基于逆高斯過程的競爭失效模型

丁 力，蔡風(fēng)景

(溫州大學(xué)數(shù)理學(xué)院，浙江溫州 325035)

在科學(xué)技術(shù)不斷高速發(fā)展的當(dāng)今社會(huì)，人們的需求不斷提高，新產(chǎn)品與新材料層出不窮，產(chǎn)品可靠性對于企業(yè)和用戶顯得越發(fā)重要.可靠性是產(chǎn)品在規(guī)定時(shí)間內(nèi)和規(guī)定條件下，完成規(guī)定功能的能力，這種能力的表示通常歸結(jié)于一個(gè)概率值，它是一個(gè)系統(tǒng)在指定操作條件下和指定時(shí)間內(nèi)完成所有規(guī)定任務(wù)的概率.這個(gè)系統(tǒng)可以是設(shè)備、技能以及能擔(dān)當(dāng)或保障某項(xiàng)任務(wù)執(zhí)行的各因素的總和.隨著系統(tǒng)的高度綜合化以及運(yùn)行環(huán)境的復(fù)雜化，復(fù)雜系統(tǒng)可靠性體現(xiàn)出結(jié)構(gòu)復(fù)雜、失效模式多樣性等特點(diǎn).復(fù)雜系統(tǒng)的失效并不再是單一失效模式的作用，往往是多種不同失效模式之間相互競爭的結(jié)果，這些失效模式之間的競爭遵循著一種競爭規(guī)則，那就是任何一種失效模式的發(fā)生在導(dǎo)致系統(tǒng)失效后，其它失效模式將不再發(fā)生，即系統(tǒng)的失效是由最早出現(xiàn)的失效模式導(dǎo)致的.

隨著技術(shù)發(fā)展，現(xiàn)代工程系統(tǒng)還具有長壽命、高性能的特點(diǎn).傳統(tǒng)失效分析的適用性逐漸變差，然而一些退化過程可以通過觀測其退化數(shù)據(jù)進(jìn)行可靠性建模.退化失效建模和分析早在20世紀(jì)90 年代就已經(jīng)引起了研究者的關(guān)注，并且將其應(yīng)用在統(tǒng)計(jì)學(xué)和可靠性方面.Lu 等[1]研究了退化過程建模中隨機(jī)系數(shù)回歸模型，利用退化數(shù)據(jù)推導(dǎo)產(chǎn)品壽命分布.Cha 等[2]得出退化過程服從布朗運(yùn)動(dòng)，而突發(fā)失效服從威布爾分布的競爭失效模型的極大似然估計(jì)（Maximum Likelihood Estimation,MLE）.高軍等[3]研究了基于伽馬（Gamma）過程的復(fù)雜系統(tǒng)可靠性的評估.蘇春等[4]從性能退化量角度，通過最小二乘法估計(jì)模型參數(shù)，進(jìn)行可靠性評估.彭寶華[5]研究了維納（Wiener）過程的退化失效可靠性相關(guān)評估.Wang 等[6]介紹了逆高斯（Inverse Gaussian,IG）過程可靈活用于退化建模，并指出在某些應(yīng)用中，IG 過程比Wiener 過程和Gamma 過程更合適.Chhikara 等[7]介紹了逆高斯分布的相關(guān)理論以及應(yīng)用.Ye 等[8]進(jìn)一步對單調(diào)退化的IG 過程給出了明確的物理解釋.Peng[9]研究了IG 過程及其在退化建模中的擴(kuò)展.

針對產(chǎn)品高壽命、失效模式復(fù)雜化的特點(diǎn)，本文研究了在截尾數(shù)據(jù)下基于逆高斯過程的競爭失效模型.首先，介紹了競爭失效模型以及模型所需數(shù)據(jù)；接著，使用數(shù)據(jù)進(jìn)行基于逆高斯過程的競爭失效模型的MLE；然后，在模型的數(shù)值模擬過程中，對不同系統(tǒng)數(shù)目的模擬數(shù)據(jù)進(jìn)行參數(shù)估計(jì)，并將結(jié)果與只采用精確失效數(shù)據(jù)建立模型獲得的結(jié)果進(jìn)行對比；最后，進(jìn)行真實(shí)數(shù)據(jù)分析，查看本文模型在真實(shí)數(shù)據(jù)下的擬合情況.

