基于高斯混合模型的列車隨機(jī)振動(dòng)加速度響應(yīng)最大值分布統(tǒng)計(jì)分析

蒲珍華，吳夢(mèng)雪，唐德發(fā)，朱金，李永樂(lè)

(1.西南石油大學(xué) 土木工程與測(cè)繪學(xué)院，成都 610500；2.西南交通大學(xué) 土木工程學(xué)院，成都 610031)

1.1 列車多體動(dòng)力學(xué)模型

表1 列車模型主要參數(shù)表

圖1 列車多體動(dòng)力學(xué)模型

1.2 軌道不平順數(shù)值模擬

基于中國(guó)高速鐵路總體技術(shù)條件，建議對(duì)列車進(jìn)行平穩(wěn)性分析時(shí)使用德國(guó)高速線路軌道譜[14]，且高速鐵路試驗(yàn)段軌道譜的高低不平順在30 m波長(zhǎng)以上的平順性基本與德國(guó)高速低干擾譜接近[15]。因此，選用德國(guó)高速低干擾譜，采用三角級(jí)數(shù)法對(duì)軌道不平順序列進(jìn)行模擬。在假設(shè)軌道不平順為平穩(wěn)遍歷的高斯白噪聲的前提下，軌道不平順可看作是不同三角級(jí)數(shù)的疊加，可通過(guò)式(1)得到。

(1)

式中：f(x)為模擬得到的軌道不平順序列；S(ωk)為功率譜密度函數(shù)，垂向不平順單位為m2/rad/m，水平不平順單位為1/rad/m；ωk為軌道不平順的空間頻率，rad/m；φk為第k個(gè)頻率的相位，是獨(dú)立均布于0～2π的隨機(jī)數(shù)。

用三角級(jí)數(shù)法模擬得到的軌道不平順功率譜密度(Power spectral density，PSD)與目標(biāo)譜的吻合情況如圖2所示，由圖2可知，模擬的功率譜與目標(biāo)譜吻合較好。

圖2 軌道垂向不平順模擬譜與目標(biāo)譜的對(duì)比

1.3 列車加速度響應(yīng)樣本

以隨機(jī)軌道不平順作為輸入激勵(lì)，得到列車以200 km/h速度行駛時(shí)的加速度響應(yīng)時(shí)程曲線，如圖3所示。列車加速度測(cè)點(diǎn)位置根據(jù)《鐵道車輛動(dòng)力學(xué)性能評(píng)定和實(shí)驗(yàn)鑒定規(guī)范》(GB 5599—1985)規(guī)定設(shè)定于轉(zhuǎn)向架中心上方橫向1 m的車體地板上。

圖3 軌道不平順激勵(lì)作用下的列車加速度響應(yīng)

2 高斯混合模型

高斯混合模型廣泛應(yīng)用于統(tǒng)計(jì)分析領(lǐng)域[16]，其作為一種統(tǒng)計(jì)模型，多用于構(gòu)建概率密度函數(shù)，能較好地刻畫參數(shù)空間中數(shù)據(jù)的分布及其特征，既具有非參數(shù)化方法的靈活性，又保持了參數(shù)化方法的精確性。高斯混合模型采用有限個(gè)特定概率分布密度函數(shù)的加權(quán)組合來(lái)擬合復(fù)雜的概率分布模型，通過(guò)選擇混合分量的類型和個(gè)數(shù)，可逼近任何連續(xù)的概率分布密度函數(shù)。高斯混合模型(GMM)由高斯(正態(tài))分布的加權(quán)組合得到，其概率密度函數(shù)為

(2)

高斯混合模型可以逼近任何連續(xù)的概率分布函數(shù)，選擇合適的權(quán)重系數(shù)是得出模型類型數(shù)量與模型參數(shù)的關(guān)鍵。高斯混合模型是一種“軟分類聚類”，是基于假設(shè)數(shù)據(jù)集是由一個(gè)潛在的混合概率分布產(chǎn)生的，其中每個(gè)高斯分量都表示一個(gè)不同的聚類。首先通過(guò)估計(jì)樣本數(shù)據(jù)集的混合概率密度，然后計(jì)算樣本源中單個(gè)樣本之于各個(gè)高斯分量的后驗(yàn)概率，最后將單個(gè)樣本分配到后驗(yàn)概率最大的高斯分量所在的聚類組，從而得到樣本數(shù)據(jù)集所服從的高斯混合分布[18]。

