非完備b-度量空間上四個(gè)非連續(xù)映射具有唯一公共不動(dòng)點(diǎn)的定理*

樸勇杰

延邊大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系，吉林延吉 133002

Czerwik[1]于1993 年引入了b-度量空間，即度量型空間的概念并在完備的b-度量空間框架下推廣了Banach 壓縮原理（Banach 不動(dòng)點(diǎn)定理）。之后，一些研究者在b-度量空間上討論并得到了滿足各種形式的映射的唯一不動(dòng)點(diǎn)定理［2-10］。2014年，Roshan等[11]在b-度量空間上給出了若干個(gè)滿足廣義壓縮條件的4個(gè)映射的唯一公共不動(dòng)點(diǎn)定理，此處b-度量未必是連續(xù)的。文獻(xiàn)［11］中的廣義壓縮條件是?iri?[12]型壓縮條件及Hardy-Rogers[13]型壓縮條件的推廣形式，其結(jié)果大大地推廣和改進(jìn)了許多（公共）不動(dòng)點(diǎn)定理。

在本文，通過(guò)除去自映射的連續(xù)性，用弱相容代替相容并利用一類新的隱式壓縮條件而不是?iri?型及Hardy-Rogers型壓縮，在非完備的b-度量空間上給出文獻(xiàn)［11］中的相應(yīng)結(jié)果并舉一個(gè)實(shí)例支撐主要結(jié)果。同時(shí)，我們?cè)谙嗤目臻g上給出具有一類線性壓縮條件的4個(gè)映射的公共不動(dòng)點(diǎn)定理。

1 基本知識(shí)

給出本文中需要的若干定義及相關(guān)結(jié)果。

定義1[1]設(shè)X是非空集合，k≥1 是給定實(shí)數(shù)。稱函數(shù)d：X×X→R+為一個(gè)b-度量，如果對(duì)任何x，y，z∈X，下列條件成立

（b1）d(x，y) = 0 ?x=y；

（b2）d(x，y) =d(y，x)；

（b3）d(x，z) ≤k[ ]

d(x，y) +d(y，z) .

稱(X，d)為具有k≥1的b-度量空間。b-度量空間類明顯大于通常的度量空間類，事實(shí)上，b-度量是通常度量當(dāng)且僅當(dāng)k= 1.

例1[14]設(shè)X={x1，x2，x3，x4}且d(x1，x2)=k≥2，d(x1，x3)=d(x1，x4)=d(x2，x3)=d(x2，x4)=d(x3，x4)=1，d(xi，xj)=d(xj，xi)(對(duì)所有i，j= 1，2，3，4)及d(xi，xi)= 0(對(duì)所有i= 1，2，3，4). 則d是具有k2 的b-度量空間，但不是通常度量空間，這是因?yàn)楫?dāng)k> 2時(shí)d(x1，x2)>d(x1，x3)+d(x3，x2).

例2[14]設(shè)X= R為實(shí)數(shù)集合。令d(x，y) =(x-y)2（對(duì)所有x，y∈X），則d是具有k= 2的b-度量空間，但不是通常度量，這是因?yàn)閐(-1，1) = 4 > 2 =d(-1，0) +d(0，1).

定義2[1，11，14]設(shè)(X，d)是具有k≥1的b-度量空間，{xn}為X中的序列.

（b） 稱{xn}為柯西的是指當(dāng)n，m→∞時(shí)d(xn，xm) →0.

（c）b-度量空間(X，d)是完備的是指X中的每個(gè)柯西序列都收斂。

命題1[15]在具有k≥1的b-度量空間(X，d)中，如下結(jié)論成立

（i）每個(gè)收斂序列有唯一極限；

（ii）每個(gè)收斂序列都是柯西的；

（iii）一般情況下，b-度量未必是連續(xù)的。

因?yàn)橐粋€(gè)度量未必是連續(xù)的，因此下列引理對(duì)b-收斂序列是非常重要的。

引理1[11，14，16]設(shè)(X，d)是具有k≥1的b-度量空間。假設(shè){xn}和{yn}分別收斂于x和y. 則

引理3[14，16]設(shè)(X，d)是具有k≥1的b-度量空間且{xn}是X中的序列使得

如果{xn}不是柯西序列，則存在ε> 0及{xn}的兩個(gè)子序列{xn(i)}和{xm(i)}使得如下4個(gè)序列

滿足如下性質(zhì)

引理4 設(shè)(X，d)是具有k≥1的b-度量空間且{xn}是X中的序列使得

如果{xn}不是柯西序列，則存在ε> 0及{xn}的兩個(gè)子序列{xn(i)}和{xm(i)}使得如下4個(gè)序列

滿足如下性質(zhì)

定義4[17]設(shè)(X，d)是具有k≥1 的b-度量空間。稱一對(duì)映射f，g：X→X是弱相容的是指當(dāng)fx=gx（x∈X）時(shí)fgx=gfx.

