核心素養(yǎng)視野下的高中函數(shù)恒（能）成立問題教學(xué)“再創(chuàng)造”

馬寶星

摘 要：《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》認(rèn)為：數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)集中在數(shù)學(xué)目標(biāo)的體現(xiàn)上，主要是學(xué)生在學(xué)習(xí)的時候要體現(xiàn)出一定的數(shù)學(xué)情感，態(tài)度，價(jià)值，這個目標(biāo)的實(shí)現(xiàn)是依靠學(xué)生在實(shí)踐過程中逐步形成和發(fā)展的.所以數(shù)學(xué)學(xué)科的核心素養(yǎng)應(yīng)該落實(shí)在課堂，教師通過創(chuàng)造性的教學(xué)設(shè)計(jì)，重視辨析概念的內(nèi)涵和外延，重視問題情景的開放性，重視相關(guān)聯(lián)問題的變式訓(xùn)練，重視學(xué)生的自主總結(jié)，可以提高學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，發(fā)展能力.

關(guān)鍵詞：核心素養(yǎng);問題情景;變式訓(xùn)練;數(shù)學(xué)本質(zhì)

中圖分類號：G632文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A文章編號：1008-0333（2021）15-0074-02

高中函數(shù)恒（能）成立問題是高考的熱點(diǎn)，也是學(xué)生學(xué)習(xí)中的難點(diǎn)，貫穿高中三年數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，如何在高三二輪復(fù)習(xí)中突破難點(diǎn)，提升能力，是每個老師都積極努力的目標(biāo).但是高中數(shù)學(xué)學(xué)科因其特殊性，很多高三數(shù)學(xué)課堂存在一定的困難，包括教師層面重復(fù)講解，學(xué)生方面重復(fù)訓(xùn)練，最后師生深陷題海，并沒有實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科的核心素養(yǎng)這個目標(biāo).整體的效率低下，教師和學(xué)生都苦不堪言.可見習(xí)題教學(xué)在高三數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要性，進(jìn)行合理的數(shù)學(xué)學(xué)科的教學(xué)設(shè)計(jì)，在實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的目標(biāo)上往往能起到事半功倍的作用.筆者以一節(jié)高三二輪復(fù)習(xí)課為例闡述如下：

一、“再創(chuàng)造”的教學(xué)設(shè)計(jì)重視辨析概念的內(nèi)涵和外延，把握數(shù)學(xué)本質(zhì)

問題一：什么是恒（能）成立問題？

設(shè)計(jì)意圖：章建躍老師曾說：數(shù)學(xué)教學(xué)的基本任務(wù)是幫助學(xué)生將數(shù)學(xué)知識理解到位，并能用于解決實(shí)際的問題.我們要講清楚一類問題，就必須要引導(dǎo)學(xué)生弄清其本質(zhì)，才可以做到更好的去應(yīng)用.恒成立問題，是高中數(shù)學(xué)中的全稱命題，通常含有“所有的”“任意一個”等全稱量詞，符號語言可記為x∈M，P（x）.能成立問題，是高中數(shù)學(xué)中的存在命題，通常含有“存在一個”“至少有一個”等存在量詞，符號語言可記為x∈M，P（x）.并且全稱命題x∈M，P（x）的否定為：x∈M，P（x），存在命題x∈M，P（x）的否定為：x∈M，P（x），這里我們可以看出兩類問題是可以相互轉(zhuǎn)化的，類比恒（能）成立問題，其實(shí)高中數(shù)學(xué)中很多核心概念如單調(diào)性、奇偶性、周期性等都含有“任意”字眼，具有相似的處理策略.筆者認(rèn)為，盡管二輪復(fù)習(xí)時間緊任務(wù)重，但我們不能就題論題，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生深刻領(lǐng)會常用邏輯用語在數(shù)學(xué)問題中的作用，才能提升數(shù)學(xué)的問題解決.

