希帕索斯悖論與無(wú)理數(shù)

林革

說(shuō)到希帕索斯悖論，首先要提到的是畢達(dá)哥拉斯學(xué)派和畢達(dá)哥拉斯定理.

畢達(dá)哥拉斯是一位與孔子、釋迦牟尼幾乎同時(shí)代的古希臘著名數(shù)學(xué)家和哲學(xué)家. 他創(chuàng)辦了一個(gè)著名的學(xué)派——畢達(dá)哥拉斯學(xué)派，其宗旨是“萬(wàn)物皆數(shù)”.

畢達(dá)哥拉斯學(xué)派認(rèn)為：世界上的萬(wàn)事萬(wàn)物都可以用數(shù)來(lái)表示，一切事物都由數(shù)構(gòu)成. 無(wú)論什么事物，大到天體，小到塵埃，都有一定的長(zhǎng)短、高低、大小、輕重等數(shù)量，沒(méi)有數(shù)量的事物是不存在的. 總之，一切事物都必須而且只能通過(guò)數(shù)得到解釋，宇宙的本質(zhì)和規(guī)律就是數(shù)的和諧，也就是說(shuō)，宇宙間的一切現(xiàn)象都能歸結(jié)為整數(shù)或整數(shù)之比. 顯然“萬(wàn)物皆數(shù)”中的數(shù)就是有理數(shù).

畢達(dá)哥拉斯定理就是著名的勾股定理，即直角三角形斜邊的平方等于兩直角邊平方之和. 據(jù)說(shuō)畢達(dá)哥拉斯發(fā)現(xiàn)這個(gè)定理有一段有趣的淵源.

有一次，畢達(dá)哥拉斯被邀請(qǐng)到朋友家做客，客人們高談闊論，他卻一言不發(fā)，靜靜地坐在那里. 他本來(lái)就是一個(gè)沉默寡言、不愛(ài)湊熱鬧的人，平時(shí)除了思考數(shù)學(xué)問(wèn)題和別人溝通交談外，沒(méi)有任何別的事情能讓他多費(fèi)口舌. 畢達(dá)哥拉斯一直低頭看地上鋪的花磚（花磚形狀如圖1），屋里沒(méi)人感到奇怪.

花磚上的圖形有正方形和三角形，黑白相間且有規(guī)律地排列著，這好像沒(méi)什么特別的，可畢達(dá)哥拉斯竟被這個(gè)司空見(jiàn)慣的圖案吸引住了. 他幾乎忘記了自己是來(lái)做客的，竟彎下腰去，在靠邊的花磚上算了起來(lái).

畢達(dá)哥拉斯在直角三角形的一條直角邊上寫(xiě)上a，另一條直角邊上寫(xiě)上b，在斜邊上寫(xiě)上c（如圖1）. 以a為邊的正方形面積a2恰好等于兩個(gè)灰色三角形面積的和，以b為邊的正方形面積b2恰好等于兩個(gè)白色三角形面積的和，以c為邊的正方形面積c2恰好等于兩個(gè)灰色三角形與兩個(gè)白色三角形面積的和，即c2 = a2 + b2. 由此，畢達(dá)哥拉斯得出結(jié)論：以c為邊的大正方形面積等于以a或b為邊的兩個(gè)小正方形面積的和.

畢達(dá)哥拉斯和他的門徒在給出這條定理的證明后欣喜若狂，宰了100頭牛，舉辦了盛大的“百牛宴”以示慶賀. 因此，勾股定理也被稱為“百牛定理”.

不過(guò)，具有諷刺意味的是，畢達(dá)哥拉斯定理的發(fā)現(xiàn)和證明導(dǎo)致畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的宗旨被動(dòng)搖了.

畢達(dá)哥拉斯學(xué)派中的一個(gè)青年弟子希帕索斯，在研究正方形的對(duì)角線時(shí)發(fā)現(xiàn)，這條對(duì)角線既不能用整數(shù)表示，也不能用整數(shù)之比（分?jǐn)?shù)）表示. 因?yàn)?，如果能用整?shù)或整數(shù)之比表示，則必然帶來(lái)不可克服的矛盾. 具體推導(dǎo)如下：

假設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為1，如圖2，

則根據(jù)勾股定理可知斜邊w2 = 12 + 12 = 2，這個(gè)w一定不是整數(shù)，

因?yàn)?2 = 1，22 = 4，

而12 < w2 < 22，

又因?yàn)?和2是兩個(gè)連續(xù)的自然數(shù)，

所以w只能是夾在1和2之間的分?jǐn)?shù).

