勾股定理創(chuàng)新題賞析

劉頓

2020年湖北省隨州市的中考數(shù)學(xué)試卷中有這樣一道試題：

勾股定理是人類(lèi)最偉大的十個(gè)科學(xué)發(fā)現(xiàn)之一，西方國(guó)家稱(chēng)之為畢達(dá)哥拉斯定理. 在我國(guó)古書(shū)《周髀算經(jīng)》中就有“若勾三，股四，則弦五”的記載，我國(guó)漢代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅“弦圖”（如圖1），后人稱(chēng)之為“趙爽弦圖”，流傳至今.

（1）①請(qǐng)敘述勾股定理;②勾股定理的證明，人們已經(jīng)找到了400多種方法，請(qǐng)從下列幾種常見(jiàn)證明方法中任選一種來(lái)證明該定理.（以下圖形均滿(mǎn)足證明勾股定理所需的條件）

（2）①如圖4、圖5、圖6，以直角三角形的三邊為邊或直徑，分別向外部作正方形、半圓、等邊三角形，這三個(gè)圖形中面積關(guān)系滿(mǎn)足S1 + S2 = S3的有 個(gè).

②如圖7所示，分別以直角三角形三邊為直徑作半圓，設(shè)圖中兩個(gè)月形圖案（陰影部分）的面積分別為S1，S2，直角三角形的面積為S3，請(qǐng)判斷S1，S2，S3的關(guān)系并證明.

（3）如果以正方形一邊為斜邊向外作直角三角形，再以該直角三角形的兩直角邊為邊分別向外作正方形，重復(fù)這一過(guò)程得到如圖8所示的“勾股樹(shù)”. 在如圖9所示的“勾股樹(shù)”的某部分圖形中，設(shè)大正方形M的邊長(zhǎng)為定值m，四個(gè)小正方形A，B，C，D的邊長(zhǎng)分別為a，b，c，d，已知∠1 = ∠2 = ∠3 = ∠α，則當(dāng)∠α變化時(shí)，回答下列問(wèn)題：（結(jié)果可用含m的式子表示）

①a2 + b2 + c2 + d2 = ;

②b與c的關(guān)系為 ，a與d的關(guān)系為 .

仔細(xì)研究題目，會(huì)發(fā)現(xiàn)該題的文字與圖形都是我們平時(shí)所接觸過(guò)的，該題只是將這些文字與圖形歸結(jié)到一個(gè)題目中來(lái)，要求我們解決平時(shí)不曾要求解決的問(wèn)題.

解析：（1）①如果直角三角形的兩條直角邊分別為a，b，斜邊為c，那么a2 + b2 = c2. （在直角三角形中，兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方. ）

②在圖1中，大正方形的面積等于四個(gè)全等的直角三角形的面積與中間小正方形的面積的和，即c2 = [12]ab·4 + （b - a）2，化簡(jiǎn)得a2 + b2 = c2. 在圖2中，大正方形的面積等于四個(gè)全等的直角三角形的面積與中間小正方形的面積的和，即（a + b）2 =? c2 + [12]ab·4，化簡(jiǎn)得a2 + b2 = c2. 在圖3中，梯形的面積等于三個(gè)直角三角形的面積的和，即[12]（a + b）（a + b） = [ 12]ab·2 + [12]c2，化簡(jiǎn)a2 + b2 = c2.

（2）①在圖4中，設(shè)直角三角形的邊長(zhǎng)從小到大分別為a，b，c，

則由勾股定理得a2 + b2 = c2，∴S1 + S2 = S3;

在圖5中，設(shè)三個(gè)半圓的直徑從小到大分別為a，b，c，

則S1 = [12π·a22] = [18π]a2，S2 = [12π·b22] = [18π]b 2，S3 = [12π· c22] = [18π]c 2，∴S1 + S2 = [18π]（a2 + b2），

∵a2 + b2 = c2，∴[18π]（a2 + b2） = [18π]c 2，∴S1 + S2 = S3;

在圖6中，設(shè)等邊三角形的邊長(zhǎng)從小到大分別為a，b，c，則S1 = [34]a2，S2 = [34]b 2，S3 = [34]c 2，

∵S1 + S2 = [34]（a2 + b2），a2 + b2 = c2，∴[34]（a2 + b2） = [ 34]c 2，

∴S1 + S2 = S3.

滿(mǎn)足S1 + S2 = S3的圖形有3個(gè)，故應(yīng)填3.

②結(jié)論為S1 + S2 = S3.

∵S1 + S2 = [12π·a22] + [12π·b22] + S3 - [12π· c22]，∴S1 + S2 = [18π]（a2 + b2 - c2） + S3，

∵a2 + b2 = c2，∴S1 + S2 = S3.

（3）①如圖9，設(shè)中間的兩個(gè)正方形分別為正方形N和正方形T，正方形A、正方形B、正方形C、正方形D、正方形N、正方形T、正方形M的邊長(zhǎng)分別為a，b，c，d，n，t，m，

由（1）（2）結(jié)論可知，面積關(guān)系為SA + SB = SN，SC + SD = ST，SN + ST = SM，

∴a2 + b2 = n2，c2 + d2 = t2，n2 + t2 = m2，∴a2 + b2 + c2 + d2 = m2，

故應(yīng)填m2.

②如圖10，連接SP，過(guò)Q分別作FG和SP的垂線(xiàn)，垂足分別為H和K，

由直角三角形和正方形的性質(zhì)，結(jié)合∠1 = ∠2 = ∠3可得：

△QRS ≌ △FHE ≌ △SKE，△PXY ≌ △EHG ≌ △EKP，

∴FH = QR=a，GH=XY=d，RS=EK=PX=b=c，而FH + GH=m，

即b=c，b + d=m，

故應(yīng)填b=c，b + d=m.