多穩(wěn)態(tài)電磁俘能系統(tǒng)的非線性動(dòng)力學(xué)實(shí)驗(yàn)研究

高鳴源 李守太 孫玉華

摘要： 為克服共振式俘能器工作頻帶窄和壓電式俘能器輸出電流低等問題，設(shè)計(jì)了多穩(wěn)態(tài)電磁式振動(dòng)俘能系統(tǒng)。建立了系統(tǒng)的分?jǐn)?shù)階阻尼模型，通過實(shí)驗(yàn)揭示了多穩(wěn)態(tài)電磁俘能系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)分岔、勢(shì)能阱逃逸、高能態(tài)軌道和混沌運(yùn)動(dòng)等非線性行為。結(jié)果表明：采用龐加萊截面頻閃采樣算法和分岔圖可有效刻畫系統(tǒng)的非線性振動(dòng)特性;利用多穩(wěn)態(tài)電磁式俘能系統(tǒng)的非線性振動(dòng)特性可顯著增加輸出電流并拓寬系統(tǒng)的有效工作頻帶。

關(guān)鍵詞： 非線性振動(dòng); 振動(dòng)俘能; 多穩(wěn)態(tài)電磁式俘能系統(tǒng); 混沌; 分岔

引 言

振動(dòng)俘能裝置可將周圍環(huán)境中的振動(dòng)能量轉(zhuǎn)化為電能，是能源回收利用的重要實(shí)現(xiàn)方式。經(jīng)典的振動(dòng)能量收集裝置可分為靜電式[1]、電磁式[2]及壓電式[3?4]三類。對(duì)于傳統(tǒng)的線性諧振式振動(dòng)俘能器，當(dāng)激勵(lì)頻率等于或接近俘能系統(tǒng)固有頻率時(shí)俘能器才會(huì)有顯著的能量輸出。當(dāng)外界環(huán)境振動(dòng)激勵(lì)頻帶較寬時(shí)，線性諧振式振動(dòng)俘能器的效能不足。

因此學(xué)者們開展了非線性俘能系統(tǒng)的研究工作以期拓寬俘能器頻帶，主要研究工作包括單穩(wěn)態(tài)[5]、沖擊[6]、雙穩(wěn)態(tài)[7?8]、三穩(wěn)態(tài)[9?10]等結(jié)構(gòu)形式。多穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)的回復(fù)力具有非線性特性，回復(fù)力勢(shì)能存在多個(gè)勢(shì)能阱，當(dāng)振子發(fā)生阱間振動(dòng)時(shí)其處于高能態(tài)軌道狀態(tài)，此時(shí)系統(tǒng)具有較高的能量輸出。因此通過系統(tǒng)設(shè)計(jì)使俘能器處于高能態(tài)軌道狀態(tài)，可有效提高俘能功率輸出[11]。

雙穩(wěn)態(tài)和三穩(wěn)態(tài)振動(dòng)俘能系統(tǒng)的非線性回復(fù)力通常借助磁斥力或磁吸力的非線性特性來實(shí)現(xiàn)?，F(xiàn)有俘能器主要借助壓電效應(yīng)實(shí)現(xiàn)機(jī)電能量轉(zhuǎn)換，典型的雙穩(wěn)態(tài)壓電俘能器由壓電懸臂梁及輔助磁體組成，梁的自由端固定有永磁體[12?17]，并隨壓電梁一起振動(dòng)，其余磁體靜止布置于梁的兩側(cè)，不隨梁運(yùn)動(dòng)。系統(tǒng)的非線性行為取決于磁體的幾何形狀，位置和磁性等。上述多穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)非線性回復(fù)力勢(shì)能雖由磁力產(chǎn)生，但本質(zhì)上屬于壓電俘能系統(tǒng)。壓電俘能器的共同局限是壓電材料內(nèi)阻較大，因而輸出電流小，致使系統(tǒng)的帶載能力弱[18]。

