基于結(jié)構(gòu)可置信性魯棒優(yōu)化算法的離散優(yōu)化問題研究

23232323

(1.大連大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，大連 116622； 2.大連理工大學(xué) 工業(yè)裝備國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室 工程力學(xué)系，大連 116024；3.大連理工大學(xué) 寧波研究院，寧波 315016)

1 引 言

結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)按照設(shè)計(jì)變量類型可以分為連續(xù)變量優(yōu)化設(shè)計(jì)和離散變量優(yōu)化設(shè)計(jì)。而實(shí)際上，大多數(shù)工程設(shè)計(jì)對(duì)應(yīng)于離散變量優(yōu)化設(shè)計(jì)問題。因?yàn)樵S多工程構(gòu)件的選擇都遵循一套標(biāo)準(zhǔn)化的計(jì)量辦法，以滿足工業(yè)化大生產(chǎn)的要求；同時(shí)測量工具通常也具有特定精度和量程，因而導(dǎo)致工程結(jié)構(gòu)的參數(shù)通常是離散的。相對(duì)于連續(xù)優(yōu)化的理論，離散優(yōu)化理論的發(fā)展還處于遠(yuǎn)不成熟的階段[1,2]。當(dāng)前在處理實(shí)際工程的離散變量設(shè)計(jì)問題時(shí)，出現(xiàn)了兩種不同的思路。一種首先采用連續(xù)優(yōu)化方法得到一組最優(yōu)解，然后對(duì)解的每個(gè)分量采用四舍五入或者向上取整等方法得到離散解，并憑工程師的經(jīng)驗(yàn)對(duì)其進(jìn)行適當(dāng)調(diào)整和驗(yàn)證，以滿足產(chǎn)品設(shè)計(jì)的需求。另一種做法是直接根據(jù)離散數(shù)學(xué)及其相關(guān)優(yōu)化算法，基于嚴(yán)謹(jǐn)?shù)睦碚摲治龊蛿?shù)值計(jì)算來求得工程設(shè)計(jì)問題的離散最優(yōu)解。盡管現(xiàn)階段來說，后種做法的計(jì)算量較大且可解決的問題也相對(duì)有限，但此類基于理性的研究方法對(duì)完善結(jié)構(gòu)優(yōu)化體系和指導(dǎo)工程設(shè)計(jì)均具有重要意義。

根據(jù)研究問題的角度不同，離散優(yōu)化設(shè)計(jì)的分類方法有多種，如隋允康等[3]把離散變量優(yōu)化方法分為圓整方法、離散方法和離散優(yōu)化映射為連續(xù)優(yōu)化的方法。Arora等[4]對(duì)非線性離散變量優(yōu)化問題相關(guān)工作進(jìn)行了總結(jié)。陳立周[5]撰寫了國內(nèi)關(guān)于結(jié)構(gòu)離散優(yōu)化方面較早的專著。柴山等[6]提出了精確的啟發(fā)式算法，即相對(duì)差商法，能夠解決目標(biāo)函數(shù)和約束函數(shù)單調(diào)的離散優(yōu)化問題。Templeman等[7]通過構(gòu)造力學(xué)模型使離散變量問題映射為連續(xù)變量問題，予以求解后反演回離散變量問題的解。李興斯等[8]把離散變量結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)問題轉(zhuǎn)化為帶有互補(bǔ)約束的優(yōu)化問題，并利用NCP函數(shù)進(jìn)行求解。譚濤[9]介紹了離散變量優(yōu)化設(shè)計(jì)的連續(xù)化方法。石連拴等[10]提出了離散變量結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)序列定界組合算法。王躍方等[11]研究了多工況下受應(yīng)力和位移約束的離散截面變量桁架結(jié)構(gòu)的布局優(yōu)化問題。Juang等[12]采用修正的離散拉格朗日搜索法解決了桁架結(jié)構(gòu)的離散優(yōu)化問題。Wolkowicz等[13]采用半定規(guī)劃方法來求解離散優(yōu)化問題和矩陣完成問題。此外，Bertsimas等[14]提出了魯棒離散優(yōu)化(RDO)理論，利用整數(shù)規(guī)劃方法考慮了概率邊界，并主要用于求解網(wǎng)絡(luò)流問題。

