基于方向距離函數(shù)的網(wǎng)絡交叉效率度量及其分解

涂 沖，林瑞躍

(溫州大學數(shù)理學院，浙江溫州 325035)

數(shù)據(jù)包絡分析（Data Envelopment Analysis,DEA）是美國著名運籌學家Charnes 等[1]提出的，用于評價具有多個投入和多個產(chǎn)出的決策單元（Decision Making Unit,DMU）相對效率的數(shù)學規(guī)劃方法[2].該方法發(fā)展至今，已經(jīng)被廣泛運用到多種行業(yè)和部門，相關理論和應用得到了極大發(fā)展[3-5].傳統(tǒng)DEA 將被評估的DMUs 當作黑箱，不關心其運行情況，可能會產(chǎn)生誤導決策者的結果[6].因此，F(xiàn)are 等[7]提出了網(wǎng)絡DEA 模型.網(wǎng)絡DEA 將DMU 的生產(chǎn)過程打開，分成多個生產(chǎn)階段，在評價總效率的同時還評價每個生產(chǎn)階段的效率，這樣就可以看出每個生產(chǎn)階段對于總效率的影響程度.通過對每個生產(chǎn)階段進行具體分析，就能為決策者找出效率低下的具體原因.現(xiàn)有的網(wǎng)絡DEA 模型大多數(shù)都只采用自我評價而忽略了同行評價[8-9].為解決這一問題，Kao 等[10]提出了網(wǎng)絡交叉效率評價模型，簡稱KL（Kao 和Liu）模型，用每個DMU 所采用的乘數(shù)計算其它DMU 的系統(tǒng)和階段交叉效率.這樣，每個DMU 不僅要自我評價，還要同行評價.每個DMU的系統(tǒng)交叉效率值和階段交叉效率值都是自我評價和同行評價的加權平均.KL 模型是Kao 等[10]在固定規(guī)模收益（Constant Returns to Scalem,CRS）假設的基礎上構建的投入導向型的CCR（Charnes Cooper Rhodes）模型.因此，只能在CRS 情況下評價投入端的系統(tǒng)效率和階段效率.另外，他們的方法在串聯(lián)結構下采用了乘積的形式分解系統(tǒng)效率，這使得串聯(lián)結構下的效率分解無法拓展至VRS（Variable Returns to Scale）情況.

方向距離函數(shù)（Directional Distance Function,DDF）模型是對傳統(tǒng)模型的一種改進[11-12].相較于傳統(tǒng)模型，該模型可以通過研究者選定的方向向量來指定投入產(chǎn)出的改進方向[13]，同時研究者可以通過選取合適的方向向量來處理負數(shù)據(jù).

本文基于乘數(shù)型方向距離函數(shù)，針對兩種基本網(wǎng)絡結構——串聯(lián)和并聯(lián)，分別給出了VRS下的網(wǎng)絡交叉效率評價方法.無論是串聯(lián)結構，還是并聯(lián)結構，我們的系統(tǒng)效率都可拆分為階段效率的加權平均.基于DDF 的交叉效率概念基礎上，討論了VRS 下串聯(lián)系統(tǒng)和并聯(lián)系統(tǒng)的交叉效率度量及分解，并使用了兩個數(shù)例來說明本文提出的方法的可行性.

1 基于DDF 的交叉效率模型

為了方便模型的描述，我們在VRS 下開展模型的討論.假設有n個DMU，每個DMU 用m項投入生產(chǎn)s項產(chǎn)出.記第j個DMU 為DMUj，其第i項投入和第r項產(chǎn)出分別為xij(i=1,…,m)和y rj(r=1,…,s).如下VRS DDF 模型可用于評價DMUd(d=1,…,n)的效率，

2 基于DDF 的網(wǎng)絡交叉效率評價

2.1 串聯(lián)結構

如圖1 所示，本模型將一個DMU 分成q個階段，第一個階段消耗外來投入xi(i=1,…,m)，并將全部產(chǎn)出(g∈?1)投入第二階段.第p(p= 2,… ,q? 1)階段消耗p?1階段的產(chǎn)出)，并將其產(chǎn)出全部投入p+1階段，直到第q階段，消耗上一階段的產(chǎn)出，并將全部產(chǎn)出y r(r=1,…,s)全部輸出.

圖1 串聯(lián)結構系統(tǒng)

為了處理可能存在的負數(shù)據(jù)，基于文獻[14]的RDM（Range Directional Model）模型，令投入、產(chǎn)出和中間變量的方向向量分別為：

構建如下VRS 串聯(lián)模型：

如果模型（3）出現(xiàn)多解的情況，可以采用如下第二目標模型：

2.2 并聯(lián)結構

并聯(lián)結構是網(wǎng)絡DEA 中另外一種常用結構.如圖2 所示，并聯(lián)結構由q個互不相關的獨立階段組成，每個階段消耗(i= 1,…,m,p=1,…,q)生產(chǎn)出(r= 1,…,s,p=1,…,q).

圖2 并聯(lián)結構系統(tǒng)

這表明系統(tǒng)交叉效率可分解為階段交叉效率的加權平均.

