基于卡爾頓毀傷函數(shù)的殺傷榴彈效能評估模擬

丁貴鵬，陶 鋼，龐春橋，王小峰，段桂茹

(1.南京理工大學(xué) 能源與動(dòng)力工程學(xué)院， 南京 210094；2.陸軍裝備部駐吉林地區(qū)軍代室，吉林 吉林 132021)

1 引言

武器彈藥效能評估是現(xiàn)代軍事和作戰(zhàn)問題研究的重要組成部分，直接關(guān)系到對交戰(zhàn)雙方軍事實(shí)力的認(rèn)識[1]。如果評估結(jié)果不能反映武器效能的真實(shí)情況，將直接導(dǎo)致指揮員決策失誤，后果十分嚴(yán)重。國內(nèi)殺傷榴彈的試驗(yàn)評估方法主要參考文獻(xiàn)[2]，為了方便實(shí)施，其外彈道試驗(yàn)，終點(diǎn)效應(yīng)試驗(yàn)往往分開進(jìn)行，且沒有相應(yīng)的方法將兩組數(shù)據(jù)整合用以分析武器效能。此外，典型破片戰(zhàn)斗部的終點(diǎn)效應(yīng)評估，過于理想化，沒有考慮彈藥落角對終點(diǎn)效應(yīng)的影響[3]，這對于低伸彈道武器而言是極其不利的。因此，迫切需要給出一種能夠更加真實(shí)的反映低伸彈道武器殺傷榴彈效能的評估方法。

在以往的研究中，文獻(xiàn)[4-5]給出了蒙特卡羅方法在武器效能評估中的應(yīng)用。蒙特卡羅方法是一種依賴隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)實(shí)驗(yàn)，求解數(shù)學(xué)、物理、工程技術(shù)問題近似解的數(shù)值計(jì)算方法[6]。在武器效能評估領(lǐng)域，其常被用來進(jìn)行模擬打靶和計(jì)算目標(biāo)毀傷概率。文獻(xiàn)[7-10]對不同的毀傷函數(shù)進(jìn)行了介紹，其中卡爾頓毀傷函數(shù)(Carleton Damage Function)是目前應(yīng)用較為廣泛的一種，該函數(shù)是基于雙變量正態(tài)分布假設(shè)構(gòu)建殺傷矩陣的一種方法，被廣泛應(yīng)用于榴彈殺傷矩陣的建模。文獻(xiàn)[11]將卡爾頓毀傷函數(shù)與蒙特卡羅方法相結(jié)合進(jìn)行了空對地武器系統(tǒng)效能的分析。文獻(xiàn)[12-13]利用卡爾頓毀傷函數(shù)進(jìn)行了多發(fā)射擊時(shí)最佳瞄準(zhǔn)點(diǎn)的研究。然而，以上研究均未考慮彈藥落角的影響，因此不能直接用于低伸彈道武器殺傷榴彈的效能評估。

本文在不改變國內(nèi)現(xiàn)有試驗(yàn)評估方法的前提下，結(jié)合彈藥落角對終點(diǎn)效應(yīng)的影響，提出了一種能夠更加真實(shí)的反映低伸彈道武器殺傷榴彈效能的評估方法，并通過算例分析，給出了彈道散布，瞄準(zhǔn)誤差，彈藥落角以及打擊次數(shù)對目標(biāo)毀傷概率的影響。本研究可以為典型破片殺傷榴彈效能評估及密集度等指標(biāo)確定提供參考，此外還可以為彈藥消耗量的預(yù)測提供理論依據(jù)。

2 計(jì)算方法

2.1 蒙特卡羅模擬方法

蒙特卡羅方法是一種通過反復(fù)隨機(jī)抽樣來確定結(jié)果的技術(shù)，在第二次世界大戰(zhàn)中，由美國原子彈計(jì)劃成員S.M.烏拉姆和J.馮諾依曼提出[14]。該方法在很多的科學(xué)問題中得到廣泛的應(yīng)用，其中就包括射擊學(xué)，目標(biāo)覆蓋，武器效能評估等。在大多數(shù)的應(yīng)用中，蒙特卡羅方法以計(jì)算機(jī)程序執(zhí)行。