1 競爭失效模型

假設(shè)系統(tǒng)存在一個(gè)退化失效模式，退化量為y(t)，失效閾值為ω，當(dāng)y(t)>ω時(shí)，系統(tǒng)發(fā)生退化失效.且系統(tǒng)還存在一個(gè)突發(fā)失效模式，其發(fā)生概率受時(shí)間的影響，且隨著時(shí)間的增大而增大.兩種失效模式之間相互獨(dú)立，且都獨(dú)立作用于系統(tǒng)，其中任何一種模式失效都會(huì)引起系統(tǒng)失效，在所有的失效中，最早產(chǎn)生的那種失效出現(xiàn)時(shí)，將導(dǎo)致系統(tǒng)失效，即系統(tǒng)壽命T=min(T1,T2)，其中T1為退化失效壽命，T2為突發(fā)失效壽命.系統(tǒng)失效后將不再對該系統(tǒng)繼續(xù)進(jìn)行監(jiān)測.競爭失效會(huì)導(dǎo)致出現(xiàn)突發(fā)失效的右截尾數(shù)據(jù)，即一個(gè)單元在最后檢查時(shí)間前，沒有發(fā)生突發(fā)失效所獲得的時(shí)間數(shù)據(jù).

1.1 退化失效

設(shè)產(chǎn)品退化過程{Y(t),t>0}服從參數(shù)μ、δ和形狀函數(shù)為 Λ (t)的逆高斯過程，即：

1）Y(0)以概率1 等于0；

2）Y(t)具有獨(dú)立增量，即對于任意 0≤t1

3）對任意 0≤t10，b>0.

表示概率密度函數(shù)（PDF）和累計(jì)分布函數(shù)（CDF）有分別如下的逆高斯分布：

其中 Φ (·) 為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，且CDF 為

設(shè)失效閾值為ω，則壽命T1= inf{Y(t) ≥ω,t>0}的分布函數(shù)：

1.2 突發(fā)失效

設(shè)產(chǎn)品突發(fā)失效時(shí)間T2～WEIB(η,β)，即PDF 和CDF 有分別如下的威布爾分布：

可重新參數(shù)化為

其中

1.3 系統(tǒng)可靠性

系統(tǒng)壽命T=min(T1,T2)，其中T1為退化失效壽命，T2為突發(fā)失效壽命.系統(tǒng)在時(shí)刻t的可靠性函數(shù)為：

系統(tǒng)的平均失效時(shí)間是

1.4 數(shù) 據(jù)

假設(shè)退化過程可以實(shí)時(shí)監(jiān)測，即可以獲得實(shí)驗(yàn)開始一直到系統(tǒng)失效之間任意時(shí)間的退化量，若每隔預(yù)設(shè)的固定時(shí)間段對系統(tǒng)退化量進(jìn)行記錄，則可以得到退化數(shù)據(jù)為Y(tij)，其中i= 1,2,…,n表示第i個(gè)系統(tǒng)，j= 1,2,… ,mi表示該系統(tǒng)第j次測試，timi為第i個(gè)系統(tǒng)檢測出退化量超出給定閾值ω，判定系統(tǒng)發(fā)生退化失效的那一次監(jiān)測時(shí)間，或在系統(tǒng)發(fā)生突發(fā)失效時(shí)，已經(jīng)獲得的對系統(tǒng)退化量進(jìn)行監(jiān)測的最后一次監(jiān)測時(shí)間.

則收集到的系統(tǒng)退化量數(shù)據(jù)可表示為：

假設(shè)我們收集到系統(tǒng)失效時(shí)間數(shù)據(jù)Ti，其中i= 1,2,…,n表示第i個(gè)系統(tǒng).若Ti是通過檢測系統(tǒng)的突發(fā)失效而獲得的精確失效時(shí)間數(shù)據(jù)，此時(shí)ξi=1.若Ti是timi時(shí)刻退化量高于給定閾值判定為退化失效的時(shí)間數(shù)據(jù)，則它是突發(fā)失效的右截尾時(shí)間數(shù)據(jù)，此時(shí)ξi=0.因此，突發(fā)失效時(shí)間數(shù)據(jù)可近似表示為與ξi取值有關(guān)的數(shù)據(jù)：T1,T2,…,Tn，其中

綜上所述，我們收集到的數(shù)據(jù)可以由表1 表示.

表1 數(shù)據(jù)收集

2 競爭失效模型分析

2.1 似然函數(shù)

令參數(shù)為 Θ=（μ,δ,α,σ），退化失效和突發(fā)失效為影響設(shè)備失效的兩種獨(dú)立失效模式，可得似然函數(shù)：

對數(shù)似然函數(shù)為：

2.2 極大似然估計(jì)

極大似然估計(jì)的直觀想法就是：如果試驗(yàn)得到一組數(shù)據(jù)，則我們應(yīng)當(dāng)選取使這組數(shù)據(jù)出現(xiàn)的可能性最大的參數(shù)θ的值，也就是使似然函數(shù)L(θ)達(dá)到極大值時(shí)θ的取值，從而求得參數(shù)θ的估計(jì)值.利用極大似然估計(jì)法求得的參數(shù)估計(jì)值也稱為極大似然估計(jì)值.

