敦煌《算經(jīng)》編撰年代及源流探析

任占鵬

內(nèi)容摘要：關(guān)于敦煌寫本《算經(jīng)》的編撰年代，有唐代說、五代說以及唐五代說，筆者結(jié)合韓延《夏侯陽算經(jīng)》，將其編撰年代推定在唐代宗建中元年之后的中晚唐或后唐?！端憬?jīng)》類算書的源流，前人多追溯至?xí)x代的《孫子算經(jīng)》。筆者通過對比，認(rèn)為北大秦簡《算書》甲篇是《孫子算經(jīng)》《算經(jīng)》的源頭，其內(nèi)容和結(jié)構(gòu)對后世算書的編撰有很大影響;《算經(jīng)》分門別類的編撰體式，是受北朝《算書》的影響，而北朝《算書》上承《孫子算經(jīng)》。由此，《算經(jīng)》類算書的源流和發(fā)展脈絡(luò)愈加明晰。

關(guān)鍵詞：敦煌寫本;《算經(jīng)》;《孫子算經(jīng)》;北大秦簡《算書》甲篇;北朝《算書》

中圖分類號：G256.1? 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A? 文章編號：1000-4106（2021）06-0107-09

On the Codification Era and Origins of the Suan Jing from

Dunhuang Documents

REN Zhanpeng

（Headquarters for Education， Hiroshima University， Higashi Hiroshimashi， Hiroshima 7398511， Japan）

Abstract：Scholars of Dunhuang Studies have traced the compilation of the Dunhuang manuscript Suan Jing， an ancient book on mathematics， either to the Tang dynasty， the Five Dynasties， or the period of overlap between the two dynasties. By comparing the text with Xiahouyang Suan Jing recorded by Han Yan， the author of this paper concludes that the Suan Jing was compiled in the mid to late Tang dynasty， either after the first year of the Jianzhong era or during the Later Tang period. The origins of arithmetic books like the Suan Jing have traditionally been traced back to the Sun Tzu Suan Jing from the Jin Dynasty. It is through similar historical comparison and analysis that the author believes that the “Jia” chapter of the Suan Shu （a similar mathematical treatise） from the Qin dynasty bamboo slips collected at Peking University is the source of both Sun Tzu Suan Jing and Suan Jing， and that the contents and structure of this earlier compilation had a crucial influence on the compilation of books on mathematics created in later times. The compilation style of Suan Jing was clearly influenced by the Suan Shu of the Northern Dynasty， which in turn inherited its structure from Sun Tzu Suan Jing. This process of inheritance is highly suggestive for the origins and development of Chinese treatises on mathematics.

Keywords：Dunhuang manuscript; Suan Jing; Sun Tzu Suan Jing; “Jia” chapter of Suan Shu in the Qin bamboo slips; Suan Shu of the Northern Dynasties

《算經(jīng)》，史籍未載，作者不明，幸賴敦煌莫高窟藏經(jīng)洞得以保存了6個(gè)卷號的寫本，可以綴合為兩件，為P.3349+S.5859、S.19+羽37+Дx.3903+

S.5779{1}。綴合后的兩件寫本的內(nèi)容依舊殘缺，按照現(xiàn)存內(nèi)容可以分為三部分：一是序文，二是以籌算識位法和乘除法、九九乘法歌、大數(shù)法、度量衡制為主的傳統(tǒng)基礎(chǔ)算學(xué)知識，三是“均田法第一”。一直以來學(xué)界多圍繞《算經(jīng)》的內(nèi)容和價(jià)值展開探討，且多涉及與《孫子算經(jīng)》《夏侯陽算經(jīng)》《五曹算經(jīng)》的對比，先后有李儼[1]、那波利貞[2]、李倍始（U.J.Libbrecht）[3]、趙承澤[4]、許康[5]、李并成[6]、王進(jìn)玉[7]、宮島一彥[8]、王渝生[9]、李迪[10]、劉鈍[11]、鄧文寬[12]等先賢的研究成果可供參考。