另一方面，傳統(tǒng)優(yōu)化設(shè)計(jì)的研究通常認(rèn)為問題的參數(shù)(如材料屬性和外載荷等)是確定的，可以精確給出。但在實(shí)際應(yīng)用中參數(shù)的不確定性是無法避免的，如產(chǎn)品制造或者測量時(shí)都可能引入系統(tǒng)誤差和人工誤差。更值得注意的是，某些優(yōu)化問題可能對(duì)參數(shù)的波動(dòng)具有非常高的靈敏度[15]。因而隨著計(jì)算技術(shù)的快速發(fā)展，考慮不確定性的結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)近年來受到越來越多的關(guān)注，相關(guān)數(shù)值優(yōu)化方法大量涌現(xiàn)。一般來說這些方法分為兩類，一類是基于概率模型，另一種則基于非概率模型。由于獲得不確定性參數(shù)的概率分布函數(shù)需要較大的樣本，并且研究發(fā)現(xiàn)概率模型對(duì)其自身的參數(shù)(如均值和方差等)較為敏感，采用非概率模型解決不確定性結(jié)構(gòu)優(yōu)化問題受到了廣泛關(guān)注。

在非概率框架下，不確定參數(shù)通常假定為未知但有界的集合，而無需具體的參數(shù)概率分布信息。魯棒優(yōu)化的研究目標(biāo)之一為在不確定框架下尋找一個(gè)最優(yōu)解，使得不確定性參數(shù)在給定集合中取任何值都能滿足約束條件，也稱為最不利情況的設(shè)計(jì)和優(yōu)化WCDO(Worst Case Design and Optimization)。非概率不確定性優(yōu)化在數(shù)學(xué)規(guī)劃領(lǐng)域的研究開始于Ben-Tal等[16-18]以及El Ghaoui等[19,20]的開創(chuàng)性工作。隨著解決凸優(yōu)化問題的內(nèi)點(diǎn)法(特別是半定規(guī)劃)的快速發(fā)展[21]，已發(fā)展出大量的理論研究成果和技術(shù)工具用來求解凸優(yōu)化問題的魯棒最優(yōu)解。Ben-Tal等[22]系統(tǒng)地研究了魯棒優(yōu)化中的線性規(guī)劃、錐規(guī)劃和半定規(guī)劃問題。Calafiore等[23]發(fā)展了計(jì)算不確定線性方程組的最小定界橢球法。作為不確定性分析的強(qiáng)大工具，區(qū)間代數(shù)通常用于WCDO問題的求解。Chen等[24]提出了區(qū)間優(yōu)化方法用于不確定結(jié)構(gòu)的分析，通過結(jié)合泰勒展開技術(shù)的區(qū)間擴(kuò)充運(yùn)算，導(dǎo)出了一個(gè)確定性問題的列式。近來，Guo等[25]應(yīng)用區(qū)間分析中估算不確定性結(jié)構(gòu)響應(yīng)的界限，進(jìn)而構(gòu)造了魯棒設(shè)計(jì)列式。除了區(qū)間模型外，基于橢球凸模型的魯棒優(yōu)化設(shè)計(jì)問題也受到了學(xué)者們的廣泛關(guān)注[26-29]。

綜上所述，離散優(yōu)化問題和非概率不確定優(yōu)化問題的研究方法存在較大差異。若把其割裂開來，如單純考慮結(jié)構(gòu)不確定性，所得到的最優(yōu)設(shè)計(jì)(如件的橫截面積)將很難找到相匹配的工業(yè)型材，而相近型材對(duì)應(yīng)設(shè)計(jì)的可行性以及魯棒性難以有效保證。而若單純考慮結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)變量的離散性，得到的最優(yōu)設(shè)計(jì)的安全性和魯棒性又是未知的。本文研究發(fā)現(xiàn)若把結(jié)構(gòu)魯棒優(yōu)化的不確定參數(shù)看作未知且有界，則其求解方法和離散優(yōu)化問題的求解方法則具有相似性；進(jìn)而提出了基于結(jié)構(gòu)可置信性魯棒優(yōu)化算法的離散優(yōu)化問題求解新思路，稱為魯棒圓整法，能夠解決同時(shí)考慮參數(shù)不確定性和離散性的結(jié)構(gòu)離散魯棒優(yōu)化問題，保證其最優(yōu)解取離散值且在不確定性的情況下仍然能夠滿足約束條件，從而更好地應(yīng)用于解決工程實(shí)際問題。