求未知參數(shù)θ的極大似然估計(jì)值的問題就是求似然函數(shù)L(θ)的極大值點(diǎn)的問題.當(dāng)L(θ)可導(dǎo)時(shí)，這個(gè)問題可以通過解似然方程來解決.因?yàn)閘nL(θ)是L(θ)的單調(diào)增函數(shù)，所以lnL(θ)與L(θ)在θ的同一值取得極大值.因此，也可以將似然方程寫成

求解（11）式或（12）式這兩個(gè)似然方程中的任一個(gè)，就可以得到參數(shù)Θ 的極大似然估計(jì)值.對對數(shù)似然函數(shù)（12）式關(guān)于各個(gè)參數(shù)求偏導(dǎo)，令其等于0，并令

在獲得參數(shù)Θ=(μ,δ,η,β)的點(diǎn)估計(jì)值以后，我們還需要對參數(shù)的置信區(qū)間進(jìn)行分析.漸進(jìn)正態(tài)置信區(qū)間是一種易于計(jì)算的方法，且在大多數(shù)商業(yè)統(tǒng)計(jì)軟件中被廣泛使用.利用模型參數(shù)的MLE 值和MLE 的方差-協(xié)方差矩陣，可以計(jì)算參數(shù)和參數(shù)函數(shù)的置信區(qū)間.

根據(jù)參考文獻(xiàn)[10]8.4.1 節(jié)式（8.5），假設(shè)獲得觀測信息的負(fù)對數(shù)似然的海森矩陣，則協(xié)方差矩陣

2.3 系統(tǒng)可靠性函數(shù)分析

3 數(shù)值模擬

在R 程序中進(jìn)行一次模擬仿真.假設(shè)系統(tǒng)退化失效服從于逆高斯過程，突發(fā)失效服從于威布爾分布，取參數(shù) Θ= (μ,δ,η,β)，其中μ= 0.8,δ=1.4,η= 180,β=1.8，初始退化量Y(0)=0，系統(tǒng)個(gè)數(shù)分別為10、30 和50，監(jiān)測時(shí)間間隔為20，監(jiān)測次數(shù)為20 次，模擬生成逆高斯過程的退化數(shù)據(jù)以及突發(fā)失效的威布爾分布的失效時(shí)間，并以退化失效閾值ω=220來區(qū)分導(dǎo)致系統(tǒng)失效的失效模式.將數(shù)據(jù)按表格1 收集完成.

使用收集到的數(shù)據(jù)，采取本文中MLE 方法進(jìn)行10 000 次點(diǎn)估計(jì)以及區(qū)間估計(jì)，將結(jié)果按不同系統(tǒng)數(shù)目一起收錄在表2 中.ξi=1，i=1,2,…,n條件下的精確突發(fā)失效數(shù)據(jù)和退化數(shù)據(jù)的競爭失效模型的模擬結(jié)果，收錄在表3 中.

表2 采用截尾試驗(yàn)數(shù)據(jù)的模型數(shù)值模擬結(jié)果

表3 采用精確失效數(shù)據(jù)的模型數(shù)值模擬結(jié)果

對于表2，首先，我們在點(diǎn)估計(jì)值、平均誤差和均方根誤差三個(gè)方面進(jìn)行比較，這里的平均誤差采用了計(jì)算，其中θ為生成數(shù)據(jù)的參數(shù)初始值，為點(diǎn)估計(jì)值.可以明顯看出，4 個(gè)參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)值都在向著生成模擬數(shù)據(jù)的參數(shù)設(shè)置值靠近，隨著系統(tǒng)數(shù)目增加，4 個(gè)參數(shù)的平均誤差以及均方根誤差變得越來越小.這說明隨著系統(tǒng)數(shù)目的增加，估計(jì)效果越來越精確.

我們在參數(shù)的γ=0.05的雙側(cè)置信區(qū)間估計(jì)進(jìn)行分析，進(jìn)行區(qū)間長度以及區(qū)間覆蓋率兩方面比較.隨著系統(tǒng)數(shù)目增加，不僅區(qū)間長度在逐漸減小，區(qū)間覆蓋率也越來越接近1?γ，也就是0.95，這意味著本文所采用的參數(shù)區(qū)間估計(jì)方法是切實(shí)可行的.

我們將3 組數(shù)據(jù)的點(diǎn)估計(jì)均值帶入可靠性函數(shù)（9）式，繪制系統(tǒng)的可靠性函數(shù)圖，如圖1所示.

圖1 系統(tǒng)可靠性擬合圖

從圖1 可以看出，隨著系統(tǒng)數(shù)目增加，擬合出來的曲線越來越接近原曲線.

