均勻熱載荷作用下功能梯度圓板的非線性振動(dòng)

蹇越傲 馬連生

摘要： 基于經(jīng)典板理論，研究了熱載荷作用下功能梯度圓板的大幅振動(dòng)問(wèn)題。在經(jīng)典板理論下利用物理中面概念，導(dǎo)出了功能梯度圓板的非線性運(yùn)動(dòng)方程。利用Ritz?Kantorovich方法消去時(shí)間變量，將非線性運(yùn)動(dòng)方程轉(zhuǎn)換成了一組關(guān)于空間變量的非線性常微分方程。采用打靶法數(shù)值求解所得方程，并利用數(shù)值結(jié)果研究了熱載荷作用下功能梯度圓板靜態(tài)響應(yīng)的影響和振幅、材料梯度參數(shù)、熱載荷以及邊界條件等對(duì)功能梯度圓板振動(dòng)行為的影響。研究表明：熱變形的存在使周邊夾緊與簡(jiǎn)支FGM圓板的振動(dòng)響應(yīng)及線性振動(dòng)與非線性振動(dòng)行為均有顯著不同。熱過(guò)屈曲變形板的硬化是有限度的，過(guò)大的熱過(guò)屈曲變形也會(huì)降低FGM圓板的剛度。

關(guān)鍵詞： 非線性振動(dòng); 功能梯度圓板; 熱載荷; Ritz?Kantorovich方法; 打靶法; 大振幅振動(dòng)

引 ?言

板結(jié)構(gòu)在工程中有著廣泛的應(yīng)用，特別是薄板結(jié)構(gòu)，它們經(jīng)常受到較大的動(dòng)態(tài)載荷。而這可能導(dǎo)致這些結(jié)構(gòu)的大幅度振動(dòng)[1]，降低建筑物和交通工具的可靠性，引發(fā)一系列安全問(wèn)題。

近年來(lái)，許多學(xué)者對(duì)功能梯度材料板和梁的振動(dòng)問(wèn)題進(jìn)行了研究。Allahverdizadeh等[1]采用半解析法，得出自由振動(dòng)頻率取決于振動(dòng)幅度，體積分?jǐn)?shù)指數(shù)對(duì)板的非線性響應(yīng)特性有顯著影響。Chaudhari等采用von?Karman動(dòng)力學(xué)方程，對(duì)薄矩形功能梯度板進(jìn)行了非線性分析[2]。Li等[3]基于三維線性彈性理論，研究了在熱環(huán)境中具有簡(jiǎn)支和夾邊的功能梯度材料矩形板的自由振動(dòng)。同樣，Kumar等[4]使用能量法，進(jìn)行了軸向功能梯度（AFG）非均勻板的非線性強(qiáng)迫振動(dòng)分析。Chaudhari等[5]，介紹了具有von Karman非線性的功能梯度板的自由振動(dòng)行為。而Thang 和Lee[6]利用Hamilton原理和經(jīng)典板理論，基于Navier解決方案，針對(duì)簡(jiǎn)單支撐的矩形板的固有頻率提出了精確的解決方案。Alijani等[7]研究了隨機(jī)激勵(lì)下固定端條件下FGM板的非線性振動(dòng)，討論了溫度變化和體積分?jǐn)?shù)指數(shù)的影響，并說(shuō)明熱變形功能梯度材料（FGM）板具有更強(qiáng)的硬化行為。Talha和Singh[8]對(duì)剪切變形FGM板的大幅度自由彎曲振動(dòng)進(jìn)行了研究分析。結(jié)果表明，非線性頻率比對(duì)于不同的邊界條件，不同厚度比、縱橫比和體積分?jǐn)?shù)指數(shù)的振幅比的影響是突出的。Jha等[9]基于高階剪切/剪切?正常變形理論，分析了功能梯度矩形板的自由振動(dòng)響應(yīng)。Shen等[10]研究了在熱環(huán)境中基于彈性地基的剪切變形FGM圓柱板的大振幅振動(dòng)特性。Hao和Zhang[11]在Reddy三階剪切變形板理論的框架下，利用Hamilton原理推導(dǎo)出懸臂FGM矩形板的運(yùn)動(dòng)控制方程，研究橫向激勵(lì)下懸臂FGM矩形板的非線性振動(dòng)。