圖1給出了應(yīng)用蒙特卡羅方法模擬確定目標(biāo)毀傷概率的計(jì)算流程。首先，作為程序的輸入?yún)?shù)，需要確定目標(biāo)的幾何尺寸和武器彈藥的性能參數(shù)。其中武器彈藥的性能參數(shù)包括武器系統(tǒng)的打擊精度，彈目交匯狀態(tài)以及彈藥的終點(diǎn)效應(yīng)。其次，根據(jù)輸入條件建立目標(biāo)矩陣和武器毀傷矩陣。最后通過蒙特卡羅方法確定目標(biāo)的毀傷概率。

圖1 蒙特卡羅方法模擬計(jì)算流程框圖

在每次運(yùn)行程序的過程中，彈目交匯點(diǎn)(落點(diǎn))根據(jù)武器系統(tǒng)的打擊精度隨機(jī)生成。

在進(jìn)行多發(fā)射擊時(shí)，目標(biāo)矩陣中每個(gè)單元的毀傷概率可以通過式(1)確定(見圖2所示)，單次運(yùn)行時(shí)整個(gè)目標(biāo)的毀傷概率通過式(2)確定。當(dāng)N次運(yùn)行全部結(jié)束后，通過式(3)即可得到目標(biāo)毀傷概率的數(shù)學(xué)期望值。

圖2 目標(biāo)矩陣示意圖

Pcell-i=1-(1-Pi,1)(1-Pi,2)…(1-Pi,s)

(1)

(2)

(3)

其中：Pcell-i為目標(biāo)矩陣中第i個(gè)單元的毀傷概率；Pi,s為第s發(fā)彈對目標(biāo)矩陣中第i個(gè)單元的毀傷概率；Pmean-j為程序第j次運(yùn)行時(shí)，目標(biāo)整體的平均毀傷概率；Pkill為程序運(yùn)行結(jié)束后目標(biāo)毀傷的數(shù)學(xué)期望值；M為目標(biāo)矩陣的單元總數(shù)；N為蒙特卡羅模擬的運(yùn)行總數(shù)。

蒙特卡羅模擬結(jié)果的準(zhǔn)確性與運(yùn)行次數(shù)有直接關(guān)系，即運(yùn)行次數(shù)越多，計(jì)算結(jié)果越準(zhǔn)確。然而在實(shí)際操作過程中還要考慮計(jì)算時(shí)間的問題。作者在多次測試模擬過程中，將蒙特卡羅模擬次數(shù)設(shè)置為100 000次，最終發(fā)現(xiàn)當(dāng)運(yùn)行次數(shù)達(dá)到40 000次左右時(shí)，其計(jì)算結(jié)果逼近最終結(jié)果，如圖3所示，因此本文涉及的蒙特卡洛模擬均采用40 000運(yùn)行次數(shù)。

圖3 運(yùn)行過程中的結(jié)果監(jiān)控曲線

2.2 卡爾頓毀傷函數(shù)

在評估武器彈藥效能與目標(biāo)毀傷概率的時(shí)候，最準(zhǔn)確的方法是采用武器彈藥的殺傷矩陣(Pk矩陣)來計(jì)算。然而這種高保真的殺傷矩陣在大多數(shù)簡化的評估模型中很難得到應(yīng)用，為此需要對其進(jìn)行相應(yīng)的簡化，卡爾頓毀傷函數(shù)就是其中之一。假設(shè)Pk值在射程方向和偏斜方向(與射程方向垂直)均服從正態(tài)分布，則卡爾頓毀傷函數(shù)式如下：

(4)

其中：P(x,z)為點(diǎn)(x，z)處的毀傷概率，該值用于式(1)中；x為在射程方向與彈藥落點(diǎn)的距離；z為在偏斜方向與彈藥落點(diǎn)的距離。由測試結(jié)果中密集殺傷半徑確定Rr和Rd。Rr為在射程方向與彈藥密集殺傷面積相關(guān)的常數(shù)；Rd為偏斜方向與彈藥密集殺傷面積相關(guān)的常數(shù)。

對于典型破片殺傷戰(zhàn)斗部，其密集殺傷面積可以通過彈藥的密集殺傷半徑求得[3]即A90=πR2。此時(shí)，密集殺傷面積為彈藥90°落角時(shí)的理想結(jié)果，然而落角對密集殺傷面積有很大影響，如圖4[15]。