表3 是只考慮ξi=1，i=1,2,…,n的精確失效數(shù)據(jù)的模型模擬結(jié)果.對表3 進(jìn)行分析，可以看出，隨著系統(tǒng)數(shù)目增加，估計(jì)效果越來越精確.相比于采用突發(fā)失效右截尾數(shù)據(jù)建立的模型，只采用精確失效數(shù)據(jù)的模型參數(shù)估計(jì)明顯誤差更大，在參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)方面體現(xiàn)在點(diǎn)估計(jì)均值、平均誤差以及均方根誤差三個(gè)方面，而參數(shù)的區(qū)間估計(jì)方面體現(xiàn)在覆蓋率偏離1?γ，也就是0.95 的程度更大，且隨著系統(tǒng)數(shù)目增加，區(qū)間估計(jì)的區(qū)間長度越來越小，覆蓋率的偏離程度也在加大.

綜上所述，本文對基于逆高斯過程的競爭失效模型參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)以及區(qū)間估計(jì)方案估計(jì)效果良好，均具有可行性.隨著試驗(yàn)系統(tǒng)數(shù)目增長，估計(jì)效果也會(huì)更好，并且相比于只采取精確數(shù)據(jù)的競爭失效模型估計(jì)效果會(huì)更加精確.

4 真實(shí)數(shù)據(jù)分析

我們對文獻(xiàn)[11]中獲得的砷化鎵激光器的退化數(shù)據(jù)與突發(fā)失效數(shù)據(jù)結(jié)合的競爭失效數(shù)據(jù)進(jìn)行分析.數(shù)據(jù)如表4 所示，參加試驗(yàn)樣本共19 個(gè)，激光產(chǎn)品退化數(shù)值為操作電流的增加比例，單位為%，設(shè)置退化閾值ω為10，退化產(chǎn)品監(jiān)測時(shí)間間隔為500 h，監(jiān)測次數(shù)總共為8 次試驗(yàn)總時(shí)間為4 000 h.若產(chǎn)品在試驗(yàn)結(jié)束時(shí)仍未出現(xiàn)失效，這里假設(shè)4 000 h 為突發(fā)失效右截尾數(shù)據(jù).

表4 砷化鎵激光器性能退化試驗(yàn)數(shù)據(jù)

采用本文基于逆高斯過程的競爭失效模型，將表4 數(shù)據(jù)代入模型中進(jìn)行參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)以及區(qū)間估計(jì)，得到表5 中參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)值、區(qū)間左端點(diǎn)、區(qū)間右端點(diǎn)、區(qū)間長度的結(jié)果以及相應(yīng)的可靠性函數(shù)R(t)（圖2），將參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)結(jié)果帶入（9）式，可以求出這一批產(chǎn)品的平均失效時(shí)間約為3 954.55 h.

表5 砷化鎵激光器數(shù)據(jù)分析

分別繪制了數(shù)據(jù)、退化失效、突發(fā)失效以及競爭失效的可靠性函數(shù)曲線，見圖2.從圖2 可以看出，剛開始時(shí)的產(chǎn)品失效主要是由產(chǎn)品的突發(fā)失效造成的，因此退化失效的可靠性函數(shù)曲線一直保持穩(wěn)定.突發(fā)失效與競爭失效的可靠性函數(shù)曲線都在不斷下降，且兩條曲線下降幅度一直保持一致，其實(shí)產(chǎn)品一直存在性能退化現(xiàn)象，操作電流增加比例不斷提高，一直到大概3 300 h左右開始出現(xiàn)退化失效導(dǎo)致的產(chǎn)品失效，也在此時(shí)，競爭失效可靠性函數(shù)曲線開始偏離突發(fā)失效可靠性函數(shù)曲線.

圖2 砷化鎵激光器可靠性函數(shù)圖

5 結(jié) 論

針對產(chǎn)品高壽命、失效模式復(fù)雜化的特點(diǎn)，研究了結(jié)合截尾數(shù)據(jù)的基于逆高斯過程的競爭失效模型，在建立模型后對模型進(jìn)行極大似然估計(jì)，通過漸進(jìn)正態(tài)性構(gòu)造模型參數(shù)的區(qū)間估計(jì).對模型進(jìn)行數(shù)值模擬后，驗(yàn)證了基于逆高斯過程的競爭失效模型的可行性，還驗(yàn)證了極大似然估計(jì)在試驗(yàn)系統(tǒng)數(shù)目增多時(shí)的準(zhǔn)確性，并驗(yàn)證了采用截尾數(shù)據(jù)建立競爭失效模型相比于只采用精確失效數(shù)據(jù)建立的模型估計(jì)效果更好.在實(shí)例分析中，驗(yàn)證了本文模型在真實(shí)數(shù)據(jù)情況下擬合狀況良好.競爭失效模型中，考慮等應(yīng)力加速壽命試驗(yàn)和貝葉斯方法成為未來研究拓展的重要方向.