反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用舉例

王永瓊

摘 要：反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)是初中函數(shù)的重點內(nèi)容，學(xué)生在學(xué)習(xí)反比例函數(shù)時相對一次函數(shù)有一定難度，主要是反比例函數(shù)自變量的取值范圍受到了限制，導(dǎo)致函數(shù)圖象的不連續(xù)性，出現(xiàn)了兩個分支.因此，在解決問題的時候，要注意到數(shù)與形的結(jié)合，以及分類討論問題.本文主要研究反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)的簡單應(yīng)用.

關(guān)鍵詞：反比例函數(shù);圖象;性質(zhì)

中圖分類號：G632文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A文章編號：1008-0333（2021）14-0008-02

反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用，是在學(xué)生學(xué)習(xí)了正比例函數(shù)、一次函數(shù)，以及反比例函數(shù)的概念后，在此基礎(chǔ)上進(jìn)行簡單應(yīng)用.如何應(yīng)用圖象和性質(zhì)解決問題，學(xué)生還是存在一定的困難，也易出錯.下面列舉五個方面的應(yīng)用，解決學(xué)生學(xué)習(xí)了反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)后的簡單應(yīng)用問題.

一、根據(jù)反比例函數(shù)的圖象性質(zhì)，確定k值的取值范圍

例1 在反比例函數(shù)y=k-1x的圖象的每一條曲線上，y都隨x的增大而減小，則k的取值范圍是.

分析 根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)可知，當(dāng)反比例函數(shù)的系數(shù)大于0時，在每一個象限內(nèi)，y都隨x的增大而減小，可得k-1>0，從而得k的取值范圍k>1.

點評 本題考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)：當(dāng)k>0時，在每一個象限內(nèi)，y隨x的增大而減小;當(dāng)k<0時，在每一個象限內(nèi)，y隨x的增大而增大.熟練掌握反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵.

二、反比例函數(shù)圖象的對稱性

反比例函數(shù)y=kx的圖象既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形.對稱中心是原點，對稱軸是直線y=x和圖1直線y=-x.

例2 如圖1，已知直線y=mx與雙曲線y=kx的一個交點A的坐標(biāo)為（3，4），則它們的另一個交點B的坐標(biāo)是.

分析

根據(jù)反比例函數(shù)與正比例函數(shù)的圖象都關(guān)于原點成中心對稱，可知由兩函數(shù)圖象組成的圖形是中心對稱圖形，所以兩圖象的交點關(guān)于原點對稱.

解 ∵點A與B關(guān)于原點對稱，∴B點的坐標(biāo)為（-3，-4）.

點評

本題考查了反比例函數(shù)圖象的對稱性，利用對稱性可知，兩圖象的交點關(guān)于原點對稱，已知一個交點坐標(biāo)，即可求另一個交點的坐標(biāo).

三、反比例函數(shù)值大小的比較

反比例函數(shù)值大小的比較，常用的比較方法有三種：①代入求值比較法;②性質(zhì)法;③圖象法.利用第二種性質(zhì)法比較時，要注意涉及到的點要在雙曲線同一分支上，才能用增減性比較函數(shù)值大小.

例3 已知A（2，y1），B（-3，y2），C（-5，y3）三個點都在反比例函數(shù)y=k2+1x的圖象上，試比較y1，y2，y3的大小.

分析 本題有三種解決方法.

方法一 直接代入求值比較.由于反比例函數(shù)y=k2+1x中系數(shù)k2+1>0，可直接把x1=2，x2=-3，x3=-5代入函數(shù)關(guān)系式分別求出y1，y2，y3，即可得答案y2<y3<y1.

方法二 利用性質(zhì)比較，要注意到點A，B，C不在雙曲線同一分支上，不能直接用性質(zhì)法比較y1，y2，y3的大小，而B（-3，y2），C（-5，y3）在雙曲線同一分支上，且在第三象限，可用增減性比較大小，當(dāng)k2+1>0時，在每個象限內(nèi)，y隨x的增大而減少，由-3>-5，即可得到y(tǒng)2<y3<0，又x1=2時y1>0，即可得答案y2<y3<y1.

方法三 圖象法，由k2+1>0，可知雙曲線兩分支分別在第一、三象限，畫出草圖，再根據(jù)各點的橫坐標(biāo)判斷出點所在雙曲線的大致位置，進(jìn)而通過圖象知道對應(yīng)的函數(shù)值y的大小，即可得出結(jié)論y2<y3<y1.這個方法是三種比較方法中最簡單的一種.

