模型思想在小學數(shù)學教學中的融入

強震球 強振宇

【編者按】模型思想是數(shù)學基本思想之一，在數(shù)學教學中有著重要的意義。如何在教學中滲透模型思想，引導學生經(jīng)歷數(shù)學模型的建構(gòu)過程，積累數(shù)學建模經(jīng)驗，實現(xiàn)數(shù)學素養(yǎng)的有效提升？本期話題圍繞“滲透模型思想，優(yōu)化建模過程”的相關(guān)研究而展開。

一、厘清小學階段的模型思想

1. 辨析模型思想的概念。

所謂數(shù)學模型是指針對或參照某種事物的特征或數(shù)量相依關(guān)系，采用形式化的數(shù)學語言，概括地或近似地表達出來的一種數(shù)學結(jié)構(gòu)。按廣義解釋，凡一切數(shù)學概念、數(shù)學理論體系，各種數(shù)學公式、各個方程式，以及由公式系列構(gòu)成的算法系統(tǒng)等都稱為數(shù)學模型。按狹義解釋，那些反映特定問題或特定的具體事物系統(tǒng)的數(shù)學關(guān)系結(jié)構(gòu)才叫數(shù)學模型。

在小學數(shù)學教材中，蘊含的模型無處不在——數(shù)概念模型、運算模型、幾何圖形模型、植樹模型、工程模型等。仔細分析，不難看出模型思想和符號化意識相似，都是抽象后的數(shù)、數(shù)量關(guān)系、空間形式和變化規(guī)律的表達。那么，對小學數(shù)學而言，模型思想就是要求學生在學習過程中，從相對簡單到相對復雜，從相對具體到相對抽象，逐步積累經(jīng)驗，形成運用模型進行數(shù)學思維的習慣——即“建?！?。建模過程就是“數(shù)學化”的過程，是學生在數(shù)學學習中獲得某種模型意義的數(shù)學結(jié)構(gòu)的過程。

2. 明確模型思想的價值。

首先，有利于明晰數(shù)學本質(zhì)。數(shù)學是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學，它的本質(zhì)是抽象的。現(xiàn)在，通過由原型抽象出數(shù)學模型的實例，使得抽象的數(shù)學看得見、摸得著，避免“數(shù)學聯(lián)系生活”的形式化，避免就題論題的知識傳授，讓學生真正感悟數(shù)學思想，發(fā)展數(shù)學理性。

其次，有利于明晰一般化思想。數(shù)學來源于生活又應用于生活，模型思想能將一個問題的解決，拓展為一類問題的解決。它能讓學生清晰感受數(shù)學與生活的密切聯(lián)系，感受數(shù)學的實際應用價值，從而增進自身對數(shù)學的學習興趣和信心。

再次，有利于明晰結(jié)構(gòu)化思想。數(shù)學家對數(shù)學模型各有自己的闡釋，但其共同點可以歸結(jié)為一句話：由原型結(jié)構(gòu)抽象出數(shù)學結(jié)構(gòu)。結(jié)構(gòu)就是關(guān)系的組合，具有整體性。滲透模型思想，就是要啟迪學生在掌握模型的主干后，進行“多題一解”與“一題多變”的變式訓練，讓學生在改編的過程中領(lǐng)悟結(jié)構(gòu)化內(nèi)涵，易于學生看破這些數(shù)學問題。

二、把握小學階段模型思想的現(xiàn)狀

1. 不能揭示數(shù)學本質(zhì)，目標不準。

有些數(shù)學教師由于受傳統(tǒng)教學方式的影響，本身又對模型思想的認識不足，在設計課堂教學時，往往在乎的還是對學生的基本知識傳授，即使是一些簡單易操作的探究性活動，仍認為是浪費時間。導致學生被動接受知識，不能直抵數(shù)學知識的本質(zhì)。

