基于改進BESO方法的多工況船體開孔孔形優(yōu)化

劉 昆，郭德松，王仁華，張延昌

(江蘇科技大學 a.船舶與海洋工程學院；b.土木工程與建筑學院，江蘇 鎮(zhèn)江 212003)

0 引 言

在船體結構設計和建造過程中需要開設人孔、減輕孔、工藝孔等，開孔的存在會導致孔邊應力增加，甚至產生應力集中。此外，隨著結構輕量化要求的提高及船舶大型化發(fā)展趨勢，傳統(tǒng)開孔設計已無法完全滿足當今船體結構的設計要求。同時，船舶典型設計工況較多，需考慮船體結構開孔在多工況下的綜合優(yōu)化設計，提高船體結構材料利用率，有效降低船舶結構重量。

拓撲優(yōu)化設計是結構優(yōu)化的一種，根據給定的負載情況、約束條件和性能指標，在給定的區(qū)域內對材料分布進行優(yōu)化，從而設計出經濟、安全的結構模型。雙向漸進結構優(yōu)化(Bidirectional Evolutionary Structural Optimization，BESO)算法已經成為非常成熟的連續(xù)體拓撲優(yōu)化方法，其算法通用性好、優(yōu)化效率高，可應用于船體開孔拓撲優(yōu)化。

在BESO算法理論研究方面成果顯著。XIE等[1]提出漸進結構優(yōu)化(Evolutionary Structural Optimization，ESO)方法，QUERIN等[2-4]和YOUNG等[5]提出BESO方法，該方法解決了ESO方法只能單向刪除單元的缺點，還可在高應力區(qū)增加單元。榮見華等[6]提出一種基于應力及其靈敏度的BESO方法，解決了優(yōu)化過程中的震蕩狀態(tài)。

拓撲優(yōu)化已被廣泛應用于船舶結構設計領域。劉宏亮等[7]將單元生長進化算法結合變密度(Solid Isotropic Microstructures/Material with Penalization，SIMP)材料理論模型和有限元方程對大型油船(Very Large Crude Carrier，VLCC)中剖面橫撐結構進行優(yōu)化設計，得到一種VLCC輕量化的設計方案。王興[8]提出一種改進的適用于開孔板的BESO算法，在ANSYS有限元軟件中基于APDL語言編寫優(yōu)化程序，并對不同孔形的開孔薄板進行優(yōu)化計算，結果顯示拓撲優(yōu)化可進行孔形優(yōu)化計算。邱偉強等[9]對單縱艙壁型VLCC進行拓撲優(yōu)化，建立油船艙段拓撲優(yōu)化基結構，分別根據SIMP法和BESO法，以船體結構質量最輕為優(yōu)化目標，結合CSR-H規(guī)范載荷條件和邊界條件，得到油船艙段主要支撐結構下拓撲優(yōu)化的清晰構型。盡管結構拓撲優(yōu)化技術在船舶設計領域的應用已逐漸引起關注，但在船體板材開孔的拓撲優(yōu)化方面還鮮有研究，因此，借助拓撲優(yōu)化方法對船體板進行開孔優(yōu)化。以船體梁腹板開孔為研究對象，引進含滿意度權重因子的折中規(guī)劃法，對傳統(tǒng)BESO方法進行改進，提出一種適用于多工況船體結構孔形優(yōu)化的BESO方法。

1 傳統(tǒng)BESO方法

BESO方法是QUERIN借鑒滿應力思想將ESO與AESO(Additive Evolutionary Structural Optimization)兩種優(yōu)化方法的優(yōu)點相結合得到的，不僅能刪除低效和無效的單元，而且能在高應力區(qū)增加單元，從而尋求結構最優(yōu)解[4]。BESO方法解決了ESO方法只能單向刪除單元的缺點，可在較少的優(yōu)化區(qū)域內快速地優(yōu)化出最佳構型。

基于應力的BESO方法的實現(xiàn)原理是在低應力區(qū)有層次地刪除低應力單元，對于高應力區(qū)可在其周圍添加單元以降低單元應力。通過引入單元添加率RI、單元刪除率RR、穩(wěn)態(tài)數NSS和振蕩數NON確定每次迭代計算時單元的刪除或添加情況[10]。

BESO方法優(yōu)化得到的材料結構可更均勻地承擔載荷，使材料結構中所有的單元應力更均衡。最大von Mises應力(第四強度理論)是常用的優(yōu)化準則之一。

二維平面結構的von Mises應力為

(1)

三維立體結構的von Mises應力為

(2)