二、“再創(chuàng)造”的教學(xué)設(shè)計(jì)重視問題情景的開放性，提高探索能力

例題精講 已知函數(shù)f（x）=lnx-ax，g（x）=x2，a∈R.若f（x）≤g（x）恒成立，求a的取值范圍.

問題二：如何求a的取值范圍？

生1：由題知：lnx-ax≤x2（x>0），ax≥lnx-x2，a≥lnxx-x，令h（x）=lnxx-x，h′（x）=1-x2-lnxx2=0，猜得x0=1，令u（x）=1-x2-lnx，u′（x）=-2x-1x<0，u（x）在（0，+SymboleB@）上為單調(diào)減函數(shù)，故x∈（0，1）時，u（x）>0，h（x）為單調(diào)增函數(shù)，x∈（1，+SymboleB@）時，u（x）<0，h（x）為單調(diào)減函數(shù)，h（x）max=h（1）=-1，所以a≥-1.

問題三：你們還有沒有其他做法？大家思考3分鐘.

生2：令G（x）=lnx-ax-x2，G′（x）=1x-a-2x=-2x2-ax+1x（x>0），令t（x）=-2x2-ax+1，∵t（0）=1>0，記t（x）=0有一正根為x0，當(dāng)x∈（0，x0）時，G′（x）>0，G（x）為單調(diào)增函數(shù)，當(dāng)x∈（x0，+SymboleB@）時，G′（x）<0，G（x）為單調(diào)減函數(shù)，故G（x）max=G（x0）=lnx0-ax0-x20≤0①，因?yàn)閠（x0）=0得ax0=1-2x20②，②代入①可得lnx0-1+x2≤0，易得0<x0≤1，由②得a=1x0-2x0（0<x0≤1），故a≥-1.

生3：令F（x）=lnx-ax-x2≤0對x∈（0，+SymboleB@）恒成立，所以F（1）=-a-1≤0，得a≥-1，所以F（x）=lnx-ax-x2≤lnx+x-x2，易證lnx≤x-1，當(dāng)且僅當(dāng)x=1時取“=”，故F（x）≤x-1+x-x2=-（x-1）2≤0，所以a≥-1成立.（教室里出現(xiàn)了掌聲）

問題四：如果本題是填空題，如何求a的取值范圍？

生4：由題知，ax≥lnx-x2，y=ax與y=lnx-x2皆好作圖，如下圖易得a的取值范圍.

點(diǎn)評 生1選擇了參變分離法，由于分離變量后h（x）的最值好求，故大部分同學(xué)皆選此法;生2選擇利用函數(shù)的性質(zhì)，通過求導(dǎo)，求G（x）=lnx-ax-x2的最值，只要G（x）max≤0，這個過程中導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)存在，直接求出比較繁瑣，他采用了“隱零點(diǎn)”的處理方法，求出x0的取值范圍，根據(jù)x0與a的等量關(guān)系求出a的取值范圍;生3抓住了F（x）=lnx-ax-x2≤0對x∈（0，+SymboleB@）恒成立這一本質(zhì)，它一定對x=1時恒成立，故F（1）≤0，求出a的取值范圍，這一必要條件開路的技巧，體現(xiàn)了由一般到特殊的性質(zhì)，數(shù)學(xué)問題解決的特殊化可使學(xué)生的直觀想象素養(yǎng)得以提升;生4是把恒成立問題轉(zhuǎn)化為兩個圖像的位置關(guān)系問題，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想.筆者認(rèn)為，在二輪復(fù)習(xí)教學(xué)中，學(xué)生已經(jīng)有了一定基礎(chǔ)，我們可以設(shè)計(jì)開放性問題，大膽放手讓學(xué)生解決，激勵學(xué)生更好地參與問題，提出不同見解，在多種方法甚至犯錯中加深問題理解，優(yōu)化解題方法，提高復(fù)習(xí)效率.