2 求解離散優(yōu)化問題的魯棒圓整法

事實(shí)上，魯棒優(yōu)化的基本思想和傳統(tǒng)連續(xù)優(yōu)化圓整法之間存在著內(nèi)在的聯(lián)系。首先如圖1所示，A,B,C和D四點(diǎn)都在連續(xù)最優(yōu)解附近，都可能選為圓整后的離散最優(yōu)解，但是其中最為接近連續(xù)最優(yōu)解的點(diǎn)A卻是違反約束的不可行點(diǎn)(如桁架面積的連續(xù)最優(yōu)解經(jīng)過圓整以后引起了內(nèi)力重分布，對(duì)位移函數(shù)和目標(biāo)函數(shù)都有影響)，圓整解的可行性無法得到理論上的保證。由于工程實(shí)際問題會(huì)盡量避免可行性無法得到保證的最優(yōu)設(shè)計(jì)，而通常允許設(shè)計(jì)值存在一定的安全裕度，因此有必要對(duì)傳統(tǒng)連續(xù)優(yōu)化圓整法做出改進(jìn)，使得經(jīng)過圓整后的最優(yōu)解能夠在理論上自然滿足約束條件。

圖1 傳統(tǒng)連續(xù)優(yōu)化圓整法

為了實(shí)現(xiàn)這一目標(biāo)，可以首先在連續(xù)優(yōu)化階段構(gòu)造魯棒優(yōu)化問題并采用可置信性魯棒優(yōu)化方法得到最優(yōu)解，然后對(duì)該解在其魯棒性允許的區(qū)間內(nèi)進(jìn)行圓整得到離散的最優(yōu)解，本文把這樣的方法稱為魯棒圓整法。

圖2 魯棒圓整法(一)

2.1 離散優(yōu)化問題的等價(jià)魯棒優(yōu)化列式

魯棒圓整法的目的和傳統(tǒng)的連續(xù)優(yōu)化圓整法一樣，都是要求解離散優(yōu)化問題。本文以桁架結(jié)構(gòu)重量極小化問題為例，確定性離散優(yōu)化問題的整數(shù)規(guī)劃列式如下，

(1)

現(xiàn)在構(gòu)造以下魯棒優(yōu)化問題，

(2)

2.2 魯棒優(yōu)化列式的求解

(3)

(4)

不確定區(qū)間是非對(duì)稱的，需要進(jìn)行轉(zhuǎn)換，由于

(-1≤ξi≤1)

令

(5)

(6)

式中ξ=(pT,1)T∈Rnm +1

(7)

(8)

等價(jià)于

(9)

(10)

(11)

其他的結(jié)構(gòu)響應(yīng)約束(如應(yīng)力)可以采用完全類似的方法來處理。

(12)

(13)

基于以上分析和討論，原優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為如下可置信性的單層優(yōu)化列式,

τi≥0 (i=1,…,nm)

(14)

2.3 離散可行解的修正

為求解離散優(yōu)化問題，2.2節(jié)通過可置信性魯棒優(yōu)化以及魯棒圓整找到了一個(gè)能夠自然滿足約束條件的離散可行解X1，X1是魯棒性區(qū)域內(nèi)唯一的離散點(diǎn)，本文對(duì)其最優(yōu)性進(jìn)行討論。

首先對(duì)一階離散局部最優(yōu)解進(jìn)行定義，從魯棒圓整得到的離散可行解X1出發(fā)，每次只改變一個(gè)分量，移動(dòng)到相鄰的離散點(diǎn)處，如圖2和圖3所示，二維問題共有4個(gè)相鄰點(diǎn)，分別是A,B,C和D四點(diǎn)，如果不存在滿足約束且比X1處目標(biāo)函數(shù)更小的離散解，那么就稱X1為一階離散局部最優(yōu)解。

圖3 魯棒圓整法(二)

