噪聲非高斯條件下基于最大相關(guān)熵準(zhǔn)則的容積濾波算法

張敬艷，修建娟，董 凱,2

(1.海軍航空大學(xué) 信息融合研究所， 山東 煙臺(tái) 264000；2.中國(guó)電子科學(xué)研究院，北京 100041)

1 引言

隨著現(xiàn)代雷達(dá)技術(shù)的快速發(fā)展，多普勒雷達(dá)在偵察監(jiān)視、火力控制等領(lǐng)域得到了廣泛應(yīng)用[1-2]。多普勒雷達(dá)能夠獲得目標(biāo)相對(duì)雷達(dá)的徑向速度信息，利用此信息能夠更加精確地跟蹤目標(biāo)，并為后續(xù)火力打擊提供支持。文獻(xiàn)[3]首先處理位置量測(cè)，然后利用位置濾波值獲得徑向速度量測(cè)的偽線性描述，通過(guò)Kalman濾波更新目標(biāo)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。由于不敏Kalman濾波(UKF)即無(wú)跡Kalman濾波對(duì)非線性不敏感，文獻(xiàn)[4]首先對(duì)距離量測(cè)和徑向速度量測(cè)進(jìn)行去相關(guān)處理，然后通過(guò)Kalman濾波和UKF依次處理線性位置量測(cè)和非線性徑向速度量測(cè)，獲得對(duì)目標(biāo)狀態(tài)的估計(jì)，并分析了不同的相關(guān)系數(shù)對(duì)估計(jì)結(jié)果的影響。文獻(xiàn)[5]利用轉(zhuǎn)換多普勒量測(cè)Kalman濾波分別從轉(zhuǎn)換多普勒量測(cè)和轉(zhuǎn)換位置量測(cè)獲得非線性偽狀態(tài)估計(jì)，并通過(guò)靜態(tài)最小均方誤差準(zhǔn)則融合上述2種估計(jì)值，獲得對(duì)目標(biāo)狀態(tài)的最終估計(jì)。以上方法均采用轉(zhuǎn)換量測(cè)方式進(jìn)行狀態(tài)濾波，由于量測(cè)非線性可通過(guò)不敏變換等手段進(jìn)行處理，文獻(xiàn)[6]提出了一種直接不敏卡爾曼濾波算法，并對(duì)其性能進(jìn)行了分析。

上述算法均假設(shè)量測(cè)噪聲服從高斯分布，但是，在實(shí)際應(yīng)用中，量測(cè)噪聲通常是非高斯的[7]，上述算法難以獲得較高的狀態(tài)估計(jì)精度。雖然粒子濾波能夠較好地解決量測(cè)非高斯問(wèn)題，但是其計(jì)算量較大，很難實(shí)現(xiàn)對(duì)狀態(tài)的實(shí)時(shí)估計(jì)[8]。從信息論的角度出發(fā)，文獻(xiàn)[9]分析了信息熵在處理非高斯信號(hào)時(shí)的性質(zhì)及應(yīng)用。針對(duì)線性非高斯系統(tǒng)，文獻(xiàn)[10]提出了一種最大相關(guān)熵Kalman濾波算法，實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明該算法能夠有效處理量測(cè)噪聲非高斯條件下的線性狀態(tài)濾波問(wèn)題。

由于多普勒雷達(dá)量測(cè)非線性，可考慮利用容積變換[11]近似濾波過(guò)程中出現(xiàn)的高斯加權(quán)積分；同時(shí)，由于量測(cè)噪聲非高斯，可利用最大相關(guān)熵準(zhǔn)則獲取估計(jì)誤差的高階矩，從而提高目標(biāo)狀態(tài)估計(jì)精度。綜合上述分析，在噪聲非高斯條件下，首先利用容積變換獲得偽量測(cè)矩陣，并根據(jù)統(tǒng)計(jì)誤差線性傳遞模型對(duì)量測(cè)方程進(jìn)行近似處理；然后基于最大相關(guān)熵準(zhǔn)則構(gòu)造代價(jià)函數(shù)，并通過(guò)固定點(diǎn)迭代更新目標(biāo)估計(jì)狀態(tài)，提出了一種基于最大相關(guān)熵準(zhǔn)則的容積濾波算法MCCKF，仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了所提MCCKF的有效性。

2 最大相關(guān)熵準(zhǔn)則

兩個(gè)隨機(jī)變量之間的廣義相似性可以用相關(guān)熵進(jìn)行度量[10,12]。給定2個(gè)隨機(jī)變量X,Y∈R，其聯(lián)合概率分布函數(shù)為FXY(x,y)，那么二者之間的相關(guān)熵可以定義為：

(1)

其中，E表示期望，κ(·,·)表示移位不變Mercer核函數(shù)。本文采用高斯核函數(shù)進(jìn)行相關(guān)計(jì)算，即

(2)