2.1 參數(shù)估計(jì)

高斯混合模型(GMM)的期望為

(3)

式中：πk為隨機(jī)變量x取至第k個(gè)高斯成分的權(quán)重系數(shù)；N(xi;μk;∑k)為第k個(gè)類別的條件概率密度；μk、∑k分別為該高斯分量的均值和協(xié)方差矩陣。

對(duì)于高斯混合模型的參數(shù)，可用期望最大化(EM)算法進(jìn)行迭代估計(jì)[19]。估計(jì)步驟為

1)E步

(4)

2)M步

(5)

(6)

(7)

3)收斂條件

不斷迭代E步與M步，至似然函數(shù)的變化量小于誤差值esp或迭代次數(shù)k≤K時(shí)，迭代結(jié)束，否則返回E步。隨著迭代次數(shù)的增加，迭代誤差越來(lái)越小，似然函數(shù)不斷收斂?？山邮艿牡`差esp=2×10-16，最大迭代次數(shù)K=500。似然函數(shù)為

(8)

綜上所述，EM是一種迭代算法，也是一種聚類算法，它可以通過(guò)迭代求出高斯混合模型的參數(shù)，并將樣本源中的單個(gè)樣本通過(guò)迭代收斂性進(jìn)行聚類。高斯混合模型聚類通常采用貝葉斯信息準(zhǔn)則(BIC)選擇模型，模型的BIC值越大，該模型就越符合實(shí)際。

2.2 擬合度檢驗(yàn)

假設(shè)列車振動(dòng)加速度響應(yīng)的最大值服從高斯混合分布，采用期望最大化算法對(duì)該概率模型參數(shù)進(jìn)行最大似然估計(jì)，再進(jìn)行擬合度檢驗(yàn)。

為了對(duì)比得到的高斯混合模型概率密度函數(shù)與由列車加速度響應(yīng)最大值的樣本序列得到的頻率直方圖的擬合效果，采用擬合優(yōu)度(AdjustedR2)與均方根誤差(Root Mean Squared Error，RMSE)兩項(xiàng)指標(biāo)來(lái)對(duì)概率密度分布曲線的擬合優(yōu)劣程度進(jìn)行評(píng)價(jià)。擬合優(yōu)度用于評(píng)價(jià)概率密度分布曲線與直方圖之間的相似程度，該值越接近于1，表示擬合程度越好；均方根誤差用于評(píng)價(jià)概率密度分布曲線與直方圖之間的偏離程度，該值越接近于0，表示偏離程度越小，擬合程度越好。

2.3 樣本量

樣本量是指從總體中抽取的樣本元素的總個(gè)數(shù)，樣本量的大小是選擇檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的一個(gè)重要要素。由抽樣分布理論可知，在大樣本條件下，如果總體為正態(tài)分布，則樣本統(tǒng)計(jì)量服從正態(tài)分布；如果總體為非正態(tài)分布，則樣本統(tǒng)計(jì)量漸近地服從正態(tài)分布[20]。

樣本量的計(jì)算公式為

(9)

式中：n為樣本量；α為顯著水平；Zα/2為置信區(qū)間對(duì)應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)；E為估計(jì)誤差，一般小于0.1；σ為標(biāo)準(zhǔn)差，一般為0.5。

在確定樣本量時(shí)，取α為0.05，則置信度為95%，經(jīng)查表，Zα/2為1.96；假定的估計(jì)誤差為0.05，則最小樣本量為n=384。在滿足樣本最小容量的情況下，增加樣本量有助于增加檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)的精度，提高可靠性。