假設(shè)這個(gè)分?jǐn)?shù)為[mn]，

必須說(shuō)明該分?jǐn)?shù)是既約分?jǐn)?shù)（m，n已經(jīng)約去了所有的公因數(shù)），

可得結(jié)論：m，n之中至少有一個(gè)奇數(shù)（若兩者都是偶數(shù)，則存在公因數(shù)2，這與前提假設(shè)矛盾）.

∵[m2n2] = 2， ∴m2 = 2n2.

又∵2n2為偶數(shù)，∴ m2為偶數(shù)，

如果m為奇數(shù)，那么m可以表示成2p + 1，

則m2 = （2p + 1）2=4（p2 + p） + 1也是奇數(shù)，這與上面得到的m2為偶數(shù)矛盾.

∴m必為偶數(shù).

又∵m，n二者中至少有一個(gè)奇數(shù)，m必為偶數(shù)，

∴n必為奇數(shù).

m為偶數(shù)，可設(shè) m=2p，即m2=4p2=2n2，得n2=2p2，

也就是說(shuō)n2為偶數(shù)，則n必為偶數(shù). 這又與上面得到的n必為奇數(shù)矛盾.

不難看出，同一個(gè)數(shù)n既是奇數(shù)又是偶數(shù).

但是我們都知道，一個(gè)數(shù)要么是奇數(shù)，要么是偶數(shù)，不能既是奇數(shù)又是偶數(shù).

因此，以上循環(huán)必然產(chǎn)生矛盾，人們把這種循環(huán)稱為希帕索斯悖論.

推導(dǎo)過(guò)程之所以出現(xiàn)矛盾的結(jié)論，無(wú)外乎以下兩種原因：一種是前提錯(cuò)誤，一種是推導(dǎo)過(guò)程錯(cuò)誤. 以上的推導(dǎo)過(guò)程中使用了兩個(gè)前提：一個(gè)是畢達(dá)哥拉斯學(xué)派“一切現(xiàn)象可歸結(jié)為整數(shù)或整數(shù)之比”的信念，另一個(gè)就是畢達(dá)哥拉斯定理. 然而，由二者都推出了矛盾.

顯然，上述推導(dǎo)過(guò)程毫無(wú)差錯(cuò)，那么問(wèn)題只能出在前提上. 畢達(dá)哥拉斯定理是已證明為正確的定律，這樣只能說(shuō)明畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的信念不成立. 希帕索斯悖論的發(fā)現(xiàn)如同一聲晴天霹靂，動(dòng)搖了畢達(dá)哥拉斯學(xué)派整個(gè)信念大廈的基礎(chǔ)，引起了學(xué)派極大的恐慌，以至于希帕索斯最終為了真理付出了生命的代價(jià).

然而“青山遮不住，畢竟東流去”，人們又發(fā)現(xiàn)了其他不能用整數(shù)或整數(shù)之比表示的數(shù)，如[3]，[5]，[7]，[π]等，如今這些無(wú)理數(shù)已經(jīng)被大眾普遍接受.

雖然希帕索斯被拋到大海里淹死，但希帕索斯悖論是淹不死的. 這些事實(shí)像潮水一樣猛烈地沖擊著傳統(tǒng)觀念，促使人們重新審視“一切數(shù)都是整數(shù)或整數(shù)比”的有理數(shù)理論，這就是歷史上的第一次數(shù)學(xué)危機(jī). 當(dāng)然，從本質(zhì)上嚴(yán)格來(lái)說(shuō)，這種危機(jī)并不是數(shù)學(xué)本身的危機(jī)，而是畢達(dá)哥拉斯學(xué)派“萬(wàn)物皆數(shù)”（整數(shù)或整數(shù)之比）信念的危機(jī).

（作者單位：揚(yáng)州職業(yè)大學(xué)）