式中：σx、σy、σz分別為x、y、z方向的正應力；τxy、τyz、τzx分別為不同方向的剪應力。

對結構單元應力σe,vm和整體結構最大應力σmax,vm進行商運算：若兩者比值小于當前的單元刪除率RR，則表明這類單元屬于低應力單元，需要進行刪除；若其比值大于當前的單元添加率RI，則表明這類單元屬于高應力單元，其周圍需要添加單元；若其比值處于RR與RI之間，則這類單元需要保留[10-11]。

2 改進BESO方法

傳統(tǒng)的BESO方法在全局范圍內尋求最優(yōu)布局，無法只對開孔進行優(yōu)化，需要進行改進以應用于船體結構孔形優(yōu)化設計。將體積減輕比作為優(yōu)化目標、孔邊應力作為約束，基于含滿意度權重因子的折中規(guī)劃法，對傳統(tǒng)的BESO方法進行一定的改進，以實現(xiàn)多工況船體開孔的孔形優(yōu)化。

2.1 含滿意度因子的折中規(guī)劃法

2.1.1 折中規(guī)劃法

解決多目標優(yōu)化問題較常用的方法是線性加權法，這種方法在實際操作中較易實現(xiàn)，但在求解非凸優(yōu)化問題時無法得到所有最精確的解。在構建多目標函數的方法中，折中規(guī)劃法應用范圍較廣，可將多目標優(yōu)化問題轉換為單個數值的目標函數，然后把多目標優(yōu)化問題的解轉化為與每個目標函數的理想解距離最小的矢量，即把多目標優(yōu)化問題轉化為單目標優(yōu)化問題[12]。

基于應力優(yōu)化準則對折中規(guī)劃法進行改進，基本原理為將多個工況的子目標函數轉換為單目標函數，對每個工況下的單元應力進行歸一化處理，使單元應力在0～1變化，然后對各工況下的單元應力進行合并，得到所有工況耦合后的單元應力。此方法可使優(yōu)化后的結構明顯減輕載荷的“病態(tài)”現(xiàn)象[13]。改進的數學模型為

(3)

2.1.2 滿意度理論

折中規(guī)劃法的不足在于設計者需要根據經驗確定各目標所占比例的權重因子，此權重因子為靜態(tài)值，不能精確地表示優(yōu)化迭代的動態(tài)過程。將滿意度理論與折中規(guī)劃法相結合以控制權重因子wi，應用到BESO優(yōu)化算法中使權重因子根據滿意度的變化進行動態(tài)調整。

定義滿意度因子q來衡量對優(yōu)化過程的滿意程度。q=1表示優(yōu)化結果滿意度最高；q=0表示優(yōu)化結果滿意度最低；當q為0～1的實數時，表示優(yōu)化結果的滿意度處于兩者之間。滿意度因子qk為

(4)

式中：Ck為目標函數值；Ck,n為第k個優(yōu)化目標的最差值；Ck,m為第k個優(yōu)化目標的最理想值。

滿意度權重因子wk的表達式為

(5)

控制滿意度權重因子能夠改善權重對優(yōu)化迭代過程的影響，從而使各優(yōu)化目標達到相對平衡。

同理，基于應力優(yōu)化準則，將孔邊單元約束應力設置為式(4)中的最理想值，第k個工況下孔邊單元最小應力設置為最差值，第k個工況下的單元應力設置為優(yōu)化迭代值，則改進后的滿意度因子為

(6)

式中：F為第k個工況下單元應力；FE,min為第k個工況下最小孔邊應力；FY為第k個工況下孔邊約束應力。

BESO方法不僅可刪除單元，而且在應力大的單元周圍需要添加單元，因此為更好地判斷單元應力大小，改進后的滿意度權重因子wk與滿意度qk呈正相關關系。當迭代應力接近約束應力時，滿意度qk相應增大，表明此單元應力大，可能屬于高應力，需要在單元周圍添加單元，單元滿意度權重因子wk則相應增大；反之，當迭代應力接近孔邊最小應力時，滿意度qk相應減小，表明此單元應力小，可能屬于低應力，需要刪除單元，單元滿意度權重因子wk則相應減小。改進后的wk為

(7)

2.2 傳統(tǒng)BESO方法的改進措施

(1)將體積減輕比作為優(yōu)化目標，孔邊應力作為約束。體積減輕比V公式為

(8)

式中：Vf為每次優(yōu)化迭代結束時的設計域體積；Vi為初始設計域體積。

(2)改進單元刪除和添加的公式，兩者為刪除添加單元的判據。

(9)