其中：σ>0表示高斯核帶寬。對(duì)式(2)所示的高斯核函數(shù)κ(x,y)進(jìn)行泰勒展開(kāi)，并代入式(1)，得到

(3)

從式(3)可以看出：相關(guān)熵是誤差X-Y偶數(shù)階矩的加權(quán)和。在核帶寬σ足夠大的情況下，相關(guān)熵的大小將由二階矩決定。

在實(shí)際應(yīng)用中，聯(lián)合概率分布函數(shù)為FXY(x,y)通常未知，只能得到有限的采樣數(shù)據(jù)集合{x,y}。此時(shí)，可利用樣本平均估計(jì)相關(guān)熵，即

(4)

(5)

3 問(wèn)題描述

考慮二維空間中的勻速直線運(yùn)動(dòng)目標(biāo)，其動(dòng)態(tài)方程為

xk+1=Fkxk+wk

(6)

利用多普勒雷達(dá)觀測(cè)目標(biāo)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，對(duì)應(yīng)的量測(cè)方程為

zk+1=h(xk+1)+vk+1

(7)

(8)

(9)

4 MCCKF算法推導(dǎo)

本節(jié)將最大相關(guān)熵準(zhǔn)則與統(tǒng)計(jì)線性回歸模型結(jié)合，推導(dǎo)了一種用于解決非線性非高斯系統(tǒng)狀態(tài)濾波的新方法。與最小均方誤差估計(jì)不同，相關(guān)熵考慮了誤差的二階及更高階矩。因而，在閃爍噪聲這類長(zhǎng)拖尾非高斯噪聲條件下，基于最大相關(guān)熵準(zhǔn)則能夠獲得相對(duì)更好的狀態(tài)估計(jì)性能，仿真實(shí)驗(yàn)部分對(duì)此進(jìn)行了驗(yàn)證，此處不再贅述。與CKF等Kalman類濾波器相似，MCCKF也分為時(shí)間更新與量測(cè)更新兩部分，具體如下：

(10)

(11)

根據(jù)容積求積分規(guī)則，對(duì)預(yù)測(cè)協(xié)方差Pk+1|k進(jìn)行Cholesky分解，獲得相應(yīng)的狀態(tài)采樣點(diǎn)

(12)

(13)

經(jīng)量測(cè)函數(shù)h(·)傳遞后的容積采樣點(diǎn)為

Zi,k+1|k=h(χi,k+1|k)

(14)

量測(cè)的一步預(yù)測(cè)值可以表示為

(15)

進(jìn)一步，狀態(tài)-量測(cè)交叉協(xié)方差可以表示為

(16)

因此，偽量測(cè)矩陣Hk+1可以表示為

(17)

根據(jù)統(tǒng)計(jì)誤差線性傳遞模型，量測(cè)方程(7)可以表示為

(18)

(19)

(20)

dk+1=Wk+1xk+1+ek+1

(21)

其中，

(22)

(23)

(24)

(25)

(26)

對(duì)JL(xk+1)求導(dǎo)數(shù)，并令

可以得到

其中，

將式(22)和式(23)代入式(27)，得到

(28)

(29)

利用矩陣求逆引理，并將式(28)和式(29)代入式(27)，得到

(30)

其中，

(31)

(32)

對(duì)應(yīng)的估計(jì)誤差協(xié)方差可以表示為

(33)

從式(21)、式(27)和式(30)可以看出，式(30)實(shí)際上是一個(gè)關(guān)于xk+1的固定點(diǎn)方程，即

xk+1=g(xk+1)

(34)

因此，可利用固定點(diǎn)迭代算法獲得式的解，即

(35)

(36)

(37)

綜上所述，通過(guò)引入最大相關(guān)熵準(zhǔn)則，并利用固定點(diǎn)迭代更新目標(biāo)的狀態(tài)估值，MMCKF可有效捕獲量測(cè)中的非高斯噪聲信息，實(shí)現(xiàn)濾波性能的提升，仿真實(shí)驗(yàn)對(duì)此進(jìn)行了驗(yàn)證。MCCKF算法的具體流程如下：

(2) 利用式(12)～式(17)計(jì)算偽量測(cè)矩陣Hk+1，并構(gòu)造式所示的統(tǒng)計(jì)誤差線性傳遞方程；

則執(zhí)行步驟(6)；反之，則繼續(xù)執(zhí)行步驟(4)，直至前后兩次迭代估計(jì)值滿足上述收斂條件。

(6) 更新估計(jì)誤差協(xié)方差

5 仿真實(shí)驗(yàn)