由于FGM結(jié)構(gòu)在等厚度方向呈現(xiàn)非均勻性，這會(huì)使得FGM結(jié)構(gòu)的力學(xué)行為異于傳統(tǒng)材料結(jié)構(gòu)。如，在面內(nèi)載荷作用下，周邊夾緊邊界條件FGM板與周邊簡(jiǎn)支條件FGM板的靜態(tài)力學(xué)行為完全不同。就作者所知，關(guān)于面內(nèi)熱載荷作用下，不同邊界條件下FGM圓板非線性振動(dòng)行為的研究成果并不常見(jiàn)，本文將針對(duì)此類問(wèn)題展開研究。

本文利用Hamilton原理[12]，基于經(jīng)典板理論[13]，導(dǎo)出了功能梯度板的非線性運(yùn)動(dòng)方程。利用Ritz?Kantorovich方法[14]消去時(shí)間變量，將非線性運(yùn)動(dòng)方程轉(zhuǎn)換成了一組關(guān)于空間變量的非線性常微分方程。采用打靶法數(shù)值求解所得方程，并利用數(shù)值結(jié)果分析了靜態(tài)變形，振幅、材料梯度參數(shù)、熱載荷以及邊界條件等對(duì)功能梯度圓板振動(dòng)行為的影響。

1 基本方程

考慮一個(gè)半徑為b，厚度為h的功能梯度材料圓板。采用柱坐標(biāo)系Orθz，其中原點(diǎn)O與板的圓心重合，Orθ面置于圓板的幾何中面，z軸垂直于該面。設(shè)該板是由金屬相和陶瓷相組成，且材料性質(zhì)P（如彈性模量E、密度ρ、熱膨脹系數(shù)α等量）只沿板的厚度方向變化，且服從以下規(guī)律[15]

2 數(shù)值方法

由于所得控制方程具有很強(qiáng)的非線性，難以獲得解析解。以下采用打靶法來(lái)數(shù)值地求解這組方程。為此，將方程（10）?（13）以及邊界條件寫成下列矩陣形式：

3 數(shù)值結(jié)果與討論

分析中考慮成分由Al和ZrO2組成的功能梯度板，組分材料性質(zhì)如表1所示。

3.1 FGM圓板的靜態(tài)力學(xué)行為

圖1給出了梯度指數(shù)n對(duì)夾緊板臨界屈曲溫度λcr的影響曲線。從圖中可以看出，隨著梯度指數(shù)n的增大，臨界屈曲溫度λcr單調(diào)遞增。當(dāng)n值較小時(shí)，臨界屈曲溫度隨n的增加而變化劇烈;而當(dāng)n值較大（如n>20）時(shí)，的變化緩慢。圖2?3分別給出了周邊夾緊和簡(jiǎn)支功能梯度圓板中心撓度隨熱載荷的變化曲線。顯然，邊界條件的不同，對(duì)功能梯度板的靜態(tài)行為有顯著影響。夾緊條件下，圓板是典型的過(guò)屈曲變形，而簡(jiǎn)支條件下，圓板不存在分支屈曲，無(wú)論熱載荷多小，總是會(huì)有撓度產(chǎn)生。

3.2 FGM圓板的大振幅振動(dòng)問(wèn)題

為了驗(yàn)證數(shù)值方法的有效性，首先計(jì)算了夾緊各向同性圓板的小振幅振動(dòng)頻率，1階模態(tài)為10.2158，2階模態(tài)為39.7711。與文獻(xiàn)[18]比較，兩者吻合良好。對(duì)于1階模態(tài)，圖4?7分別給出了夾緊、簡(jiǎn)支FGM板固有頻率ω隨振幅參數(shù)A變化的曲線。從圖4?7中可以看出，固有頻率隨振幅參數(shù)單調(diào)遞增。其中圖4和6是無(wú)溫度載荷的情況。無(wú)溫度載荷時(shí)，具有中間材料性質(zhì)的梯度板，其固有頻率數(shù)值介于陶瓷板和金屬板之間。而當(dāng)有熱載荷作用時(shí)，并不一定滿足這種規(guī)律[19]。

在圖8?9中，給出了梯度參數(shù)n與固有頻率ω的關(guān)系曲線。可以看到，除了局部區(qū)域，固有頻率總是隨著梯度參數(shù)單調(diào)增大;熱載荷總是使板的固有頻率降低。

