圓錐曲線起始課

唐海燕

摘要：本文利用幾何畫板動(dòng)態(tài)探究，解釋了圓錐曲線名稱的由來，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)圓錐曲線的濃厚的興趣，為后續(xù)的學(xué)習(xí)建立一個(gè)良好的基礎(chǔ)。本文是筆者在市級(jí)課題《信息技術(shù)與高中數(shù)學(xué)課程內(nèi)容整合的案例開發(fā)》（課題編號(hào)MZJ1901）的研究中，針對(duì)圓錐曲線的起始課教學(xué)所作的一些探索和嘗試，供讀者參考。

關(guān)鍵詞：圓錐曲線截口曲線幾何畫板

一、課堂引入

學(xué)生們對(duì)橢圓、雙曲線、拋物線這三類曲線名稱應(yīng)該都不陌生，在課堂上筆者讓學(xué)生說說對(duì)這些曲線的認(rèn)識(shí)？得到了很多的回應(yīng)：二次函數(shù)的圖像是拋物線;反比例函數(shù)的圖像是雙曲線;壓扁的圓是橢圓;有些拱橋象拋物線;圓的直觀圖是橢圓;物理中，平拋，斜拋的物體的運(yùn)功軌跡是拋物線等等。

課本上把橢圓、雙曲線、拋物線合稱為圓錐曲線。為什么把這三類曲線合稱為圓錐曲線呢？這個(gè)平面問題為何借助空間幾何體命名呢？通過教師的引導(dǎo)，學(xué)生自然的想到了：通過平面截取空間幾何體來觀察截口曲線形狀實(shí)現(xiàn)空間到平面的聯(lián)系。

截口曲線的定義：用一個(gè)平面去截一個(gè)幾何體，所得到的截面與空間幾何體每個(gè)表面相交線所圍成的圖形我們稱為截口曲線。用平面截一個(gè)幾何體所得截口曲線的形狀一般與下面兩點(diǎn)有關(guān)：（1）幾何體的形狀;（2）切截的方向和角度。

二、實(shí)物展示

通過實(shí)物展示給學(xué)生一個(gè)具體的感官認(rèn)知，鼓勵(lì)學(xué)生課下仔細(xì)觀察教具。

三、利用幾何畫板軟件動(dòng)態(tài)探索

我們通過控制兩個(gè)圓心角的大小來調(diào)整截面的傾斜角度和水平角度。選中藍(lán)色圓上的點(diǎn)，在圓上進(jìn)行拖動(dòng)，就可以改變截面在平面的角度，從而觀察不一樣的截面圖。選中紅色圓上的點(diǎn)，在圓上進(jìn)行拖動(dòng)，就可以改變截面的水平角度。在改變平面角度時(shí)，下方的圓錐正視圖也會(huì)隨著改變。記軸線與母線成 （本文中取 ）的對(duì)頂錐，軸線與不經(jīng)過頂點(diǎn)的截面所成角為 。

我們熟知，垂直于軸的截面，即 時(shí) 截口曲線是一個(gè)圓，那么截面不垂直于軸時(shí)又會(huì)是什么圖形呢？下面通過動(dòng)態(tài)探究，來觀察截面的形狀。教學(xué)過程中可反復(fù)操作讓學(xué)生觀看，也可找學(xué)生來操作，讓學(xué)生嘗試總結(jié)結(jié)論。（注：對(duì)學(xué)生能力較好的班級(jí)，可以展示雙球的實(shí)物模型，為下一屆橢圓的定義做鋪墊。）

引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)結(jié)論：

（1） ，截口曲線為圓;（2） ，截口曲線為橢圓;

（3） ，截口曲線為拋物線;（4） ，截口曲線為雙曲線。

探究過程中需要注意：當(dāng)截面經(jīng)過頂點(diǎn)時(shí)，截口曲線為一個(gè)點(diǎn)，或兩條相交直線。

四、課后反思

（1）本節(jié)課課堂引入的學(xué)生提到的知識(shí)點(diǎn)均可在后續(xù)教學(xué)中得到逐一驗(yàn)證。

（2）除了幾何畫板，也可以使用geogobra軟件，flash軟件等進(jìn)行探究，也可以利用網(wǎng)絡(luò)現(xiàn)有的視頻資源等多種現(xiàn)代信息化的方式展示。

（3）在教學(xué)中也可以適當(dāng)穿插關(guān)于圓錐曲線的發(fā)展歷史，滲透數(shù)學(xué)文化。

參考文獻(xiàn)：

[1]魏志雄、王豫黔 幾何畫板數(shù)學(xué)課件制作實(shí)例教程，人民郵電出版社。