本文利用相對(duì)靈敏度商的規(guī)則或者相對(duì)差商規(guī)則[6]對(duì)X1進(jìn)行修正，步驟如下。

(1) 首先在橫截面積沒有達(dá)到下限的桿件中，根據(jù)規(guī)則找到第j號(hào)桿件的橫截面積aj，使其下降到相鄰的整數(shù)，即第j號(hào)桿件的橫截面積aj更新為aj-1。

(2) 檢查約束條件是否滿足，如果滿足，跳回步驟(1)繼續(xù)執(zhí)行；否則把a(bǔ)j賦回原值，即把a(bǔ)j+1賦值給aj，得到一階離散局部最優(yōu)解，記為X2。

(3) 對(duì)X2繼續(xù)修正，減少一個(gè)目標(biāo)函數(shù)靈敏度大的桿件面積，同時(shí)增加一個(gè)目標(biāo)函數(shù)靈敏度小的桿件面積，如果滿足約束，那么得到更好的局部最優(yōu)解X3；否則采用步驟(2)得到的局部離散最優(yōu)解X2。

由于步驟(2)所得的最優(yōu)解X2已經(jīng)達(dá)到了一階局部最優(yōu)性，步驟(3)將得到滿足更高階精度的局部最優(yōu)解，如圖2的點(diǎn)E。一般來說一階離散局部最優(yōu)解能夠滿足實(shí)際需要，為了節(jié)省計(jì)算量，在本文算例中只追求一階離散局部最優(yōu)解X2。

現(xiàn)對(duì)上述改進(jìn)方法的步驟(1)需要滿足的規(guī)則進(jìn)行詳細(xì)闡述，本文有兩種下降規(guī)則，第一種是需要提供當(dāng)前點(diǎn)的解析靈敏度，稱為相對(duì)靈敏度商規(guī)則；第二種是需要計(jì)算相鄰兩步之間的差分值，稱為相對(duì)差商規(guī)則。采用兩種規(guī)則所得到的最優(yōu)解一般是不同的(但通常很接近)，本文可以選取其中較好的一組作為離散最優(yōu)解。

首先介紹相對(duì)靈敏度商規(guī)則。假設(shè)第i號(hào)桿件的面積ai發(fā)生改變，目標(biāo)函數(shù)的靈敏度可以寫為

?W/?ai=ρili

(15)

約束函數(shù)的靈敏度可以寫為

(16)

(1) 在全部nm根桿件中，如果存在第j號(hào)桿件，使得約束函數(shù)的靈敏度?g/?aj≥0，那么選取第j號(hào)桿件的面積aj變?yōu)閍j-1。事實(shí)上X1的分量中，滿足這樣條件的aj很可能已經(jīng)達(dá)到下限。若不存在則轉(zhuǎn)向下一步。

(2) 全部nm根桿件中，?g/?ai<0 (i=1,…,nm)，本文知道選取使目標(biāo)函數(shù)下降較快，而約束函數(shù)上升較慢的桿件來調(diào)整比較有利，所以定義參數(shù)

(17)

找出其中的最大值βj≥βi(i=1,…,nm)，對(duì)應(yīng)的桿件j，面積aj變?yōu)閍j-1。

相對(duì)差商規(guī)則和相對(duì)靈敏度商規(guī)則比較類似，假設(shè)第i號(hào)桿件的面積ai發(fā)生改變，目標(biāo)函數(shù)的差分方程可以寫為

(18)

約束函數(shù)的差分方程可以寫為

(19)

(1) 在全部nm根桿件中，如果存在第j號(hào)桿件，使得約束函數(shù)的差分敏度Δg/Δaj≥0，那么選取第j號(hào)桿件的面積aj變?yōu)閍j-1。事實(shí)上X1的分量中，滿足這樣條件的aj很可能已經(jīng)達(dá)到下限。若不存在則轉(zhuǎn)向下一步。

(2) 全部nm根桿件中，Δg/Δai<0(i=1,…,nm)，由于選取使目標(biāo)函數(shù)下降較快而約束函數(shù)上升較慢的桿件來調(diào)整比較有利，所以定義參數(shù)

(20)