式中：Fi為由式(3)得到的應力；Ft為應力閥值，其取值由實際優(yōu)化要求決定。單元刪除率RR和單元添加率RI計算式為

他目前最憧憬的事，就是到了50歲，還能有充足的熱血開著越野吉普上路，彼時兒子19歲，可以拿到駕照陪他走這兄弟般的長途了，他將帶著他，到那些鏡頭里的故事的發(fā)生地去，追溯父輩的青春。

RR=r0+r1NSS+aRRNON

(10)

RI=i0-i1NSS+aRINON

(11)

式中：r0、r1、i0、i1為常數，根據實際優(yōu)化要求決定取值；aRR和aRI為振蕩常數，同樣根據實際的優(yōu)化要求決定取值；NSS為穩(wěn)態(tài)數；NON為振蕩數。

2.3 改進BESO方法的實現(xiàn)步驟

根據第2.2節(jié)，首先設置模型結構參數特別是設計域的網格尺寸，對模型結構進行計算分析，然后根據含有滿意度因子的折中規(guī)劃法，得到優(yōu)化過程中的動態(tài)權重系數及式(3)中的應力，最后對孔邊單元進行分析，判斷單元是否刪除或者添加。改進后的BESO方法的流程圖如圖1所示。

圖1 改進BESO優(yōu)化算法的流程圖

3 算例驗證與分析

通過ANSYS二次開發(fā)語言APDL進行編程，選取某船體梁腹板開孔結構，運用子模型技術得到優(yōu)化域，通過改進BESO方法對開孔進行孔形優(yōu)化，以檢驗改進后BESO方法的可靠性。

3.1 分析對象及有限元模型

如圖2所示，船體梁結構梁長為4 680 mm，腹板高為380 mm，上翼緣寬為780 mm，下翼緣寬為160 mm。腹板的橢圓開孔長為760 mm，寬為190 mm，兩端圓弧直徑為190 mm。結構的有限元模型如圖3所示，模型網格尺寸如下：非開孔區(qū)為80 mm，過渡區(qū)為40 mm，開孔區(qū)為10 mm，板厚為20 mm。材料為船用高強度鋼，密度為7 850 kg/m3，彈性模量為206 GPa，泊松比為0.3。

單位：mm圖2 開孔梁幾何模型

圖3 開孔梁有限元模型

3.2 約束載荷

船體梁結構的約束以及載荷如下：梁兩端為固定約束，載荷工況1為均布面載荷1 N/mm2作用于開孔梁的上翼緣面板，工況2為均布面載荷1 N/mm2作用于開孔梁的下翼緣面板。

3.3 子模型方法

子模型方法又稱切割邊界位移法或特定邊界位移法。切割邊界就是將子模型從整個較粗糙模型分割開的邊界。整體模型切割邊界的計算位移即為子模型的邊界條件。子模型基于圣維南原理，即如果實際分布載荷被等效載荷代替后，應力和應變只在載荷施加位置附近有改變。這說明只有在載荷集中位置才有應力集中效應，若子模型的位置遠離應力集中位置，則在子模型內就可得到較精確的結果[14]。

在此船體梁結構中，開孔區(qū)域上下邊界存在面板，左右邊界有肘板，因此只需考慮腹板開孔周圍區(qū)域。通過子模型技術，將船體梁結構進行切割，得到所需的子模型。圖4為工況1下局部放大模型開孔附近區(qū)域的應力分布與子模型技術分析得到的開孔附近區(qū)域的應力分布，將兩者進行對比，子模型中應力分布與局部放大模型的應力狀態(tài)完全吻合。因此，開孔子模型技術可代替整體模型分析，準確地模擬孔邊應力分布情況。

圖4 局部放大結構與子模型對比(工況1)

3.4 結果比較

3.4.1 優(yōu)化過程及結果分析

圖5為子模型結構的優(yōu)化迭代進程。由圖5可知，隨著優(yōu)化迭代的進行，開孔面積不斷增大，孔形從腰圓孔變成了近似倒扣碗形，在37次優(yōu)化迭代后，優(yōu)化目標體積減輕比達30.01%，并且單元最大應力沒有超過應力約束(550 MPa)，說明開孔結構達到所設定的優(yōu)化條件的最佳構型。同時在優(yōu)化過程中沒有出現(xiàn)棋盤格現(xiàn)象，這就表明改進的單元刪除、添加公式可靠。

圖5 優(yōu)化過程中的拓撲變化

根據優(yōu)化結果，對優(yōu)化前后的結構孔形進行對比，由圖6可知，優(yōu)化后的孔形體積明顯增大，在優(yōu)化歷程中腰圓底部邊界單元不斷被激活以彌補較弱的下翼緣，使得開孔下邊界成為一條水平邊界，而上部邊界及兩側單元由于應力較低被逐漸刪除，開孔形狀由原來的腰圓形變成了近似倒扣碗形。