3 列車加速度響應(yīng)最大值的概率模型

基于Monte-Carlo方法，分別取400、500、600、700、800、900和1 000個(gè)隨機(jī)生成的軌道不平順樣本，計(jì)算得到列車的加速度響應(yīng)時(shí)程樣本，并將列車豎向和橫向加速度響應(yīng)的最大值作為隨機(jī)變量，采用EM算法進(jìn)行聚類分析，比較聚類為1～4類的BIC值，并選擇BIC值最大的一組參數(shù)，得出某個(gè)確定樣本容量下列車加速度響應(yīng)最大值所服從的高斯混合模型。接著，對(duì)比不同樣本容量下列車加速度響應(yīng)最大值的高斯混合模型與其相應(yīng)頻率分布直方圖的擬合優(yōu)度及均方根誤差，從中選取合適的高斯混合模型概率密度函數(shù)(對(duì)應(yīng)的樣本容量記為Nrep)作為代表該車速下列車加速度響應(yīng)最大值的概率密度模型，此時(shí)的樣本容量Nrep作為代表該車速下列車加速度響應(yīng)最大值概率統(tǒng)計(jì)特征的最優(yōu)樣本數(shù)量。

3.1 列車豎向加速度

當(dāng)列車以200 km/h車速行駛時(shí)，以1 000個(gè)列車豎向加速度響應(yīng)樣本為例，表2為列車豎向加速度最大值不同聚類個(gè)數(shù)的BIC值。由表2可得，當(dāng)聚類個(gè)數(shù)N=2時(shí)，BIC值最大。表3為N=2時(shí)模型的參數(shù)估計(jì)值。將表3中的參數(shù)帶入到式(2)中，即可得到列車豎向加速度最大值所服從的高斯混合模型概率密度函數(shù)，如式(10)所示。圖4為得到的高斯混合模型概率密度函數(shù)與相應(yīng)樣本數(shù)量下列車豎向加速度響應(yīng)最大值的頻率分布直方圖的對(duì)比，從圖4可知，其擬合效果較好。

圖4 列車豎向加速度最大值的概率密度分布

表2 列車豎向加速度最大值不同聚類數(shù)的BIC值

表3 N=2時(shí)模型參數(shù)估計(jì)值

(10)

分別取400、500、600、700、800、900和1 000個(gè)隨機(jī)生成的軌道不平順樣本，計(jì)算得到車速為200 km/h時(shí)不同樣本容量下的列車豎向加速度響應(yīng)最大值的高斯混合模型概率密度分布與其頻率分布直方圖的擬合優(yōu)度及均方根誤差，如表4和圖5所示。由表4和圖5可知，當(dāng)樣本數(shù)量為400～700時(shí)，列車豎向加速度響應(yīng)最大值的高斯混合模型概率密度分布與其頻率分布直方圖的擬合優(yōu)度隨著樣本數(shù)量的增加逐漸變大，在樣本數(shù)量達(dá)到700后趨于穩(wěn)定；而均方根誤差隨著樣本數(shù)量的增加逐漸減小，在樣本數(shù)量達(dá)到700后，波動(dòng)較小，趨于穩(wěn)定。因而，車速為200 km/h時(shí)，代表列車豎向加速度響應(yīng)最大值概率統(tǒng)計(jì)特征的最優(yōu)樣本數(shù)量Nrep=700。圖6為不同樣本數(shù)量下的列車豎向加速度最大值所服從的高斯混合模型的概率密度曲線。

表4 列車豎向加速度最大值概率分布的擬合指標(biāo)

