一線三等角幾何模型在數學解題中的探究

摘 要：數學在初中教育中占據著非常重要的地位，幾何是數學最基本的研究內容之一。因此，初中數學教師要注重培養(yǎng)學生的幾何思維和幾何能力。近年來，一種幾何基本模型隨著江蘇省的一道中考題受到了人們的廣泛關注——一線三等角幾何模型。本文將從以下三點闡述一線三等角幾何模型在數學解題中的運用。

關鍵詞：初中數學;幾何模型;一線三等角;解題探究

中圖分類號：G427 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 文獻標識碼：A ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 文章編號：2095-9192（2021）17-0061-02

引 ?言

數學模型是指把一種事物的特征和關系高度概括抽象，用數學中獨有的語言描述出來的結構[1]。數學模型對學生學習數學提出了更高的要求，加之新課程標準要求教師培養(yǎng)學生的數學敏感度和符號、空間、集合、運算等觀念、思想和能力，因此，數學模型成為數學教學的重中之重。教師在教學中應善于從整體出發(fā)，重點講授建立數學模型和求解的過程，引導學生領會其中的模型思想。

一、引導拓展探究

2011年江蘇省鹽城市的一道中考題引發(fā)了教師的思考。教師在教學一線三等角幾何模型時可以將這道問題呈現給學生，然后讓學生展開相應的探究，最后進行拓展延伸。整個過程中，教師需要引導學生逐漸深入，使學生對這一模型的理解呈螺旋式的上升趨勢，進而逐漸掌握這個模型，題目如下所示：

將矩形ABCD紙片沿對角線AC剪開，得到△ABC和△A'C'D，如圖1所示，將△A'C'D的頂點A'與點A重合，并繞點A按逆時針方向旋轉，使點D、A（A'）、B在同一條直線上，如圖2所示。

觀察圖2可知：與BC相等的線段是 _________，∠CAC'=_________°。

問題探究：

如圖3，△ABC中，AG⊥BC于點G，以A為直角頂點，分別以AB、AC為直角邊，向△ABC外作等腰Rt△ABE和等腰Rt△ACF，過點E、F作射線GA的垂線，垂足分別為P、Q，試探究EP與FQ之間的數量關系，并證明你的結論。

拓展延伸：

如圖4，△ABC中，AG⊥BC于點G，分別以AB、AC為一邊向△ABC外作矩形ABME和矩形ACNF，射線GA交EF于點H，若AB=kAE，AC=kAF，試探究HE與HF之間的數量關系，并說明理由。

問題探究的部分，教師可以根據學生的實際學習情況選擇出題。在△ABC中，AG與BC相互垂直交于點G，在此基礎上以點A為直角頂點，以AB、AC兩條邊為直角邊，向三角形ABC外作等腰直角三角形，過點E、F做射線GA的垂線（見圖3），垂足分別為P、Q，讓學生自主探究EP和FQ之間的關系。之后，教師根據學生的做題情況和思考情況進行拓展延伸。在解析時教師可以先讓學生進行情景觀察，根據兩個三角形相似，非常容易就可以得到兩條相等的線段及一個直角，這樣便可以順利開展教學。問題探究部分的題目類似，同樣運用相似三角形得到兩條相等的線段，進而同理得到另外兩條相等線段，最后就可以得出結果。拓展延伸部分的教學和解題方法同上。在此過程中，教師要注意先給出學生第一道題目，然后讓學生獨立思考，判斷學生的答題情況后再給出問題探究的題目。因此，教師需要提前準備多道備選題目，以便即時做出調整。但三個問題之間的難度一定是逐漸遞增的。學生能夠不斷突破自己的心理認知，從而展現自己的能力。教師可以給學生畫出具體的圖形，也可以讓學生自己畫，這樣可以考查學生的空間幾何能力，讓學生自己動手操作，從而提高數學解題的樂趣，體現自主探究的思想。在解題之前，教師也可以讓學生嘗試猜想，在猜想的基礎上探尋解題過程，可以大大提升學生的數學解題能力和幾何的學習體驗。

二、建立相應的模型

在問題情境與拓展的基礎上，教師要給學生建立一線三等角的模型，讓學生腦海中可以對這個模型形成明確的認知，并對這個模型進行整體上的講解，最后進行變式的拓展和應用。在拓展和應用部分，教師可以給出比較經典的例題，讓學生活學活用。

三、構造轉化模型

圍繞一線三等角模型的題目非常多，而且難度較高。因此，基本的模型學習遠遠不夠。教師可以在上課時對例題進行精心講解，對學生的思路進行引導。

教師可以讓學生觀察圖形，然后通過折疊的性質可以發(fā)現三個直角三角形，可以構成一線三等角的基本模型。學生發(fā)現一線三等角后便能順利解題。教師點題式的講解，能夠為學生解題提供良好的思路，可以讓學生嘗試用鉛筆在原圖形上面畫出一線三等角模型，然后在完成第一道題的基礎上發(fā)現第一題的結論可以幫助解決第二道題，但第二道題對學生來說有一定的難度。教師可以引導學生思考：求解三角函數值可以轉化為什么？學生認為可以轉化成線段比，可以利用相似和折疊的條件，但還要學會引入未知數。經過這道題，學生基本上對這一模型有了更為深入的了解，但與靈活運用模型仍存在一定差距。因此，接下來教師可以給學生出一些隱形模型的題目，進行構造轉化。2011年的安徽卷、浙江卷中也出現了類似的題目，這道題的得分率非常低，但考查的也是一線三等角模型。如今，中考題注重考查學生的綜合能力，將其與二次函數、全等三角形等知識點相結合，這就要求教師善于總結，引導學生徹底掌握一線三等角模型。

結 ?語

綜上所述，在教學一線三等角模型時，教師要注重培養(yǎng)學生的數學思維，切忌過分強調建模的結果而忽視過程。教師應引導學生不斷探索，避免學生過分依賴某幾種解題方法，要使學生學會舉一反三，練就火眼金睛。與此同時，教師要引導學生善于發(fā)現和創(chuàng)造，對學過的數學知識和方法不斷內化，直至熟練掌握，進而延伸拓展到其他內容，鞏固基礎知識，這樣才可以真正提升學生的數學學習水平。

[參考文獻]

李廣偉.注重基本圖形教學 提升學生解題能力：以“‘一線三等角’基本圖形及其應用”教學為例[J].江蘇教育，2017（43）：36-37.

作者簡介：陳麗冰（1974.9-），女，福建莆田人，本科學歷，一級教師，研究方向為幾何模型教學。