找出其中最大值βj≥βi(i=1,…,nm)，對(duì)應(yīng)的桿件j，面積aj變?yōu)閍j-1。

值得注意的是相對(duì)靈敏度商規(guī)則的使用有一個(gè)前提，即當(dāng)前點(diǎn)和將要移動(dòng)到的點(diǎn)兩者的約束靈敏度符號(hào)必須一致，郭旭等[30]已經(jīng)證明了在桁架結(jié)構(gòu)中存在這種單調(diào)性特征，所以使用相對(duì)靈敏度商規(guī)則也是有理論依據(jù)的。

2.4 魯棒圓整法求解離散優(yōu)化問題的流程

本文給出了離散優(yōu)化問題的魯棒圓整法流程，如圖4所示。

圖4 魯棒圓整法流程

2.5 魯棒圓整法求解離散優(yōu)化問題的數(shù)值算例

本節(jié)通過2個(gè)桁架結(jié)構(gòu)重量極小化問題說明魯棒圓整法的有效性。所有桿件的彈性模量是 100 GPa，密度為10 g/cm3，橫截面積初始值為1 cm2。

算例129桿桁架結(jié)構(gòu)

圖5 29桿桁架

圖6 29桿離散結(jié)構(gòu)優(yōu)化問題目標(biāo)函數(shù)的魯棒圓整法迭代曲線

算例251桿桁架結(jié)構(gòu)

如圖7所示的51桿桁架結(jié)構(gòu)，所有桿件的橫截面積只能在[3,100]取整數(shù)值。外載荷向量f=(10,0)TkN作用在3,5,7,9,11號(hào)節(jié)點(diǎn)上。約束為13號(hào)桿件的水平方向位移u13x不大于1 cm。表2列出了魯棒圓整法和傳統(tǒng)連續(xù)優(yōu)化圓整法所得的最優(yōu)橫截面積及結(jié)構(gòu)重量等的比較。由表2可知，魯棒圓整得到的離散解X1滿足約束條件，一階離散局部最優(yōu)解X2非常接近于連續(xù)優(yōu)化的最優(yōu)解，而傳統(tǒng)連續(xù)優(yōu)化圓整(四舍五入)后并不滿足約束條件。

圖7 51桿桁架結(jié)構(gòu)

表2 魯棒圓整法和傳統(tǒng)連續(xù)優(yōu)化圓整法最優(yōu)解的比較(單位：cm2)

3 魯棒圓整法求解剛度不確定的

離散魯棒優(yōu)化問題

剛度不確定的魯棒優(yōu)化問題可以使用單層的NLSDP方法[25]求解，但所得到的最優(yōu)桿件橫截面積仍然在正數(shù)范圍內(nèi)取連續(xù)值，而實(shí)際桿件橫截面積的取值通常是一個(gè)離散數(shù)的集合。這就需要把考慮參數(shù)的不確定性和設(shè)計(jì)變量的離散性相結(jié)合，發(fā)展求解魯棒問題可置信性離散最優(yōu)解的方法。本文分兩個(gè)小節(jié)分別介紹使用魯棒圓整法求解離散魯棒優(yōu)化問題的數(shù)學(xué)模型和離散可行解的修正方法，最后通過數(shù)值算例證明方法的可靠性。

3.1 離散魯棒優(yōu)化問題的模型和求解

以剛度不確定的桁架結(jié)構(gòu)重量極小化問題為例，假設(shè)橫截面積為正整數(shù)，本文首先給出離散魯棒優(yōu)化的數(shù)學(xué)規(guī)劃列式，

(21)

本文考慮兩種剛度不確定性刻畫方法,

(22)

魯棒圓整法需要求解的魯棒優(yōu)化問題就是采用這種不確定性模型。

(23)

(24)

(25)

3.2 離散魯棒優(yōu)化問題離散魯棒可行解的修正

如2.3節(jié)所述，本文可以利用相對(duì)靈敏度商的規(guī)則對(duì)離散魯棒可行解X1進(jìn)行修正，步驟如下。

(1) 首先在橫截面積未達(dá)到下限的桿件中，根據(jù)規(guī)則將第j號(hào)桿件的橫截面積aj更新為aj-1。

(2) 檢查約束條件是否滿足。如果滿足，跳回步驟(1)繼續(xù)執(zhí)行；否則把a(bǔ)j賦回原值，即把a(bǔ)j+1賦值給aj，得到滿足魯棒性約束條件的一階離散局部最優(yōu)解X2。