Mann和Owens [19] 提出了一種基于電磁感應(yīng)原理的可直接為負(fù)載供能的雙穩(wěn)態(tài)振動(dòng)俘能系統(tǒng)。該俘能器由可動(dòng)磁體及固定磁體陣列組成，磁體間相互作用形成一個(gè)雙穩(wěn)態(tài)勢(shì)能阱。與壓電式相比，電磁感應(yīng)式俘能器在低頻時(shí)具有較高功率輸出，無特殊材料需求，生產(chǎn)成本較低，能夠滿足機(jī)械工程領(lǐng)域大規(guī)模應(yīng)用需求。目前，關(guān)于電磁感應(yīng)式多穩(wěn)態(tài)振動(dòng)俘能器的研究工作較少，對(duì)基于電磁感應(yīng)原理的多穩(wěn)態(tài)振動(dòng)俘能系統(tǒng)特性了解不足。此外，無線傳感網(wǎng)絡(luò)監(jiān)測(cè)用電子電路或傳感器通常需要10?50 mA的輸入電流，10?200 mW的功耗，較高的電流和功耗使得常規(guī)的振動(dòng)俘能方式面臨較大挑戰(zhàn)，亟需設(shè)計(jì)研發(fā)可提供大電流和較高輸出功率的振動(dòng)俘能器結(jié)構(gòu)。

因此本文基于電磁感應(yīng)原理設(shè)計(jì)了多穩(wěn)態(tài)振動(dòng)俘能系統(tǒng)，并開展了三穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)的實(shí)驗(yàn)研究。本研究的主要貢獻(xiàn)和創(chuàng)新之處在于：1）提出了基于磁浮原理的電磁感應(yīng)式多穩(wěn)態(tài)振動(dòng)俘能機(jī)制;2）建立并驗(yàn)證了基于分?jǐn)?shù)階阻尼的電磁感應(yīng)式三穩(wěn)態(tài)俘能器動(dòng)力學(xué)模型;3）對(duì)所設(shè)計(jì)的三穩(wěn)態(tài)俘能系統(tǒng)的非線性動(dòng)力學(xué)行為開展實(shí)驗(yàn)研究，揭示了分岔、阱間振動(dòng)和混沌等現(xiàn)象。

1 基本原理

圖1（a）為電磁感應(yīng)式三穩(wěn)態(tài)振動(dòng)俘能系統(tǒng)的物理模型。陰影矩形表示管內(nèi)可動(dòng)磁體，其具有如圖中兩個(gè)虛線和一個(gè)實(shí)心填充方框所示的三個(gè)穩(wěn)定狀態(tài)。圖中實(shí)線矩形框表示的是固定磁體陣列。為使俘能系統(tǒng)產(chǎn)生含三穩(wěn)態(tài)勢(shì)能阱回復(fù)力的勢(shì)能函數(shù)，外部固定磁體陣列中磁體數(shù)量、磁極方向以及排布位置設(shè)計(jì)為可調(diào)結(jié)構(gòu)。線圈位于可動(dòng)磁體與固定磁體陣列之間。因此，通過一個(gè)雙層同心管結(jié)構(gòu)（線圈固定到內(nèi)管;靜止磁體陣列固定于外管）解決線圈及靜止磁體陣列的固定問題。

圖1（b）為系統(tǒng)的力學(xué)模型。電感元件（即線圈）在電流流過時(shí)將電能存儲(chǔ)在磁場(chǎng)中，它充當(dāng)記憶元件并可保持流經(jīng)的電流。根據(jù)楞次定律，感應(yīng)電流具有這樣的方向，即感應(yīng)電流的磁場(chǎng)總要阻礙引起感應(yīng)電流的磁通量的變化，亦即感應(yīng)電流的效果總是反抗引起感應(yīng)電流的原因。這就解釋了電磁感應(yīng)能量收集器中的阻尼力的成因，因此合成的阻尼力可以用分?jǐn)?shù)階微積分來描述。采用基爾霍夫電壓定律可以建立系統(tǒng)的等效電路模型，如圖1（c）所示。