點評

這道題考查了反比例函數(shù)值大小的比較，需熟練掌握反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練應(yīng)用三種比較大小的方法.在用性質(zhì)比較法時，若涉及到的點不在雙曲線同一分支上，直接用性質(zhì)比較，則會導(dǎo)致解題出錯，這也是學(xué)生容易出錯的地方.

四、反比例函數(shù)中系數(shù)“k”的幾何意義

過反比例函數(shù)圖象上的任意一點P作x軸、y軸的垂線則①兩條垂線與x軸、y軸圍成的矩形的面積等于k;

②所作垂線、x軸（或y軸）與線段OP圍成的三角形的面積等于12k.

反之亦成立，常應(yīng)用幾何意義來確定反比例函數(shù)的解析式或進(jìn)行相應(yīng)面積的計算和比較.

例4 如圖2，直線l⊥x軸垂足為點P，且與反比例函數(shù)y1=k1x（x>0）及y2=k2x（x>0）的圖象分別交于點A，B，連接OA，OB，已知△OAB的面積為2，則k1-k2的值為.

解 ∵據(jù)反比例函數(shù)“k”的幾何意義可知：S△AOP=k12，S△BOP=k22 ，

∴S△AOB=k12-k22=2，∴k1-k2=4

點評 這道題考查反比例函數(shù)中系數(shù)“k”的幾何意義，利用數(shù)形結(jié)合思想解題是本題的解題關(guān)鍵.

五、反比例函數(shù)與一次函數(shù)的聯(lián)系

反比例函數(shù)與一次函數(shù)的綜合應(yīng)用中，常常涉及到求兩個函數(shù)的解析式、交點、面積，以及比較兩函數(shù)值大小的問題.

（1）求函數(shù)解析式，常用待定系數(shù)法解決.

（2）求函數(shù)圖象的交點，可把兩函數(shù)解析式聯(lián)立在一起得方程組，方程組的解，即為兩函數(shù)圖象的交點坐標(biāo). 若一次函數(shù)是特殊的正比例函數(shù)，已知一個交點的坐標(biāo)，利用對稱性可直接得另一個交點坐標(biāo).

（3）求三角形面積.

若三角形有一邊在坐標(biāo)軸上，或平行于坐標(biāo)軸的直線上，則選擇這條邊為底，可直接求面積.否則，利用割補(bǔ)法，過三角形的一個頂點作平行（或垂直）于x軸或y軸的直線，把三角形割補(bǔ)成上述情況求解.

（4）比較兩函數(shù)值的大小.

利用圖象法解決.先求出兩圖象的交點坐標(biāo)，再過交點作x軸的垂線（或y軸的平行線），把整個圖象分為四個區(qū)域，在每個區(qū)域內(nèi)根據(jù)自變量的取值范圍分類討論，圖象在上方的函數(shù)值大，下方的函數(shù)值小，從而得出結(jié)論.

例5 若A（-4，n），B（2，-4）是一次函數(shù)y=kx+b和反比例函數(shù)y=mx的圖象的兩個交點.

（1）求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式;

（2）求直線AB與x軸的交點C的坐標(biāo)及△AOB的面積;

（3）觀察圖象，直接寫出反比例函數(shù)值大于一次函數(shù)值時x的取值范圍.

詳解 （1）∵把B（2，-4）代入y=mx ，得 m=-8

∴反比例函數(shù)解析式為y=-8x

∵把A（-4，n）代入y=-8x，解得n=2，把A （-4 ，2），B（2，-4）分別代入y=kx+b可解得k=-1，b=-2.

∴一次函數(shù)的解析式為y=-x-2

（2）∵當(dāng)y=0時，-x-2=0 ，解得x=-2，∴點C坐標(biāo)為（-2 ，0）

∴S△AOB=S△AOC+SBOC=12×2×2+12×2×4=6

（3）由圖象得，當(dāng)-4<x<0或x>2時，反比例函數(shù)值大于一次函數(shù)值.

點評 本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、求坐標(biāo)系中三角形面積問題、兩函數(shù)值大小比較等，注意掌握數(shù)形結(jié)合的思想方法，方程思想的應(yīng)用，利用數(shù)形結(jié)合的思想解題是本題的解題關(guān)鍵.

總之，在解決反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問題時，需要我們掌握好反比例函數(shù)的定義、圖象和性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合思想解題是解決問題的關(guān)鍵.以上五個方面的簡單應(yīng)用列舉，在反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用中考查到的頻率比較高，注意把握好解決這幾種應(yīng)用問題的方法技巧，并靈活的加以應(yīng)用，從而提高自己分析問題和解決問題的能力.

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