圖5 不同樣本數(shù)量下列車豎向加速度最大值概率密度曲線擬合效果評(píng)判指標(biāo)對(duì)比

圖6 不同樣本數(shù)量的列車豎向加速度最大值概率密度曲線

當(dāng)車速分別為100、150、200 km/h時(shí)，不同樣本數(shù)量下列車豎向加速度響應(yīng)最大值的高斯混合模型概率密度分布與其頻率分布直方圖的擬合優(yōu)度及均方根誤差如圖7所示。從圖7中可以看出，在樣本數(shù)量達(dá)到700后，3種不同車速下的列車豎向加速度響應(yīng)最大值的高斯混合模型概率密度分布與其頻率分布直方圖的擬合優(yōu)度和均方根誤差均波動(dòng)較小，趨于穩(wěn)定。因而當(dāng)車速分別為100、150、200 km/h時(shí)，代表列車豎向加速度響應(yīng)最大值概率統(tǒng)計(jì)特征的最優(yōu)樣本數(shù)量Nrep均可取為700。

圖7 不同車速和樣本數(shù)量下列車豎向加速度最大值概率密度曲線擬合效果評(píng)判指標(biāo)對(duì)比

3.2 列車橫向加速度

當(dāng)列車以200 km/h車速行駛時(shí)，仍以1 000個(gè)列車橫向加速度響應(yīng)樣本為例，表5為列車橫向加速度最大值不同聚類個(gè)數(shù)的BIC值，由表5可得，當(dāng)聚類個(gè)數(shù)N=3時(shí)，BIC值最大。表6為N=3時(shí)模型的參數(shù)估計(jì)值。將表6中的參數(shù)帶入式(2)中即可得到列車橫向加速度最大值所服從的高斯混合模型的概率密度函數(shù)，如式(11)所示。圖8為得到的高斯混合模型的概率密度函數(shù)與相應(yīng)樣本數(shù)量下列車橫向加速度響應(yīng)最大值的頻率分布直方圖的對(duì)比，由圖8可知其擬合效果較好。

圖8 列車橫向加速度最大值的概率密度分布

表5 列車橫向加速度最大值不同聚類數(shù)的BIC值

表6 N=3時(shí)模型參數(shù)估計(jì)值

(11)

分別取400、500、600、700、800、900和1 000個(gè)隨機(jī)生成的軌道不平順樣本，計(jì)算得到車速為200 km/h時(shí)不同樣本容量下列車橫向加速度響應(yīng)最大值的高斯混合模型概率密度分布與其頻率分布直方圖的擬合優(yōu)度及均方根誤差，如表7和圖9所示。由表7和圖9可知，列車橫向加速度響應(yīng)最大值的高斯混合模型概率密度分布與其頻率分布直方圖的擬合優(yōu)度和均方根誤差在樣本數(shù)量達(dá)到800后波動(dòng)較小，趨于穩(wěn)定。因而，車速為200 km/h時(shí)，代表列車橫向加速度響應(yīng)最大值概率統(tǒng)計(jì)特征的最優(yōu)樣本數(shù)量Nrep=800。圖10為不同樣本數(shù)量下列車橫向加速度最大值所服從的高斯混合模型的概率密度曲線。

圖9 不同樣本數(shù)量下列車橫向加速度最大值概率密度曲線擬合效果評(píng)判指標(biāo)對(duì)比

圖10 不同樣本數(shù)量的列車橫向加速度最大值概率密度曲線

表7 列車橫向加速度最大值概率分布的擬合指標(biāo)

當(dāng)車速分別為100、150、200 km/h時(shí)，不同樣本數(shù)量下列車橫向加速度響應(yīng)最大值的高斯混合模型概率密度分布與其頻率分布直方圖的擬合優(yōu)度及均方根誤差如圖11所示。從圖11中可以看出，在樣本數(shù)量達(dá)到800后，3種不同車速下列車橫向加速度響應(yīng)最大值的高斯混合模型概率密度分布與其頻率分布直方圖的擬合優(yōu)度和均方根誤差均波動(dòng)較小，趨于穩(wěn)定。因而當(dāng)車速分別為100、150、200 km/h時(shí)，代表列車橫向加速度響應(yīng)最大值概率統(tǒng)計(jì)特征的最優(yōu)樣本數(shù)量Nrep均可取為800。