為回復(fù)力勢(shì)能，， 是穩(wěn)定平衡點(diǎn)，而為不穩(wěn)定平衡點(diǎn)。是多項(xiàng)式最大階數(shù)項(xiàng)的系數(shù)，當(dāng)時(shí)，多穩(wěn)態(tài)勢(shì)能函數(shù)是實(shí)際存在的;而當(dāng)時(shí)，系統(tǒng)是不可實(shí)現(xiàn)的。采用KB平均法來求解電磁感應(yīng)式三穩(wěn)態(tài)振動(dòng)俘能系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型。

圖2是電磁感應(yīng)式三穩(wěn)態(tài)振動(dòng)俘能系統(tǒng)在三穩(wěn)態(tài)配置下的回復(fù)力和回復(fù)力勢(shì)能曲線。外部靜止磁體與內(nèi)部懸浮可動(dòng)磁體之間的相互作用引起的非線性回復(fù)力由Maxwell應(yīng)力張量法計(jì)算得到，這種方法在前期研究工作中已經(jīng)得到驗(yàn)證[22]?？梢钥闯?，回復(fù)力具有明顯的非線性特征，并且三穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)在三個(gè)穩(wěn)態(tài)之間進(jìn)行切換。該系統(tǒng)共有5個(gè)平衡點(diǎn)（即回復(fù)力方程的5個(gè)根），包括3個(gè)穩(wěn)定平衡點(diǎn)和2個(gè)不穩(wěn)定平衡點(diǎn)。

2 實(shí)驗(yàn)研究

所設(shè)計(jì)的電磁感應(yīng)式三穩(wěn)態(tài)俘能器采用雙層同心管結(jié)構(gòu)，外部靜止磁體陣列通過兩鋁套管與外部聚甲基丙烯酸甲酯管（PMMA管，Ф55 mm×Ф49 mm）連接?？蓜?dòng)懸浮磁體被放置在內(nèi)部PMMA管（Ф35 mm×Ф30 mm）內(nèi)，通過調(diào)整磁極方向使其在兩端部固定磁體磁斥力作用下懸浮于內(nèi)部PMMA管內(nèi)。內(nèi)管中的懸浮磁體與內(nèi)管壁之間的徑向間隙采用一圈銅珠填充，銅珠的滾動(dòng)運(yùn)動(dòng)可以大幅降低摩擦力，保證可動(dòng)磁體可沿管的軸向平滑運(yùn)動(dòng)。銅珠的尺寸為Φ4 mm。通過調(diào)整外部固定磁體與懸浮磁體的相對(duì)幾何位置關(guān)系，可以改變回復(fù)力勢(shì)能函數(shù)的形狀，并構(gòu)建三穩(wěn)態(tài)回復(fù)力勢(shì)能函數(shù)。

三穩(wěn)態(tài)俘能器振動(dòng)測(cè)試布置如圖3所示。采用ODV100?400（M&T HORIZON）激光位移計(jì)測(cè)量可動(dòng)磁體沿套管的軸向位移。激光位移傳感器固定于三腳架并采用直流穩(wěn)壓電源供電。為消除重力影響，將三穩(wěn)態(tài)俘能器軸向沿水平方向固定于振動(dòng)實(shí)驗(yàn)臺(tái)上。參照IEC 60068?2?6 [23]振動(dòng)測(cè)試規(guī)范，進(jìn)行了掃頻測(cè)試。將靈敏度為9.71 mV/g 的壓電加速度計(jì)（IEPE）固定于振動(dòng)實(shí)驗(yàn)臺(tái)，通過反饋信號(hào)實(shí)現(xiàn)對(duì)振動(dòng)激勵(lì)的控制。

圖4為系統(tǒng)的實(shí)驗(yàn)布置示意圖，內(nèi)部PMMA管中的懸浮可動(dòng)磁體（紅色虛線框所示）與輕木桿連接，管的左右兩端分別固定有圓環(huán)形靜止磁體（藍(lán)色虛線框所示），輕木桿從左邊圓環(huán)形磁體穿出，激光位移計(jì)照射出的光束投在木桿中心，進(jìn)而探測(cè)懸浮磁體的實(shí)時(shí)運(yùn)動(dòng)位移。外部靜止磁體（綠色虛線框所示）固定于外部PMMA管上，與內(nèi)部靜止磁體一起建立起磁約束勢(shì)能，在外部振動(dòng)激勵(lì)下，可動(dòng)懸浮磁體在勢(shì)能的約束下進(jìn)行非線性振動(dòng)。三穩(wěn)態(tài)電磁俘能系統(tǒng)的實(shí)驗(yàn)參數(shù)如表1所示。