圖6 優(yōu)化前后孔形對比

圖7為優(yōu)化前后設計域單元應力云圖：在孔形優(yōu)化前，最大應力集中在開孔的下邊界至設計域的下翼緣，這一區(qū)域的應力接近應力云圖的最大值，表明開孔的存在導致應力集中現(xiàn)象產生；在孔形優(yōu)化后，開孔的邊界單元沒有出現(xiàn)大片區(qū)域的應力接近應力云圖的最大值，只有個別單元的應力接近最大值，說明優(yōu)化后的孔形并不存在應力集中現(xiàn)象，而且單元應力分布更均勻、合理。

圖7 優(yōu)化前后設計域單元應力云圖

表1為優(yōu)化前后兩工況孔邊應力對比：在工況1載荷下，孔邊最大應力由438.18 MPa降至407.73 MPa，最小應力由18.82 MPa升至34.01 MPa，孔邊最大應力降低且最大與最小應力間的差值減??；在工況2載荷下，最大應力由90.01 MPa升至143.42 MPa，2個工況最大應力之間的差值縮小，使應力分布更均勻，最小應力的變化可忽略不計。

表1 優(yōu)化前后兩工況孔邊單元應力對比 MPa

3.4.2 孔邊應力及體積分析

圖8為2個工況下孔邊最大應力變化圖與體積減輕比變化圖。由圖8可知，在優(yōu)化過程中：工況1的孔邊最大應力不斷變化，呈現(xiàn)波動趨勢，但是最終的孔邊最大應力小于初始結構的最大應力，并且沒有超出應力約束；工況2的孔邊最大應力呈現(xiàn)上升的趨勢，與初始相比更接近約束應力；體積減輕比隨迭代次數的增加不斷上升，表明優(yōu)化減重效果明顯。

圖8 孔邊最大應力與體積減輕比變化曲線

圖9為優(yōu)化前后2個工況的孔邊應力變化對比圖：優(yōu)化后孔邊單元應力曲線橫軸為以圖6中A點為起始點，順時針繞孔邊一周的單元所對應的角度；初始孔邊單元應力曲線橫軸為以圖6中B點為起始點，順時針繞孔邊一周的單元所對應的角度。工況1，優(yōu)化后孔邊單元被刪除，開孔邊界不光順，導致優(yōu)化后的孔邊應力波動較大，與優(yōu)化前相比孔邊應力變化趨勢不明顯，但是優(yōu)化后的孔邊大多數單元應力處于100～300 MPa，少數超出300 MPa，優(yōu)化后的孔邊最大應力變小，最小應力變大，說明在此工況下，優(yōu)化后的孔邊應力相互靠近，單元應力差值減小，應力集中現(xiàn)象得到了緩解。工況2，由于初始應力值小，最大應力僅為90 MPa，與應力約束值(550 MPa)差距較大，因此在優(yōu)化過程中低應力區(qū)的單元被刪除較多，優(yōu)化后整體應力較初始應力有所提高，優(yōu)化后孔邊應力處于0～150 MPa，不存在應力集中現(xiàn)象，表明結構材料利用率提升。

圖9 優(yōu)化前后孔邊應力對比

由此，在船體梁腹板結構減輕30.01%重量的情況下，改進后的BESO方法可有效地緩解孔邊應力集中現(xiàn)象，提升船體結構材料利用率，并且提高結構性能，達到輕量化的目標。

4 結 論

在傳統(tǒng)的BESO方法基礎上提出一種適用于多工況船體開孔孔形優(yōu)化的改進BESO方法。以船體梁腹板開孔結構為研究對象進行優(yōu)化，得到新式孔形，達到了輕量化的目的，并得出如下結論：

(1)建立含有滿意度因子的折中規(guī)劃法的多工況結構數學模型，通過算例證明該模型可為多工況優(yōu)化問題提供動態(tài)權重系數，將多工況單元應力進行耦合，有效解決多工況船體結構優(yōu)化問題。

(2)船體梁腹板開孔經過拓撲優(yōu)化得到的新式孔形，在結構體積減小的前提下，緩解應力集中現(xiàn)象，提高船體結構材料利用率，體現(xiàn)了改進的BESO方法在孔形優(yōu)化方面的有效性。

(3)改進后的BESO方法，改進了單元刪除率與添加率公式，以體積減輕比作為優(yōu)化目標，將孔邊應力作為約束，可以在結構體積減小的情況下提高力學性能，達到輕量化的目的。

(4)采用改進BESO優(yōu)化方法可得到在設定條件下的船體梁結構腹板開孔的最佳孔形，為船舶建造設計工程實際提供理論和技術支撐。