求解復(fù)對(duì)稱線性系統(tǒng)的一類加速GSSOR迭代法

鄒樂(lè)樂(lè)

(溫州大學(xué)數(shù)理學(xué)院，浙江溫州 325035)

討論復(fù)對(duì)稱線性系統(tǒng)：

這一類的復(fù)對(duì)稱線性系統(tǒng)問(wèn)題可以看作是鞍點(diǎn)問(wèn)題的特例，這類系統(tǒng)主要用于解決科學(xué)計(jì)算和工程應(yīng)用領(lǐng)域的問(wèn)題，例如分子散射、結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)和分布控制等問(wèn)題[1-3].

本文由三部分組成，第一部分描述了加速?gòu)V義對(duì)稱逐次超松弛（簡(jiǎn)稱AGSSOR）迭代法，并對(duì)其進(jìn)行了收斂性分析；第二部分對(duì)AGSSOR 迭代法進(jìn)行預(yù)處理，在一定條件下，PAGSSOR（預(yù)處理AGSSOR）迭代法的譜半徑要比AGSSOR 迭代法的小；第三部分通過(guò)數(shù)值實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了PAGSSOR 迭代法的有效性.

1 AGSSOR 迭代法及其收斂性分析

文獻(xiàn)[4]中提出的加速?gòu)V義逐次超松弛（AGSOR）迭代法，主要用來(lái)求解實(shí)對(duì)稱線性系統(tǒng)（2）基于以下的過(guò)程.

綜上所述，定理2 得證.

從定理2 中，我們發(fā)現(xiàn)AGSSOR 迭代矩陣的極小化譜半徑和文獻(xiàn)[4]中AGSOR 迭代的一樣，但是對(duì)于AGSOR 迭代法來(lái)說(shuō)，最優(yōu)參數(shù)只有單一的選擇，然而AGSSOR 迭代法中最優(yōu)參數(shù)卻有兩種選擇，因此在實(shí)際應(yīng)用中AGSSOR 迭代法更易于實(shí)現(xiàn).

2 預(yù)處理AGSSOR 迭代法

對(duì)線性系統(tǒng)（2）進(jìn)行預(yù)處理：

3 數(shù)值實(shí)驗(yàn)

數(shù)值實(shí)驗(yàn)選擇右端向量b=(1+i)x*，其中x?是每個(gè)元素均為1 的n維列向量.在實(shí)驗(yàn)中，令σ1=1，σ2=100，并在不等式兩邊同時(shí)乘以h2正規(guī)化系數(shù)矩陣和右端向量.數(shù)值實(shí)驗(yàn)結(jié)果見(jiàn)表1.

表1 m 取不同值時(shí)，AGSOR、AGSSOR 和PAGSSOR 的數(shù)值實(shí)驗(yàn)結(jié)果

通過(guò)m的不同取值，得到了不同大小的系數(shù)矩陣.通過(guò)比較表1 中AGSOR、AGSSOR 和PAGSSOR的CPU和IT 發(fā)現(xiàn)，PAGSSOR迭代所需要的迭代步子和時(shí)間比AGSSOR迭代和AGSOR迭代所需要的都要少，因此可以說(shuō)明PAGSSOR 迭代法更有效.