將采樣頻率為20000 樣本/s的示波器（Tektronics DPO4014）的電壓探頭與俘能器輸出端及負(fù)載電阻相連，形成閉合回路。示波器采樣數(shù)據(jù)存儲(chǔ)于本地計(jì)算機(jī)硬盤中以供后續(xù)分析。示波器被用作數(shù)據(jù)采集設(shè)備，并與裝有Labview SignalExpress軟件的便攜電腦相連，以激活觸發(fā)/記錄模式，實(shí)現(xiàn)數(shù)據(jù)的連續(xù)采集。

3 結(jié)果討論

掃頻結(jié)果如圖5所示，青色線分別表示為可動(dòng)磁體位移和電流的時(shí)間序列，黑色點(diǎn)表示頻閃采樣點(diǎn)。將可動(dòng)磁體的位移以及回路中的電流的閃頻采樣點(diǎn)（按照激勵(lì)頻率）疊加到相應(yīng)的時(shí)間序列上。激勵(lì)頻率可以表示為時(shí)間的函數(shù)

為掃頻初始頻率，為掃頻速率。初始頻率 Hz， 掃頻速率（即頻率每5 min增加1倍，掃頻頻率從5 Hz到10 Hz需要5 min，從10 Hz到20 Hz同樣也需要5 min）。示波器采樣頻率為200000 樣本/s，即采樣間隔s。時(shí)間序列顯示了在不同激勵(lì)頻率下磁體的位移幅值及三穩(wěn)態(tài)俘能系統(tǒng)的電流輸出幅值。按照的序列差對(duì)基于示波器采樣數(shù)據(jù)進(jìn)行頻閃采樣，可以反映在不同激勵(lì)頻率下電磁感應(yīng)式三穩(wěn)態(tài)振動(dòng)俘能系統(tǒng)響應(yīng)的周期特性。

所設(shè)計(jì)的電磁式三穩(wěn)態(tài)振動(dòng)俘能系統(tǒng)在工作過程中會(huì)出現(xiàn)阱內(nèi)振動(dòng)、混沌及阱間高能態(tài)軌道等多種動(dòng)力學(xué)行為，并隨激勵(lì)條件的改變而相互轉(zhuǎn)化，如圖5所示。電磁感應(yīng)式三穩(wěn)態(tài)俘能系統(tǒng)在掃頻實(shí)驗(yàn)中經(jīng)歷一系列的狀態(tài)變化：阱內(nèi)周期運(yùn)動(dòng)→混沌運(yùn)動(dòng)→阱間運(yùn)動(dòng)→混沌運(yùn)動(dòng)→阱間運(yùn)動(dòng)→阱內(nèi)周期運(yùn)動(dòng)。