5.1 高斯量測(cè)噪聲

假設(shè)量測(cè)噪聲服從高斯分布，即vk+1～N(0,Rk+1)，得到各算法的估計(jì)結(jié)果如下：

從圖1和圖2可以看出：在高斯噪聲條件下，EKF、UKF和CKF的估計(jì)誤差相對(duì)較小，而所提MCCKF的估計(jì)誤差相對(duì)較大。此外，隨著高斯核帶寬σ的增加，所提MCCKF算法逐漸逼近CKF等的狀態(tài)估計(jì)性能。從圖 3可以看出：UKF和CKF的狀態(tài)估計(jì)一致性相對(duì)較高，而EKF、MCCKF類算法的估計(jì)一致性相對(duì)較差。

圖1 位置均方根誤差曲線

圖2 速度均方根誤差曲線

圖3 平均歸一化估計(jì)誤差平方曲線

進(jìn)一步，從表1可以看出：經(jīng)過(guò)少量的迭代，所提MCCKF算法便可實(shí)現(xiàn)收斂。從表2可以看出：隨著高斯核帶寬σ的增加，MCCKF的估計(jì)誤差逐漸減小，并逼近CKF等的估計(jì)結(jié)果。

表1 平均迭代次數(shù)隨帶寬σ的變化

表2 高斯噪聲條件下的估計(jì)誤差

5.2 非高斯量測(cè)噪聲

假設(shè)量測(cè)噪聲服從非高斯分布，即vk+1∶0.95N(0,Rk+1)+0.05N(0,50Rk+1)，得到各算法的估計(jì)結(jié)果如圖4～圖6所示。

從圖4可以看出，在非高斯噪聲環(huán)境下，與CKF等Bayes估計(jì)相比，MCCKF算法的位置估計(jì)誤差相對(duì)較小，且在σ=2時(shí)估計(jì)誤差最小。與圖4所示的結(jié)果相似，在圖5中，除少數(shù)時(shí)刻外，MCCKF算法的速度估計(jì)誤差較CKF等Bayes估計(jì)小。從估計(jì)一致性來(lái)看，圖6所示的結(jié)果表明：從k=20開(kāi)始，MCCKF算法的ANEES基本落在置信區(qū)間內(nèi)，而CKF等大部分時(shí)刻落在置信上界上方。因此，MCCKF算法的估計(jì)一致性相對(duì)較好。

圖4 位置均方根誤差曲線

圖5 速度均方根誤差曲線

圖6 平均歸一化估計(jì)誤差平方曲線

進(jìn)一步，表3比較了平均迭代次數(shù)與核帶寬σ的關(guān)系，結(jié)果表明：經(jīng)過(guò)少量的迭代，MCCKF便可實(shí)現(xiàn)收斂，從而不會(huì)造成計(jì)算量的大幅增加。表4比較了各算法的平均位置和速度估計(jì)誤差，可以看出，MCCKF的位置和速度估計(jì)誤差相對(duì)較小，且隨著高斯核帶寬σ的減小，估計(jì)誤差也逐漸減小，與高斯環(huán)境下的結(jié)果相反。因此，在高斯噪聲環(huán)境下，為獲得良好的狀態(tài)估計(jì)結(jié)果，應(yīng)選擇較大的核帶寬σ，而在非高斯噪聲環(huán)境下，應(yīng)選擇較小的核帶寬σ，以捕獲誤差的高階矩信息，從而實(shí)現(xiàn)對(duì)目標(biāo)狀態(tài)的高精度估計(jì)。

表3 平均迭代次數(shù)與帶寬σ的關(guān)系

表4 非高斯噪聲條件下的估計(jì)誤差

所提方法考慮了估計(jì)誤差的高階矩，的確帶來(lái)了計(jì)算成本的增加，從而造成計(jì)算量比CKF大。但是，實(shí)驗(yàn)結(jié)果證明：經(jīng)過(guò)少量(大約2次)固定點(diǎn)迭代，所提算法便可實(shí)現(xiàn)收斂，并且獲得相對(duì)較高的估計(jì)精度。因此，與CKF算法(不需要固定點(diǎn)迭代)相比，計(jì)算成本不會(huì)顯著增加。論文針對(duì)所提MCCKF算法在不同高斯核帶寬條件下的迭代次數(shù)進(jìn)行了比較，隨著高斯核帶寬的增加，收斂所需迭代次數(shù)逐漸減少，并不是說(shuō)算法的迭代次數(shù)比已有算法更少了。

6 結(jié)論

針對(duì)艦載多普勒雷達(dá)在非高斯量測(cè)噪聲環(huán)境下的非線性狀態(tài)濾波問(wèn)題，基于最大相關(guān)熵準(zhǔn)則和固定點(diǎn)迭代更新策略，提出了一種基于最大相關(guān)熵準(zhǔn)則的容積濾波算法MCCKF。仿真結(jié)果表明：在量測(cè)噪聲非高斯條件下，經(jīng)過(guò)少量的固定點(diǎn)迭代，MCCKF能夠獲得較已有CKF等Bayes方法更高精度的狀態(tài)估計(jì)結(jié)果，為解決多普勒雷達(dá)非線性非高斯?fàn)顟B(tài)濾波提供了一種新的解決思路。