3 數(shù)例分析

3.1 串聯(lián)數(shù)例

采用的數(shù)例源自于文獻[15]中的臺灣24 家非壽險公司數(shù)例.該數(shù)例適用于兩階段的串聯(lián)結構，具有兩個投入、兩個產(chǎn)出和兩個中間變量.為了說明本模型能夠處理負數(shù)據(jù)，我們將原數(shù)據(jù)中的x1取其相相反數(shù)，其原數(shù)據(jù)可以從文獻[15]中獲得.

表1 和表2 分別表示二階段串聯(lián)模型評價結果的乘數(shù)和效率，其模型如模型（3）所示.表1中，列2 至列7 分別表示x1,z1,z2,y1,y2的乘數(shù)，列8 和列9 都表示自由變量.表2 中，列2 至列9 分別表示第一階段的交叉效率、權重和排名、第二階段的交叉效率、權重和排名以及系統(tǒng)效率和排名.

表1 串聯(lián)數(shù)例的乘數(shù)

表2 串聯(lián)數(shù)例的交叉效率

觀察表1 中的數(shù)值，不難發(fā)現(xiàn)許多乘數(shù)值為0，表明DMU 為了使效率值最優(yōu)，會賦予部分投入、產(chǎn)出較低的乘數(shù).而在生產(chǎn)過程中，每個投入和產(chǎn)出往往都有重要作用，交叉效率的思想緩解了這個問題.

表3 中展示的是單階段DDF 模型的評價效率，其模型如模型（2）所示.表3 中，列1 至列6 表示的是自我評價的結果，列7 至列12 表示的是交叉評價的結果.觀察其自我評價的結果，我們可以發(fā)現(xiàn)DMU5、DMU6、DMU12、DMU15、DMU20、DMU21、DMU22的效率值為0，無法進一步評價其效率優(yōu)劣，辨別能力較弱.與自我評價相比，交叉評價的辨別能力更強，然而相較于表3，表4 中交叉評價無從得知無效DMU 效率低下的原因，很難給出具體的改進建議.同時觀察表3，我們發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)中的負值并沒有影響本模型對于效率和排名的計算.這拓寬了本模型的適用范圍，以往研究人員[14]在處理銀行效率評價和環(huán)境評估等問題時，負數(shù)據(jù)常常影響模型的計算，本模型解決了這個問題.我們不難驗證對于每個DMU，系統(tǒng)交叉效率值等于階段交叉效率值乘以對應的權重之和.這里DMU24為例，0.126 × 0.449+0.033 × 0.551=0.075.

表3 串聯(lián)結構下單階段DDF 模型

3.2 并聯(lián)數(shù)例

并聯(lián)的數(shù)例源于文獻[10]的2011―2013 年臺灣銀行業(yè)數(shù)據(jù)，適用于三階段并聯(lián)結構，每一階段具有三個投入和三個產(chǎn)出，為了說明本模型能夠處理負數(shù)據(jù)，我們將原數(shù)據(jù)中的y1取其相反數(shù)，其原數(shù)據(jù)可以從文獻[10]中獲得.

表4 和表5 分別表示三階段并聯(lián)模型評價結果的乘數(shù)和效率，其模型如模型（5）所示.表4中，列2 至列7 分別表示x1,x2,x3,y1,y2,y3的乘數(shù)，列8 至列10 是自由變量.表5 中，列2 至列12 分別表示第一階段的交叉效率、乘數(shù)和排名、第二階段的交叉效率、乘數(shù)和排名、第三階段的交叉效率、乘數(shù)和排名以及系統(tǒng)交叉效率和排名.

表4 并聯(lián)數(shù)例的乘數(shù)

表5 并聯(lián)數(shù)例的交叉效率值

（接上表）

對比表5 中三個階段的效率值和排名我們可以發(fā)現(xiàn)，三個階段的排名大致相似，與取負值之前的結論一致.這表明負數(shù)據(jù)對于并聯(lián)模型的計算影響較小，模型在處理負數(shù)據(jù)是能夠取得較好的結果.另外，對比各DMU 的效率，沒有相同的效率值，表明本模型具有較強的辨識力.不難驗證，每個DMU 系統(tǒng)效率值等于階段效率值與對應的權重的乘積之和，與本文定義相同.以DMU1為例，0.823 40 × 0.326 81+0.729 26 × 0.280 29+0.837 84 × 0.392 90=0.802 69.

4 結 論

基于DDF，本文得出VRS 下串聯(lián)模型和并聯(lián)模型，使得模型能夠同時優(yōu)化投入和產(chǎn)出.基于交叉效率的思想，通過定義串聯(lián)和并聯(lián)結構下DDF 的系統(tǒng)效率和階段效率，將DDF 下的系統(tǒng)效率分解為階段效率的加權平均，分別為兩種結構提出了VRS 下的基于DDF 網(wǎng)絡交叉效率評價方法.該方法還可以處理投入、產(chǎn)出及中間變量可能存在的負數(shù)據(jù).