在掃頻時(shí)隨著激勵(lì)頻率增加，振子先在初始平衡點(diǎn)附近運(yùn)動(dòng)，系統(tǒng)表現(xiàn)為每個(gè)強(qiáng)迫運(yùn)動(dòng)周期內(nèi)的單沖程阱內(nèi)運(yùn)動(dòng)（如截面A?A所示）。在特定的激勵(lì)頻率下，短時(shí)內(nèi)系統(tǒng)發(fā)生改變，進(jìn)入混沌狀態(tài)（如截面B?B所示），隨后進(jìn)入阱間運(yùn)動(dòng)即高能態(tài)軌道狀態(tài)，龐加萊截面及相圖如截面C?C中所示。隨著激勵(lì)頻率的進(jìn)一步增加，電磁感應(yīng)式三穩(wěn)態(tài)俘能系統(tǒng)在一個(gè)較長(zhǎng)的時(shí)間段內(nèi)表現(xiàn)為混沌狀態(tài)，其特點(diǎn)是振子從原有勢(shì)能軌道逃逸，在區(qū)域界線內(nèi)不確定地出現(xiàn)。一定頻率下，系統(tǒng)返回阱間運(yùn)動(dòng)即高能態(tài)軌道狀態(tài)，如E?E截面相圖所示。當(dāng)激勵(lì)頻率超過一定范圍后，系統(tǒng)將圍繞一特征平衡點(diǎn)做周期振動(dòng)，如截面F?F所示。橫截面C?C和E?E所示的高能態(tài)軌道運(yùn)動(dòng)都表現(xiàn)出了異宿分岔，即兩個(gè)不相鄰勢(shì)能阱之間的運(yùn)動(dòng)，但兩種狀態(tài)相圖的形狀具有一定差異。前者具有與局部穩(wěn)定極限環(huán)相交織的高能態(tài)軌道運(yùn)動(dòng)，表明振子在沿高能態(tài)軌道運(yùn)動(dòng)時(shí)會(huì)被局部極限環(huán)吸引，隨后擺脫局部吸引子，繼續(xù)阱間運(yùn)動(dòng);而后者的特點(diǎn)是啞鈴形軌道，表現(xiàn)為持續(xù)阱間振動(dòng)。掃頻過程中，特定頻率下振子位移幅值以及電流幅值顯著，說明阱間高能態(tài)軌道和混沌運(yùn)動(dòng)可以顯著增加激勵(lì)周期內(nèi)的振動(dòng)俘能器的輸出電流和能量。

基于電磁感應(yīng)原理的三穩(wěn)態(tài)俘能系統(tǒng)的分?jǐn)?shù)階阻尼模型仿真計(jì)算結(jié)果如圖6（a），7（a），8（a）所示。其中每幅圖均包括兩個(gè)子圖：位移?速度相圖和時(shí)域響應(yīng)圖。模型參數(shù)在表1中列出，其中阻尼Cdamping=0.2 N·s/m，電磁耦合系數(shù)?=3.5 A·s/m，阻尼系數(shù)，為系統(tǒng)的臨界阻尼。為動(dòng)力學(xué)模型的關(guān)鍵參數(shù)，本文借鑒文獻(xiàn)[12]中的遺傳算法，基于實(shí)驗(yàn)測(cè)試數(shù)據(jù)進(jìn)行阻尼系數(shù)的參數(shù)辨識(shí)。

圖6為電磁式三穩(wěn)態(tài)振動(dòng)俘能系統(tǒng)阱內(nèi)運(yùn)動(dòng)的結(jié)果，可動(dòng)磁體在平衡點(diǎn)附近運(yùn)動(dòng)，三穩(wěn)態(tài)俘能系統(tǒng)表現(xiàn)為平衡點(diǎn)附近的阱內(nèi)運(yùn)動(dòng)。利用分?jǐn)?shù)階阻尼模擬換能器工作時(shí)的電磁阻尼力，建立磁浮式三穩(wěn)態(tài)俘能器數(shù)學(xué)模型，并進(jìn)行數(shù)學(xué)仿真。取分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的階數(shù)為q=0.95時(shí)仿真結(jié)果（圖6（a））與實(shí)驗(yàn)結(jié)果（圖6（b））吻合較好，因此認(rèn)為利用所建立的基于分?jǐn)?shù)階阻尼所建立的數(shù)學(xué)模型可以對(duì)速度幅值、平衡點(diǎn)位置、相圖以及時(shí)域響應(yīng)作出較好估計(jì)。從相圖中可以看出系統(tǒng)圍繞著一個(gè)穩(wěn)定平衡點(diǎn)進(jìn)行穩(wěn)定極限環(huán)運(yùn)動(dòng)。