三、“再創(chuàng)造”的教學(xué)設(shè)計(jì)重視學(xué)生的自主總結(jié)，形成知識體系

回顧高考 （2020山東）已知函數(shù)f（x）=aex-1-lnx+lna.若f（x）≥1，求a的取值范圍.

本題的解題方法有多種，其中有的同學(xué)說還可以構(gòu)造同構(gòu)處理：fx=aex-1-lnx+lna=elna+x-1-lnx+lna≥1等價(jià)于elna+x-1+lna+x-1≥lnx+x=elnx+lnx，

令gx=ex+x，上述不等式等價(jià)于glna+x-1≥glnx，顯然gx為單調(diào)增函數(shù)，∴又等價(jià)于lna+x-1≥lnx，即lna≥lnx-x+1，令hx=lnx-x+1，則h′x=1x-1=1-xx.

在0，1上h′（x）>0，h（x）單調(diào)遞增;在（1，+SymboleB@）上h′（x）<0，h（x）單調(diào)遞減，

∴hxmax=h1=0，lna≥0，即a≥1，∴a的取值范圍是[1，+SymboleB@）.

問題五：本節(jié)課我們學(xué)習(xí)了恒（能）成立問題的哪些解決方法？

設(shè)計(jì)意圖：《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》指出：通過高中數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)，學(xué)生能養(yǎng)成良好的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣，發(fā)展自主學(xué)習(xí)的能力.一節(jié)高三復(fù)習(xí)課，作為教師，到底要教會學(xué)生什么，通過知識載體能夠提升學(xué)生哪些數(shù)學(xué)素養(yǎng)，是我們每一節(jié)課前需要仔細(xì)思考的問題.筆者認(rèn)為，讓學(xué)生“動起來”，“動”“靜”結(jié)合，有條不紊，才可以不斷提高學(xué)生的實(shí)踐能力.本節(jié)課留足時間讓學(xué)生自主總結(jié)，可以采用點(diǎn)名提問、小組討論、師生生生互動點(diǎn)評等方式，增強(qiáng)學(xué)生的自主性.引導(dǎo)學(xué)生在實(shí)踐解決問題中，能夠自主構(gòu)建知識網(wǎng)絡(luò)，繪制數(shù)學(xué)思維導(dǎo)圖如下.在同伴、老師不斷提醒中，回顧舊知識，喚起新知識，在同伴老師的贊賞中增強(qiáng)學(xué)好數(shù)學(xué)的自信心，夯實(shí)自己的薄弱，強(qiáng)化各自的學(xué)習(xí)能力，才可以在以后再碰到類似問題，無間斷的遷移到本節(jié)課所學(xué)知識方法，用好用活恒（能）成立問題的解決策略.

本節(jié)課從一個典型例題出發(fā)，通過一般化的概念理解，特殊化、類比、聯(lián)想等思維活動提出新的數(shù)學(xué)問題和變式，師生探究，學(xué)生總結(jié)形成解決問題的一般策略，注重?cái)?shù)學(xué)思想、邏輯連貫、系統(tǒng)總結(jié)，用“數(shù)學(xué)的方式”教數(shù)學(xué)學(xué)數(shù)學(xué).通過“創(chuàng)造性”的教學(xué)設(shè)計(jì)，強(qiáng)化“四基”，提高“四能”，超越數(shù)學(xué)知識而使數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)真正落地.

參考文獻(xiàn)：

[1]中華人民共和國教育部. 普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）[M].北京：人民教育出版社，2018（1）.

[2]章建躍.樹立課程意識落實(shí)核心素養(yǎng)

[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，2016，55（05）：1-4+14.

[3]藺治萍，郭強(qiáng)，付偉.用好微觀分析，管中亦可窺豹——以“函數(shù)不等式恒成立的參數(shù)范圍問題”為例[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2021（07）：42-44.

[責(zé)任編輯：李 璟]