與離散優(yōu)化問題的區(qū)別是，離散魯棒優(yōu)化問題每次判斷最優(yōu)解是否滿足約束時(shí)，都要進(jìn)行魯棒問題的結(jié)構(gòu)極值響應(yīng)分析，本文可以采用郭旭等[30]提出的精確結(jié)構(gòu)極值響應(yīng)方法，或者基于靈敏度定界的結(jié)構(gòu)極值響應(yīng)方法[31]求得位移極值，這樣就可以檢查每一步設(shè)計(jì)變量改變后能否滿足約束條件。

但不確定問題的精確位移極值響應(yīng)的求解過程比確定性問題位移的求解要復(fù)雜很多，計(jì)算量很大。若在中間過程使用快速的近似算法替代，直到繼續(xù)改進(jìn)離散解會(huì)違反約束時(shí)，再采用精確的結(jié)構(gòu)位移極值響應(yīng)分析方法進(jìn)行嚴(yán)格檢驗(yàn)，則可避免在迭代中頻繁使用全局最優(yōu)化算法，從而提高整體計(jì)算效率。

(26)

除了較為精確，單調(diào)性方法的另一個(gè)好處是在每一步迭代中幾乎不增加任何計(jì)算量，因?yàn)樵诓捎孟鄬?duì)靈敏度商規(guī)則判斷下降方向的時(shí)候，已經(jīng)進(jìn)行過靈敏度分析。

圖8 離散魯棒優(yōu)化問題收斂過程(一)

圖9 離散魯棒優(yōu)化問題收斂過程(二)

3.3 離散魯棒優(yōu)化問題的數(shù)值算例

算例329桿桁架結(jié)構(gòu)

圖10 29桿離散魯棒優(yōu)化問題目標(biāo)函數(shù)的迭代曲線

表3 離散魯棒優(yōu)化和連續(xù)魯棒優(yōu)化最優(yōu)解的比較(單位：cm2)

算例451桿桁架結(jié)構(gòu)

如圖7所示的51桿桁架，規(guī)定所有桿件的橫截面積為[3,100]的整數(shù)值。外載荷和約束條件等與算例2相同。表4列出了離散魯棒優(yōu)化和連續(xù)魯棒優(yōu)化所得的最優(yōu)橫截面積及結(jié)構(gòu)重量等的比較。由表4可知，離散魯棒優(yōu)化得到的最優(yōu)解能夠滿足魯棒性約束條件，且與連續(xù)魯棒優(yōu)化最優(yōu)解的目標(biāo)函數(shù)非常接近，保證了其最優(yōu)性。

表4 離散魯棒優(yōu)化和連續(xù)魯棒優(yōu)化最優(yōu)解的比較(單位：cm2)

4 結(jié) 論

本文提出了與離散優(yōu)化列式等價(jià)的魯棒優(yōu)化列式，并證明了兩者的等價(jià)性。把可置信性魯棒結(jié)構(gòu)優(yōu)化思想應(yīng)用到離散優(yōu)化中，提出了用于解決離散優(yōu)化問題的魯棒圓整法，并進(jìn)一步拓展到考慮剛度不確定性的離散魯棒優(yōu)化中。魯棒圓整法首先通過可置信性單層NLSDP算法求解所構(gòu)造的魯棒優(yōu)化問題得到連續(xù)最優(yōu)解，然后在魯棒性區(qū)域內(nèi)進(jìn)行圓整得到可理論上保證滿足約束條件的離散解，最后利用相對(duì)差商規(guī)則或者相對(duì)靈敏度商規(guī)則進(jìn)行修正，得到一階離散局部最優(yōu)解。相對(duì)于傳統(tǒng)的連續(xù)優(yōu)化圓整法來說，本文提出的魯棒圓整法的優(yōu)勢是能夠嚴(yán)格保證離散解的可行性。此外，本文提出的結(jié)構(gòu)可置信性離散魯棒優(yōu)化方法在計(jì)算耗費(fèi)上和連續(xù)魯棒優(yōu)化相似，因而具有較大的應(yīng)用價(jià)值。

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