2. 不能凸顯數(shù)學思想，重點不明。

作為小學數(shù)學一種新的課堂教學方式“問題情境—建立模型—求解驗證—總結(jié)應用”，已經(jīng)引起一線教師的關(guān)注和實踐。但是，由于教師對數(shù)學建模的認識不清，缺乏對各類知識模型化的對策，注意力過多地放在“生活情境創(chuàng)設”和“實際應用”的翻新上。對處于核心地位的“建立模型”忽視了實質(zhì)，教學即使將數(shù)學與生活聯(lián)系起來，也僅僅停留在聯(lián)系的層面。這樣學生也就不能通過模型的形成提高自己的思維能力，違背建模初心。

3. 不能架構(gòu)整體練習，興趣不濃。

模型思想蘊含結(jié)構(gòu)化思想，要求我們將一個問題——原型的解決，拓展為一題多變的解決。然而，在平時教學的解釋應用環(huán)節(jié)，大多呈現(xiàn)為單個實際問題的設計，是為用而用，缺少思維含量，練習忽視模型結(jié)構(gòu)的設計。這樣就將問題解決策略多樣化，演繹成低水平的“一題多解”現(xiàn)象。學生掌握不了關(guān)系模型的主干，體會不到數(shù)學結(jié)構(gòu)的魅力，形成不了以簡馭繁的解題思路，題越做越?jīng)]興趣，形成不了模型思想。

三、融入模型思想的教學實踐

1. 在概念教學中建?！y(tǒng)攝引領(lǐng)。

數(shù)學概念是學生掌握數(shù)學基本知識和基本技能的基石，它直接影響后續(xù)學習及思維能力的發(fā)展。概念分為描述性概念和定義性概念兩類，主要表現(xiàn)為數(shù)學語言中名詞、術(shù)語、符號等的含義。由于數(shù)學概念是現(xiàn)實生活中數(shù)量關(guān)系和空間形式的本質(zhì)屬性反映，因而，每一個數(shù)學概念都可以看做數(shù)學模型，每個概念是建立其他數(shù)學模型的材料。教學過程中教師需要逐步抽象、簡化，不斷變化數(shù)學問題的非本質(zhì)屬性，構(gòu)建數(shù)學模型，突出數(shù)學問題的本質(zhì)。

【教學片段一】

一年級學生對“加法——5+2=7”的認識。

師：誰來說說從第一幅圖上看到什么？

生：有5只小兔在采蘑菇。

師：第二幅圖呢？

生：有2只小兔在采蘑菇。

師：誰來把兩幅圖的意思連起來說？

生：小兔采蘑菇，左邊有5只，右邊有2只。

師：根據(jù)圖的意思，請你們提一個數(shù)學問題。（一共有多少只小兔？）

師：那么一共有多少只呢？（7只，算式5+2=7）

師：結(jié)合情境圖——左邊有5只小兔，右邊有2只小兔。要求一共有多少只，就是把5只和2只合起來，算式是5+2=7。這里的5表示什么？2表示什么？7表示什么？

師：大家能不能用小棒代替小兔子，把這一過程擺一擺呢？

師：看這個同學擺的小棒圖，要求一共有多少根小棒，怎么表示呢？（5+2=7）

師：左邊有5根小棒，右邊有2根小棒。要求一共有多少根小棒，就是把5根和2根合起來，算式是5+2=7。這里的5表示什么？2、7又表示什么？

師：看，圖中先是小兔，再是小棒，為什么都可以用同一個算式5+2=7來表示呢？

師：同學們都說得很好。那么5+2=7還可以表示生活中怎樣的數(shù)學問題？請大家相互說一說。

師：這兒有加法算式“4+3=7”，誰能來說一說？

師：如果用□+□=□來表示加法，你們還能怎么說？

上述教學片段根據(jù)低年級學生年齡特點和學習特點，由具體的實例開始，借助小棒操作進行知識的內(nèi)化和強化，最后通過學生舉例，以思維的發(fā)散和聯(lián)想擴展理解加法的意義，從而賦予“5+2=7”更多的模型意義。重點訓練了：學生對數(shù)學符號的抽象、對現(xiàn)實信息的概括、加法意義的舉一反三學習能力。教師通過豐富的資源在開展加法教學的同時，融入加法“□+□=□”模型思想，讓學生在學習數(shù)學的過程中體會到數(shù)學自身的魅力，為學生以后學習乘法、減法等內(nèi)容助力。

