性。在教學(xué)中教師利用解題過程進行變式訓(xùn)練，引導(dǎo)學(xué)生廣泛建立知識聯(lián)系，加深對各章知識的理解，拓寬思路，有利于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

結(jié)語

變式訓(xùn)練，不要“變”得過于簡單，也不能“變”得過難。過于簡單的變式是“機械重復(fù)勞動”，不利于培養(yǎng)學(xué)生的思維質(zhì)量;難度“變”得過大，容易挫傷學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，使學(xué)生難以獲得成功的喜悅，長此以往，將使學(xué)生喪失自信心，所以選題變式時要根據(jù)所教內(nèi)容的不同，所教學(xué)生層次的不同，精心的設(shè)計水平變式題的“量”和垂直變式題的“度”，同時結(jié)合課堂教學(xué)進行適當(dāng)?shù)恼{(diào)整和改變。梯度合適、層次分明，才能使不同層次的學(xué)生各有所得，才能激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的熱情。水平變式題“重復(fù)”到一定程度后，自然會“突破”量變，走向質(zhì)變。因此，在適當(dāng)?shù)臅r候，拋出垂直變式題，以達到水到渠成的效果。綜上所述，既能合理安排水平變式的“量”，又能合理安排垂直變式的“度”，才能達到既有量的積累，又有質(zhì)的飛躍，促進學(xué)生在已有的認(rèn)知水平的基礎(chǔ)上，數(shù)學(xué)的知識結(jié)構(gòu)和數(shù)學(xué)能力都能循序漸進，從而達到螺旋上升式的發(fā)展。

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（作者單位：廣州市第五中學(xué)）