圖4 不同落角下的密集殺傷區(qū)域示意圖

文獻(xiàn)[15]的研究人員通過對多種破片戰(zhàn)斗部試驗(yàn)數(shù)據(jù)的處理分析給出了密集殺傷面積與彈藥落角之間的關(guān)系式：

Aθ=A0×[exp(0.043 85θ-3.186)+0.836 3]

(5)

其中：Aθ為落角為θ時(shí)，彈藥的密集殺傷面積；θ為彈藥的落角/°；A0為落角為0°時(shí)，彈藥的密集殺傷面積。

a=Rr/Rd=max(1-0.8cosθ,0.3)

(6)

Aθ=π×Rr×Rd

(7)

由此可知，當(dāng)給出彈藥密集殺傷半徑R和落角θ時(shí)，便可以通過以上式(5)～式(7)計(jì)算得到相應(yīng)的Rr和Rd。

3 算例研究

3.1 武器及其性能假設(shè)

作為典型的低伸彈道武器，選擇單兵無后坐力炮及其榴彈作為效能評估的對象。根據(jù)78式82 mm無后坐力炮的性能指標(biāo)對單兵無后坐力炮及其榴彈做如下假設(shè)：

1) 每次射擊的預(yù)期瞄準(zhǔn)點(diǎn)為目標(biāo)正中心，且多發(fā)射擊不觀察結(jié)果，不轉(zhuǎn)移射擊，不考慮射擊相關(guān)性；

2) 瞄準(zhǔn)點(diǎn)散布中間誤差Ex=Ez=0 m，2 m，4 m，7 m，10 m；

3) 測試獲得彈道散布中間誤差Ex=0 m，5 m，10 m，15m，20 m，25 m，30 m，Ez=5 m；

4) 參照文獻(xiàn)[3]的測試方法得到單兵榴彈(90°落角時(shí))的密集殺傷半徑為20 m；

5) 武器彈藥可靠性為100%有效；

此外，為了評估落角對殺傷榴彈效能的影響，分別對落角為5°，10°，15°，20°，25°，30°，45°，60°，75°，90°的情況進(jìn)行計(jì)算。

3.2 目標(biāo)特性

根據(jù)單兵無后坐炮及其榴彈的作戰(zhàn)使命選取2種目標(biāo)作為案例進(jìn)行計(jì)算分析。目標(biāo)1為標(biāo)準(zhǔn)步兵班組展開面積，即一個(gè)10 m×50 m的面目標(biāo)[13]，其中50 m為目標(biāo)正面寬度，10 m為目標(biāo)的縱深長度。目標(biāo)2為無防護(hù)的敵火力點(diǎn)，即1 m×1 m的點(diǎn)目標(biāo)。在進(jìn)行評估計(jì)算時(shí)，需要對目標(biāo)進(jìn)行網(wǎng)格劃分，為了計(jì)算方便將目標(biāo)網(wǎng)格單元的尺寸設(shè)置為1 m×1 m。

4 結(jié)果與分析

4.1 彈道散布對毀傷概率的影響

彈道散布是評價(jià)武器系統(tǒng)效能的一個(gè)重要參數(shù)，然而該參數(shù)對目標(biāo)毀傷概率的影響到底有多大，服從什么樣的規(guī)律一直以來缺少定量化的分析。為了得到彈道散布中間誤差對目標(biāo)毀傷概率的影響，暫時(shí)忽略瞄準(zhǔn)誤差的影響，即瞄準(zhǔn)中間誤差取0 m×0 m。同時(shí)取彈藥落角為5°，由式(5)和密集殺傷半徑R=20 m可知密集殺傷面積A5=375 m2。打擊次數(shù)為1發(fā)。

圖5和圖6分別為彈道散布對面目標(biāo)和點(diǎn)目標(biāo)毀傷概率的影響曲線。

根據(jù)圖5和圖6中的目標(biāo)毀傷概率評估結(jié)果可以看出彈道散布對目標(biāo)毀傷概率的影響十分顯著，當(dāng)射程方向的彈道散布中間誤差Ex由0 m增大到30 m時(shí)，10 m×50 m的面目標(biāo)毀傷概率下降88%左右，1 m×1 m的火力點(diǎn)目標(biāo)毀傷概率下降90%左右。