圖10給出了不同n值時(shí)，周邊夾緊FGM圓板的線性固有頻率（A=0.01）隨熱載荷的變化曲線。從圖10可以看出，在前屈曲階段，隨著熱載荷的增加，圓板的1階線性固有頻率（A=0.01）單調(diào)減小。當(dāng)熱載荷接近板的臨界熱載荷時(shí)，固有頻率趨于零。在過(guò)屈曲階段，F(xiàn)GM板的固有頻率隨著熱載荷的增大先增大后減小。這種變化與熱過(guò)屈曲變形有關(guān)。顯然，熱變形FGM板的硬化是有限度的，過(guò)大的熱過(guò)屈曲變形會(huì)降低FGM板的剛度。非線性振動(dòng)時(shí)（A=1），F(xiàn)GM圓板1階固有頻率隨熱載荷的變化曲線繪于圖11。從圖中可以看到，板屈曲前后ω?λ曲線的變化趨勢(shì)依然類似于線性振動(dòng)（圖10），而且這兩條曲線依然交于分支點(diǎn)。不同的是，在分支點(diǎn)處，非線性固有頻率不再是零。這兩幅圖表明，熱過(guò)屈曲變形對(duì)FGM板的振動(dòng)行為有著明顯的影響。

對(duì)于簡(jiǎn)支FGM板，線性（A=0.01）和非線性（A=1）基頻ω隨熱載荷參數(shù)λ的變化曲線分別如圖12和13所示。由于周邊簡(jiǎn)支FGM圓板不存在分支屈曲（如圖3所示），熱彎曲變形始終存在，而熱彎曲變形使得簡(jiǎn)支圓板的固有頻率隨熱載荷的增大先減小后增大。但是，與夾緊板不同的，簡(jiǎn)支板的頻率不會(huì)降低到零?？梢?jiàn)，熱變形對(duì)FGM板振動(dòng)響應(yīng)的影響是復(fù)雜的。非線性振動(dòng)時(shí)，情形是類似的。

4 結(jié) ?論

本文基于經(jīng)典板理論，推導(dǎo)了熱載荷作用下圓板的運(yùn)動(dòng)方程。然后利用Ritz?Kantorovich方法消去時(shí)間變量，將非線性運(yùn)動(dòng)方程轉(zhuǎn)換成了一組關(guān)于空間變量的非線性常微分方程。最后采用打靶法數(shù)值求解所得方程。分析了功能梯度材料圓板的熱過(guò)屈曲、熱彎曲以及非線性振動(dòng)問(wèn)題。數(shù)值結(jié)果表明：

（1）熱載荷作用下，周邊夾緊FGM圓板呈現(xiàn)典型的過(guò)屈曲行為;而由于簡(jiǎn)支邊界條件非齊次，不能構(gòu)成特征值問(wèn)題，因此簡(jiǎn)支FGM板沒(méi)有分支屈曲現(xiàn)象。

（2）材料梯度指數(shù)n和振幅參數(shù)A的增加均會(huì)使FGM圓板的固有頻率增大。

（3）無(wú)熱載荷時(shí)，具有中間材料性質(zhì)的梯度板，其固有頻率值介于陶瓷板和金屬板之間。而當(dāng)有熱載荷時(shí)，此規(guī)律不成立。

（4）熱變形對(duì)FGM圓板振動(dòng)響應(yīng)的影響是復(fù)雜的。對(duì)于周邊夾緊FGM圓板的線性振動(dòng)，在前屈曲階段，隨熱載荷的增大，板的固有頻率單調(diào)減小，直至為零，此時(shí)板屈曲;在過(guò)屈曲階段，隨熱載荷的增大，板的固有頻率先增大后減小。可見(jiàn)，熱變形板的硬化是有限度的。而非線性振動(dòng)時(shí)，熱變形對(duì)固有頻率的影響與線性振動(dòng)類似，但是非線性固有頻率不會(huì)降低為零。

（5）對(duì)于簡(jiǎn)支FGM圓板，由于板彎曲變形始終存在，使得FGM圓板的固有頻率先降低而后增加。由于簡(jiǎn)支FGM圓板不存在熱分支屈曲，固有頻率不會(huì)減小為零。

參考文獻(xiàn)：

[1] Allahverdizadeh A， Naei M H， Bahrami M N. Nonlinear free and forced vibration analysis of thin circular functionally graded plates[J]. Journal of Sound and Vibration， 2008， 310（4）： 966-984.