2. 在數(shù)學規(guī)則中建?！砸划斒?/p>

數(shù)學規(guī)則指的是在小學數(shù)學學習中，大量有關(guān)數(shù)的四則計算法則、運算定律與性質(zhì)、計算公式等內(nèi)容。這些內(nèi)容是現(xiàn)實生活中數(shù)量關(guān)系、空間形式、計算規(guī)律的概括與總結(jié)，具有模型意義。因此，在教學中，應當不失時機引導學生觀察、探索，經(jīng)歷推理、歸納等數(shù)學化的過程，嘗試用簡練、準確的數(shù)學語言、符號語言來建構(gòu)、表達模型，掌握模型主干，領(lǐng)悟模型的結(jié)構(gòu)化，解決問題一大片，激發(fā)學生學數(shù)學、用模型的興趣。

例如，在蘇教版三下的“年、月、日”單元中，有一節(jié)“求簡單的經(jīng)過時間”的學習內(nèi)容。這部分內(nèi)容是學生認識了“1日=24時”，掌握了鐘面24時在具體生活情境中的記錄方法后，解決與時間知識有關(guān)的實際問題。通過解決這類問題，讓學生具體感受時間的實際意義，體會數(shù)學與日常生活的廣泛聯(lián)系。那么，如何在學生求經(jīng)過時間時體現(xiàn)模型思想呢？

【教學片段二】

一、初“模”：整時到整時的經(jīng)過時間（時針轉(zhuǎn)動）

1. 出示“節(jié)目預告”單，明確問題。

師：通過前面的學習，我們知道“節(jié)目預告”采用的是24時記時法。誰再來播送一遍？

師：同學們，就在這些節(jié)目播放的記錄中，還蘊藏著與時間有關(guān)的數(shù)學問題呢?。ǔ鍪締栴}“《動畫劇場》播放了多長時間？”）你們知道嗎？有辦法知道嗎？

2. 探索方法，交流反饋。

師：《動畫劇場》是怎么播放的？（從14：00開始播放到16：00結(jié)束）播放了多長時間也就是哪段時間？（14：00到16：00這一段時間）實際多長時間，怎么得到的？

鐘面上數(shù)? ? ? ? ? ? ? ? ?時間尺上看

師：看，無論是到鐘面上數(shù)，還是從時間尺上看，播放的時間就是時針在鐘面上轉(zhuǎn)動的2大格所表示的時間，也就是從14時到16時的經(jīng)過時間。（板書：經(jīng)過時間）

3. 列式計算，初步表達。

師：結(jié)合剛才的所思所想，播放多長時間能不能通過列式計算解決？（16-14=2小時）

追問：16表示什么？14呢？最后結(jié)果2表示什么？

小結(jié)：結(jié)束時間-開始時間=經(jīng)過時間。

二、用“模”：1小時內(nèi)的經(jīng)過時間（分針轉(zhuǎn)動）

1. 問題：《智慧樹》播放多長時間呢？試著畫圖求出播放時間。

2. 師生一起畫線段圖得到《智慧樹》播放的時間。

3. 鐘面上感知，實質(zhì)是分針在鐘面上轉(zhuǎn)動經(jīng)過的時間。

4. 列式計算表示：40-10=30分鐘。

5. 總結(jié)建模：同學們，剛才我們一起通過討論解決了兩個節(jié)目播放時間的問題。發(fā)現(xiàn)節(jié)目播放時間多長就是節(jié)目從開始到結(jié)束那段經(jīng)過時間，也就是相當于時針或分針在鐘面上轉(zhuǎn)動經(jīng)過的時間。求經(jīng)過時間可以直接用“結(jié)束時間-開始時間”列式計算。