圖5 彈道散布對面目標(biāo)毀傷概率的影響曲線

圖6 彈道散布對點(diǎn)目標(biāo)毀傷概率的影響曲線

為了給出彈道散布對目標(biāo)毀傷概率的影響規(guī)律，分別對2種目標(biāo)毀傷概率的評估結(jié)果進(jìn)行了擬合，得到下式：

Pkill=A0×exp(-x/A1)+A2

(8)

表1列出了彈道散布對式(8)的影響系數(shù)值。

表1 彈道散布影響系數(shù)

由式(8)及表1可知目標(biāo)毀傷概率隨著彈道散布中間誤差的增大服從指數(shù)形式衰減，對于不同的目標(biāo)而言，只是式(8)的衰減系數(shù)不同。

3.2 瞄準(zhǔn)誤差對毀傷概率的影響

瞄準(zhǔn)誤差指的是彈藥平均命中點(diǎn)(MPI)和預(yù)期命中點(diǎn)之間的偏差。與彈道散布對目標(biāo)毀傷概率的影響類似，瞄準(zhǔn)誤差對目標(biāo)毀傷概率的影響同樣缺少定量化的分析。為了得到瞄準(zhǔn)誤差對目標(biāo)毀傷概率的影響，計(jì)算條件取彈道散布中間誤差為10 m×5 m，彈藥落角為5°，此時(shí)密集殺傷面積A5=375 m2。打擊次數(shù)取1發(fā)。

圖7和圖8分別為瞄準(zhǔn)誤差對面目標(biāo)和點(diǎn)目標(biāo)毀傷概率的影響曲線。

圖7 瞄準(zhǔn)誤差對面目標(biāo)毀傷概率的影響曲線

圖8 瞄準(zhǔn)誤差對點(diǎn)目標(biāo)毀傷概率的影響曲線

根據(jù)圖7和圖8中的目標(biāo)毀傷概率評估結(jié)果可知，瞄準(zhǔn)誤差同樣對目標(biāo)毀傷概率有較大的影響，就文中涉及的計(jì)算范圍而言，當(dāng)瞄準(zhǔn)點(diǎn)散布中間誤差由0 m增大到10 m時(shí)，10 m×50 m的面目標(biāo)毀傷概率下降了39%左右，1 m×1 m的火力點(diǎn)目標(biāo)毀傷概率下降了48%左右。此外，分別對瞄準(zhǔn)點(diǎn)散布中間誤差對2種不同目標(biāo)毀傷概率的評估結(jié)果進(jìn)行了擬合，得到的擬合式：

Pkill=B0+B1×x+B2×x2

(9)

表2列出了 瞄準(zhǔn)誤差對式(9)的影響系數(shù)值。

表2 瞄準(zhǔn)誤差影響系數(shù)

由式(9)及表2可知目標(biāo)毀傷概率隨著瞄準(zhǔn)點(diǎn)散布中間誤差的增大服從二次多項(xiàng)式形式衰減，對于不同的目標(biāo)而言，只是式(9)的系數(shù)不同。

3.3 彈藥落角對毀傷概率的影響

武器對目標(biāo)的毀傷作用主要依靠2個(gè)部分來實(shí)現(xiàn)——彈藥的打擊精度和彈藥的終點(diǎn)威力。前面分析了彈道散布和瞄準(zhǔn)誤差對目標(biāo)毀傷概率的影響規(guī)律，這兩個(gè)因素主要影響的是彈藥的打擊精度。而彈藥落角不同，其影響的是終點(diǎn)威力即密集殺傷面積。密集殺傷面積與落角的關(guān)系可根據(jù)式(5)確定，結(jié)果如表3所示。為了定量分析落角對目標(biāo)毀傷概率的影響規(guī)律，計(jì)算條件為彈道散布中間誤差取10 m×5 m，瞄準(zhǔn)點(diǎn)散布中間誤差取0 m×0 m，打擊次數(shù)取1發(fā)。