[2] Chaudhari V K， Gupta A， Talha M. Nonlinear vibration response of shear deformable functionally graded plate using finite element method[J]. Procedia Technology， 2016， 23： 201-208.

[3] Li Q， Iu V P， Kou K P. Three-dimensional vibration analysis of functionally graded material sandwich plates[J]. Journal of Sound and Vibration， 2008， 311（1-2）： 498-515.

[4] Kumar S， Mitra A， Roy H. ??Forced vibration response of axially functionally graded nonuniform plates considering geometric nonlinearity[J]. International Journal of Mechanical Sciences， 2017， 128： 194-205.

[5] Chaudhari V K， Gupta A， Talha M. Nonlinear vibration response of shear deformable functionally graded plate using finite element method[J]. Procedia Technology， 2016， 23： 201-208.

[6] Thang P T， Lee J. Free vibration characteristics of sigmoid-functionally graded plates reinforced by longitudinal and transversal stiffeners[J]. Ocean Engineering， 2018， 148： 53-61.

[7] Alijani F， ??Bakhtiari-Nejad F， Amabili M. Nonlinear vibrations of FGM rectangular plates in thermal environments[J]. Nonlinear Dynamics， 2011， 66（3）： 251-270.

[8] Talha M， Singh B N. Large amplitude free flexural vibration analysis of shear deformable FGM plates using nonlinear finite element method[J]. Finite Elements in Analysis and Design， 2011， 47（4）： 394-401.

[9] Jha D K， Kant T， Singh R K. Free vibration response of functionally graded thick plates with shear and normal deformations effects[J]. Composite Structures， 2013， 96（4）： 799-823.

[10] Shen H S， Wang H. Nonlinear vibration of shear deformable FGM cylindrical panels resting on elastic foundations in thermal environments[J]. Composites： Part B， 2014， 60： 167-177.

[11] Hao Y X， Zhang W. Nonlinear vibration of the cantilever fgm plate based on the third-order shear deformation plate theory[J]. AIP Conference Proceedings， 2010， 1233： 522.

[12] 姚國(guó)， 李鳳明. 橫向均布載荷下亞音速大撓度薄板的混沌運(yùn)動(dòng)[J]. 振動(dòng)工程學(xué)報(bào)， 2012， 25（6）：674-679.

Yao Guo ， Li Fengming. Chaotic motion of the subsonic plate with large deflection subjected to the transverse uniform load[J]. Journal of Vibration Engineering， 2012， 25（6）：674-679.

[13] Ma L S， ??Wang T J. ??Relationships between axisymmetric bending and buckling solutions of FGM circular plates based on third-order plate theory and classical plate theory[J]. International Journal of Solids & Structures， 2004， 41（1）： 85-101.

[14] Li S R， Zhou Y H. Shooting method for nonlinear vibration and thermal buckling of heated orthotropic circular plate[J]. Journal of Sound and Vibration， 2001， 248： 379-386.

[15] Ma L S， Wang T J. Nonlinear bending and post-buckling of a functionally graded circular plate under mechanical and thermal loadings[J]. International Journal of Solids & Structures， 2003， 40（13-14）： 3311-3330.

[16] Tacza?a M， Buczkowski R， Kleiber M. Nonlinear free vibration of pre- and post-buckled FGM plates on two-parameter foundation in the thermal environment[J]. Composite Structures， 2015， 137： 85-92.

[17] Woo J， Meguid S A. Nonlinear analysis of functionally graded plates and shallow shells[J]. International Journal of Solids and Structures， 2001， 38（42）： 7409-7421.

[18] Zhou Y H， Zheng X J， Harik I E. Free vibration analysis of compressed clamped circular plates[J]. Journal of Engineering Mechanics， 1995， 121（12）： 1372-1376.

[19] 李世榮， 范亮亮. 熱環(huán)境中功能梯度材料圓板的自由振動(dòng)[J]. 振動(dòng)工程學(xué)報(bào)， 2007， 20（4）： 353-360.