三、應用鞏固“?！?/p>

1. 口答：借書時間、營業(yè)時間等。（展示實際生活中出現(xiàn)的各種時間公示欄）

2. 關(guān)系結(jié)構(gòu)化訓練。

出示：老師今天早上7：00上班，工作到上午11：00，工作了多長時間？（11-7=4小時）

任務：將上面的問題改編成求其中一個條件的實際問題。

（1）求結(jié)束時間：老師今天早上7：00上班，工作了4小時，工作到什么時間結(jié)束？用24時記時法表示是（? ）。

（2）求開始時間：老師今天上午工作了4小時，工作到11：00。你知道老師是什么時間開始工作嗎？

教學借助現(xiàn)實情境和幾何直觀搭起了開始時間與結(jié)束時間的橋梁，再加上語言的描述，讓學生理解經(jīng)過時間概念的本質(zhì)，即經(jīng)過時間實質(zhì)是鐘面時針、分針的轉(zhuǎn)動所用的時間，為抽象概括“結(jié)束時間-開始時間=經(jīng)過時間”這一主干關(guān)系模型厘清了思路。在應用鞏固模型環(huán)節(jié)，也不是就題論題，而是啟迪學生在掌握主干模型的基礎上，通過編題去領(lǐng)悟整個模型的結(jié)構(gòu)化，感悟模型的聯(lián)系，提升思維含量，體會數(shù)學結(jié)構(gòu)的魅力，實現(xiàn)做一題帶一片。

3. 在解決問題中建?！e一反三。

模型思想蘊含一般化的思想。滲透模型思想的教學是通過“問題情境—建立模型—求解驗證—總結(jié)應用”的模式展開的，也就是說，教師引導學生在解決一些實際問題時，通過比較、觀察分析，抽象出更為一般的模式表達，將一個問題的解決，拓展為一類問題的解決，舉一反三，使學生體會到“原來這些題目可以這樣變，萬變不離其宗”。

最為典型的就是吳正憲老師執(zhí)教的“解決問題——連加”，吳老師將教材中的顯性知識和隱性知識有機結(jié)合，運用“圖示法”，使學生經(jīng)歷從實際問題中建立模型的過程，張揚了學生的個性和創(chuàng)造力，培養(yǎng)了學生的符號化意識和解決問題的創(chuàng)新能力。

【教學片段三】

一、復習鋪墊

1. 出示小猴采桃問題：猴弟弟采了4個桃，猴哥哥采了7個桃，一共采了多少個桃？

2. 追問：為什么用加法算？

3. 表征：（1）手勢表示——同學們舉起雙手做“把兩個數(shù)合在一起”的合攏動作;（2）符號表示——板書“□+□=和”。

二、新知建模

1. 變一變出例題：猴哥哥采了7個桃，會怎么對弟弟說？順勢把“猴哥哥采了7個桃”換成“猴哥哥比弟弟多采了3個”。

2. 讀題、審題、思考：要解決這個問題，想想先做什么，再做什么。你有什么要提醒大家的？

3. 請學生用畫圖的方式表達。

吳老師讓每個進行板演的學生表達自己的想法，然后引導總結(jié)，列式計算。

最后，師生一起用手勢總結(jié)——舉左手表示弟弟采的桃子數(shù)，右手表示哥哥采的桃子數(shù)。右手這邊沒有直接告訴你是多少，就要先算出來再相加。

4. 符號表示：□+□=和，其中一個加數(shù)沒有告訴我們，就要先求出來。這兒先算的是加法，以后還會遇到先算減法、乘法……

三、回顧總結(jié)：我們怎么解決問題的？有什么新的收獲？

縱觀整個建模過程，吳老師通過創(chuàng)設“小猴采桃”故事情境，給足學生表達的時間和空間，引導學生充分展現(xiàn)各自的思維過程，幫助每一個學生最終獨立完成“連加”的建構(gòu)活動，滲透了模型思想和符號意識。

（作者單位：江蘇省江陰市實驗小學教育集團

江蘇省江陰市璜塘實驗小學）