圖7是三穩(wěn)態(tài)俘能系統(tǒng)在混沌運(yùn)動(dòng)下的結(jié)果。由于磁相互作用引起的跳躍現(xiàn)象，三穩(wěn)態(tài)俘能系統(tǒng)在三個(gè)穩(wěn)態(tài)之間不斷地切換。將龐加萊截面繪制于相圖上，可看到阱間的非周期運(yùn)動(dòng)。從仿真結(jié)果（圖7（a））和實(shí)驗(yàn)測(cè)試結(jié)果（圖7（b））可以看出混沌狀態(tài)下振子運(yùn)動(dòng)軌道表現(xiàn)為一系列離散的點(diǎn)。這里取分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的階數(shù)為q=0.95。

圖8是三穩(wěn)態(tài)俘能系統(tǒng)的阱間運(yùn)動(dòng)結(jié)果。振子從勢(shì)能阱中逃逸，形成阱間振動(dòng)。相圖具有啞鈴形軌道特征，表明系統(tǒng)保持持續(xù)阱間振動(dòng)。仿真結(jié)果（圖8（a））與實(shí)驗(yàn)測(cè)試結(jié)果（圖8（b））匹配較好，速度幅值、平衡點(diǎn)位置、相圖、龐加萊截面以及時(shí)間響應(yīng)都可以用計(jì)算模型得到很好的估計(jì)。同樣這里取分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的階數(shù)為q=0.95。

圖9顯示的是電磁式三穩(wěn)態(tài)振動(dòng)俘能系統(tǒng)在掃頻測(cè)試過程中的功率輸出。對(duì)于所設(shè)計(jì)的電磁感應(yīng)式三穩(wěn)態(tài)振動(dòng)俘能系統(tǒng)，相比于阱內(nèi)周期運(yùn)動(dòng)，阱間運(yùn)動(dòng)具有更大機(jī)械運(yùn)動(dòng)沖程，功率輸出明顯提高。因此通過系統(tǒng)設(shè)計(jì)，實(shí)現(xiàn)三穩(wěn)態(tài)振動(dòng)俘能系統(tǒng)高能態(tài)阱間運(yùn)動(dòng)，可顯著提高振動(dòng)俘能系統(tǒng)的輸出電流。與傳統(tǒng)的線性系統(tǒng)相比，電磁感應(yīng)式非線性三穩(wěn)態(tài)振動(dòng)俘能系統(tǒng)可在更寬的頻帶范圍內(nèi)實(shí)現(xiàn)能量捕獲。

4 結(jié) 論

本文提出了基于電磁感應(yīng)原理的三穩(wěn)態(tài)振動(dòng)俘能系統(tǒng)，建立了基于分?jǐn)?shù)階阻尼的電磁感應(yīng)式三穩(wěn)態(tài)振動(dòng)俘能系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型，開展了非線性振動(dòng)特性的實(shí)驗(yàn)研究，主要結(jié)論如下：

（1）三穩(wěn)態(tài)電磁式振動(dòng)俘能系統(tǒng)展現(xiàn)出混沌、分岔及高能態(tài)軌道運(yùn)動(dòng)等復(fù)雜的非線性動(dòng)力學(xué)行為。實(shí)驗(yàn)研究揭示了動(dòng)態(tài)分岔、勢(shì)能阱逃逸、高能態(tài)軌道、異宿分岔和混沌運(yùn)動(dòng)現(xiàn)象，且各種狀態(tài)之間存在相互轉(zhuǎn)化。

（2）分?jǐn)?shù)階微積分可用于描述電磁感應(yīng)式俘能器的阻尼力機(jī)制，KB平均法可用于求解三穩(wěn)態(tài)振動(dòng)俘能系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型。采用相圖、龐加萊截面及分岔圖可有效刻畫三穩(wěn)態(tài)電磁俘能系統(tǒng)的非線性振動(dòng)特性。

（3）可利用多穩(wěn)態(tài)電磁俘能系統(tǒng)的非線性振動(dòng)特性有效拓寬能量收集頻帶。與基于壓電材料的非線性俘能系統(tǒng)相比，電磁感應(yīng)式多穩(wěn)態(tài)俘能系統(tǒng)可以實(shí)現(xiàn)較大的電流和功率輸出，具有廣闊應(yīng)用前景。

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