表3列出了不同彈藥落角時(shí)的密集殺傷面積的影響。

表3 不同彈藥落角時(shí)的密集殺傷面積

圖9 、圖10分別為彈藥落角對面目標(biāo)和點(diǎn)目標(biāo)毀傷概率的影響曲線。

圖9 彈藥落角對面目標(biāo)毀傷概率的影響曲線

圖10 彈藥落角對點(diǎn)目標(biāo)毀傷概率的影響曲線

根據(jù)表3中的Aθ數(shù)據(jù)可知彈藥落角對密集殺傷面積的影響非常顯著。當(dāng)落角小于30°時(shí)，密集殺傷面積只有90°落角時(shí)的30%左右。

圖9和圖10分別給出了不同落角條件下2種目標(biāo)的毀傷概率。對2種目標(biāo)毀傷概率的評估結(jié)果進(jìn)行處理，以彈藥90°落角時(shí)目標(biāo)的毀傷概率為基準(zhǔn)值，計(jì)算不同落角條件下目標(biāo)毀傷概率與基準(zhǔn)值的比例關(guān)系，結(jié)果表明當(dāng)落角小于30°時(shí)，2種目標(biāo)的毀傷概率均只有彈藥90°落角時(shí)目標(biāo)毀傷概率的40%左右。此外，分別對2種不同目標(biāo)毀傷概率的評估結(jié)果進(jìn)行擬合處理得到：

Pkill=C0+C1×x+C2×x2

(10)

表4列出了 瞄準(zhǔn)誤差對式(10)的影響系數(shù)值。

表4 彈藥落角影響系數(shù)

由式(10)及表4可知目標(biāo)毀傷概率隨著彈藥落角的增大以二次多項(xiàng)式形式增長，對于不同的目標(biāo)而言，只是式(10)的系數(shù)不同。

3.4 打擊次數(shù)對毀傷概率的影響

對于本文討論的單兵無后坐力炮及其殺傷榴彈而言，在實(shí)際作戰(zhàn)中發(fā)射1發(fā)榴彈很難達(dá)到預(yù)期的殺傷效果，此時(shí)就需要對目標(biāo)進(jìn)行重復(fù)打擊。這就需要對多發(fā)打擊時(shí)的目標(biāo)毀傷概率進(jìn)行評估。為了消除其他因素的影響，計(jì)算條件取彈道散布中間誤差為10 m×5 m，瞄準(zhǔn)點(diǎn)散布中間誤差為0 m×0 m，落角為5°，此時(shí)的密集殺傷面積A5=375 m2。

圖11給出了2種不同目標(biāo)在不同打擊次數(shù)作用下的毀傷概率，表現(xiàn)了目標(biāo)毀傷概率隨打擊次數(shù)增加的變化情況。針對文中所選擇的計(jì)算條件，若要求目標(biāo)毀傷概率大于50%，對于10 m×50 m的面目標(biāo)，至少需要打4發(fā)彈，而對于1 m×1 m的火力點(diǎn)目標(biāo)，則至少需要打3發(fā)彈。

圖11 打擊次數(shù)對目標(biāo)毀傷概率的影響曲線

5 結(jié)論

1) 目標(biāo)毀傷概率隨彈道散布中間誤差的增大呈指數(shù)形式衰減。

2) 目標(biāo)毀傷概率隨瞄準(zhǔn)點(diǎn)散布中間誤差的增大呈二次多項(xiàng)式形式衰減。

3) 當(dāng)落角小于30°時(shí)，2種目標(biāo)的毀傷概率均只有90°落角時(shí)目標(biāo)毀傷概率的40%左右。目標(biāo)毀傷概率隨彈藥落角增大呈二次多項(xiàng)式形式升高。

4) 目標(biāo)毀傷概率隨打擊次數(shù)的增加而增大，效果明顯。在文中所選擇的計(jì)算條件下，若要求目標(biāo)毀傷概率大于50%，對于10 m×50 m的面目標(biāo)，至少需要打4發(fā)彈，而對于1 m×1 m的火力點(diǎn)目標(biāo)，則至少需要打3發(fā)彈。

5) 本文提出的方法給出彈道散布，瞄準(zhǔn)誤差，彈藥落角等對殺傷榴彈效能的影響規(guī)律，還可用于計(jì)算不同目標(biāo)在預(yù)期毀傷概率條件下的彈藥消耗量和評估低伸彈道武器殺傷榴彈的效能，可為確定密集度提供參考，為預(yù)測彈藥消耗量提供理論依據(jù)。