圖11 不同車速和樣本數(shù)量下列車橫向加速度最大值概率密度曲線擬合效果評(píng)判指標(biāo)對(duì)比

4 不同車速下列車加速度響應(yīng)最大值的統(tǒng)計(jì)規(guī)律

列車分別以車速100、150、200 km/h行駛1 000 m，基于Monte-Carlo方法，取1 000個(gè)隨機(jī)生成的軌道不平順樣本計(jì)算得到列車的加速度響應(yīng)時(shí)程樣本。通過(guò)統(tǒng)計(jì)列車的豎向加速度最大值及橫向加速度最大值，得到列車不同車速下的加速度最大值箱型圖，如圖12所示。由圖12可知，列車的豎向加速度最大值和橫向加速度最大值均隨著車速的增加逐漸變得離散；列車的豎向加速度最大值和橫向加速度最大值的均值隨著車速的增加而增加。此外，列車豎向加速度最大值的均值都大于中位數(shù)，而列車橫向加速度最大值的均值在車速為100、150 km/h時(shí)大于中位數(shù)，在車速為200 km/h時(shí)的均值小于中位數(shù)。

圖12 不同車速下的列車加速度最大值箱型圖

通過(guò)對(duì)列車的豎向加速度最大值樣本及橫向加速度最大值樣本進(jìn)行分析，進(jìn)一步得到不同車速下列車加速度最大值的概率密度分布圖，如圖13所示。從圖13中可知，列車豎向加速度最大值和橫向加速度最大值的概率密度曲線均沿著橫坐標(biāo)向右移動(dòng)。另外，與車速為100、150 km/h相比，車速為200 km/h時(shí)列車豎向加速度與橫向加速度最大值的概率密度曲線的分布范圍均更大；而車速為100 km/h時(shí)列車豎向加速度與橫向加速度最大值的概率密度曲線最為高聳。這表明隨著車速的增加，列車加速度響應(yīng)最大值分布的離散性增強(qiáng)。

圖13 不同運(yùn)行車速下列車加速度最大值的概率密度曲線

由于列車振動(dòng)會(huì)使乘車人員產(chǎn)生不適感或疲勞，因而引入平穩(wěn)性指標(biāo)來(lái)度量乘客乘車時(shí)的舒適程度。參考高速鐵路客車動(dòng)力學(xué)性能評(píng)定資料，中國(guó)車體振動(dòng)加速度的平穩(wěn)性標(biāo)準(zhǔn)界限值可取為：豎向振動(dòng)加速度av≤1.3 m/s2，橫向振動(dòng)加速度ah≤1.0 m/s2。

在運(yùn)行距離為1 000 m的情況下，選擇列車運(yùn)行車速為100、150、200 km/h的工況，得到列車加速度最大值隨機(jī)變量的累積分布函數(shù)(Cumulative distribution function, CDF)曲線，如圖14～圖16所示。從圖中可以發(fā)現(xiàn)，列車在運(yùn)行車速為100、150、200 km/h時(shí)的豎向加速度與橫向加速度均滿足平穩(wěn)性要求。

圖14 100 km/h的列車加速度最大值的累計(jì)分布函數(shù)曲線

圖15 150 km/h的列車加速度最大值的累計(jì)分布函數(shù)曲線

圖16 200 km/h的列車加速度最大值的累計(jì)分布函數(shù)曲線

5 結(jié)論

1)采用高斯混合模型能夠有效地?cái)M合列車加速度響應(yīng)最大值的分布規(guī)律。

2)當(dāng)車速分別為100、150、200 km/h時(shí)，列車豎向加速度響應(yīng)的樣本數(shù)量達(dá)到700時(shí)可較好地代表列車豎向加速度響應(yīng)最大值的概率統(tǒng)計(jì)特征；而列車橫向加速度響應(yīng)的樣本數(shù)量達(dá)到800時(shí)能較好地代表列車橫向加速度響應(yīng)最大值的概率統(tǒng)計(jì)特征。

3)列車的豎向加速度最大值和橫向加速度最大值均在車速為100 km/h時(shí)分布最為集中；整體來(lái)講，隨著車速的增加，列車加速度響應(yīng)最大值分布的離散性增強(qiáng)。