定義5[18]設(shè)X是非空集合且f，g：X→X是兩個(gè)自映射。如果存在u，x∈X使得u=fx=gx，則稱x為f和g的重合點(diǎn)，u是f和g的重合的點(diǎn)。

引理5[18]設(shè)X是非空集合且f，g：X→X是弱相容的。如果u是f和g的唯一的重合的點(diǎn)，則u是f和g的唯一公共不動(dòng)點(diǎn)。

定義6?∈Φ ??：[0，+ ∞) →[0，+ ∞)是上半連續(xù)的非遞減函數(shù)使得?(t) = 0當(dāng)且僅當(dāng)t= 0.注記1 弱相容概念明顯弱于相容概念。

2 公共不動(dòng)點(diǎn)

定理1 設(shè)(X，d)是具有k≥1的b-度量空間，f，g，S，T：X→X是4個(gè)映射使其滿足fX?TX和gX?SX.假設(shè)對(duì)任何x，y∈X，

其中?∈Φ是滿足定義6的函數(shù)且滿足對(duì)任何t> 0，?(t)

證明 取x0∈X。根據(jù)fX?TX及gX?SX，可構(gòu)造兩個(gè)序列{xn}和{yn}使其滿足

如果存在某個(gè)n使得d(y2n-1，y2n)

該式推出k< 1，這與k≥1相矛盾。于是{yn}是柯西序列。

假設(shè)TX是完備的，則存在u∈TX和v∈X使得y2n=fx2n=Tx2n+1→u=Tv（當(dāng)n→∞時(shí)）。因此d(y2n+1，u) ≤k[d(y2n+1，y2n)+d(y2n，u)]導(dǎo)出y2n+1→u=Tv（當(dāng)n→∞時(shí)）。（如果fX是完備的，則存在u∈fX?TX使得y2n=fx2n→u（當(dāng)n→∞時(shí)）。因此結(jié)論仍然成立。）

這推出k< 1，這與k≥1相矛盾。于是必有g(shù)v=u=Tv，即u是g和T的重合的點(diǎn)。

因?yàn)閡=gv∈gX?SX，因此w∈X使得u=Sw. 如果d(u，fw) > 0，則再次根據(jù)引理1及式（11）得到

該式也導(dǎo)出與k≥1相矛盾的結(jié)果k< 1. 于是fw=u=Sw，即u是f和S的重合的點(diǎn)。

如果z是f和S的另一個(gè)重合的點(diǎn)，則d(u，z) > 0且存在x∈X使得z=fx=Sx. 根據(jù)式（11），

這也是矛盾。因此u是f和S的唯一重合的點(diǎn)，于是根據(jù)引理5 知u是f和S的唯一公共不動(dòng)點(diǎn)。類似地，u是g和T的唯一公共不動(dòng)點(diǎn)。顯然u是{f，g，S，T}的唯一公共不動(dòng)點(diǎn)，因此省去其證明過(guò)程。

類似地可證明，當(dāng)gX或SX完備時(shí)，同樣成立相同的結(jié)果。

例1 設(shè)X=[0，1]賦予b-度量d(x，y) =(x-y)2，x，y∈X，則(X，d)是具有k= 2 的b-度量空間。定義X上的4個(gè)自映射f，g，S，T：

則fX?TX且gX?SX.fx=Sx當(dāng)且僅當(dāng)x= 0，1 且gx=Tx當(dāng)且僅當(dāng)x= 0，1，因此{(lán)f，S}和{g，T}分別是弱

于是，f，g，S，T，?滿足定理1的所有條件，故f，g，S，T有唯一公共不動(dòng)點(diǎn)0.

定理2 設(shè)(X，d)是具有k≥1的b-度量空間，f，g，S，T：X→X是4個(gè)映射使其滿足fX?TX和gX?SX.假設(shè)對(duì)任何x，y∈X，

其中a1，a2，a3，a4，a5≥0 滿足a1+a2+a3+ 2kmax{a4，a5}

證明 考慮滿足式（12）的兩個(gè)序列{xn}和{yn}. 根據(jù)式（20），k3d(y2n，y2n+1)=k3d(fx2n，gx2n+1)

于是{yn}是柯西序列。

假設(shè)TX是完備的，則存在u∈TX和v∈X使得y2n=fx2n=Tx2n+1→u=Tv（當(dāng)n→∞時(shí)）。因此d(y2n+1，u) ≤k[d(y2n+1，y2n)+d(y2n，u)]導(dǎo)出y2n+1→u=Tv（當(dāng)n→∞時(shí)）。（如果fX是完備的，則存在u∈fX?TX使得y2n=fx2n→u（當(dāng)n→∞時(shí)）。因此結(jié)論仍然成立。）

如果d(u，gv) > 0，則根據(jù)引理1和式（20），得

因此k2≤a3+ka4≤a1+a2+a3+ 2kmax{a4，a5}

因?yàn)閡=gv∈gX?SX，存在w∈X使得u=Sw. 如果d(u，fw) > 0，則根據(jù)引理1和式（20），得到

因此k2≤a2+ka5≤a1+a2+a3+ 2kmax{a4，a5}

如果z是另一個(gè)f和S的重合的點(diǎn)，則d(u，z) > 0且存在x∈X使得z=fx=Sx. 則根據(jù)式（20），

整理得

因此k3≤a1+a4+a5≤a1+a4+a3+ 2kmax{a4，a5}

類似地，可證明當(dāng)gX或SX是完備時(shí)成立相同的結(jié)論，在此省略。