本文在先賢的基礎(chǔ)上，欲就以下兩個(gè)方面的問題展開討論：首先是《算經(jīng)》的編撰年代。李儼、那波利貞、許康、宮島一彥、郝春文、王進(jìn)玉雖對此提出了自己的觀點(diǎn)，但尚無定論，現(xiàn)在主要有唐代說、五代說以及唐五代說。筆者在校錄《算經(jīng)》寫本時(shí)，發(fā)現(xiàn)識位法中的部分內(nèi)容源自《夏侯陽算經(jīng)》，對于縮小編撰年代的范圍有重要價(jià)值。其次是《算經(jīng)》類基礎(chǔ)蒙書的源流。據(jù)先賢研究，《算經(jīng)》內(nèi)容多見于《孫子算經(jīng)》，表明《孫子算經(jīng)》就是《算經(jīng)》的源頭。2010年北京大學(xué)入藏的一批秦簡中，有《算書》甲篇210枚[13]，此書內(nèi)容、結(jié)構(gòu)與《孫子算經(jīng)》《算經(jīng)》非常類似。另外，敦煌文獻(xiàn)中尚有北朝《算書》一卷，結(jié)構(gòu)與《算經(jīng)》較為接近。這兩件資料對探究《算經(jīng)》的源流具有重要意義。接下來就以上兩個(gè)問題進(jìn)行討論，以求教于方家。

一 《算經(jīng)》編撰年代新探

關(guān)于《算經(jīng)》的編撰年代，李儼在1935年《中算書錄》中主張是開元、天寶年間[14]，然未說明，1938年在《唐代算學(xué)史》一文中稱唐代[15]，1955年又在《中算史論叢·宋代民間算學(xué)教育》中提及是唐末宋初[16]。那波利貞推斷為唐代昭宗大順二年（891）之前[2]。許康主張《算經(jīng)》寫于唐代或五代[5]。近年來，郝春文[17]、王進(jìn)玉[18]主張五代說。先賢的認(rèn)識尚不一致，下面依次對各觀點(diǎn)進(jìn)行分析。

李儼《唐代算學(xué)史》一文判斷《算經(jīng)》是唐代著作，主要依據(jù)有二：第一，《算經(jīng)》中“《大唐令》文：諸[度]以北方秬黍中者一黍之廣[為分]”一句與《唐律疏議》所載“《雜令》“度以秬黍中者一黍之廣為分”及《唐六典》所載“凡度以北方秬黍中者一黍之廣為分”的內(nèi)容相吻合{2};第二，《算經(jīng)》所載“五尺曰步”，與《舊唐書·職官志》所載“凡天下之田，五尺為步，步二百有四十為畝，畝百為頃”[19]的相關(guān)內(nèi)容一致。從李儼所舉材料來看，《算經(jīng)》的內(nèi)容符合唐制，那么它編撰于唐代的可能性很高。然而李儼又在《中算史論叢》中提出它是唐末宋初著作，但未說明。許康所依據(jù)材料與李儼類似，認(rèn)識卻略有不同。他指出《算經(jīng)》所載“五尺曰步”與唐代《夏侯陽算經(jīng)》所載相同，符合唐制，又結(jié)合李儼所列第一條材料，認(rèn)為《算經(jīng)》寫于唐代或五代。的確，五代的度量衡制基本延續(xù)自唐代，且后唐也有稱“大唐”{1}，所以不能排除《算經(jīng)》編撰于后唐的可能性。

郝春文先生進(jìn)一步主張五代說，依據(jù)有三：其一，唐人多稱《開元令》或《某某年令》，而不稱《大唐令》;其二，《算經(jīng)》量部末尾載“今云：廿粟為一圭”，與《大唐令》中“十粟為一圭”一句不同，透露出其時(shí)代在《大唐令》之后;其三，《算經(jīng)》中量制單位“抄”，唐代成書的《隋書·律歷志》中寫作“妙”，而成書于后晉的《舊唐書·食貨志》即寫作“抄”，似乎表明《算經(jīng)》的時(shí)代與《舊唐書》成書時(shí)代相近。筆者以為這三條依據(jù)皆有值得商榷之處。首先，唐杜佑《通典·職官》載：“大唐令：諸職事官年七十、五品以上致仕者，各給半祿?！盵20]此材料可證唐代當(dāng)朝有稱《大唐令》。其次，《算經(jīng)》中“又據(jù)《大唐令》文：諸[度]以北方秬黍中者一黍之廣[為分]”一句出現(xiàn)在度制內(nèi)容末尾，應(yīng)該是作為度制的補(bǔ)充介紹，而不能認(rèn)為《算經(jīng)》所載量制的“十粟為一圭”亦出自《大唐令》。而且“廿粟為一圭”的說法在傳世文獻(xiàn)中尚未發(fā)現(xiàn)，筆者以為它可能出自當(dāng)時(shí)的地方制度，可能是唐代，也可能是五代，所以不能根據(jù)這句話得出《算經(jīng)》的編撰年代在唐代之后的推測。最后，《隋書·律歷志》載：“《孫子算術(shù)》曰：‘六粟為圭，十圭為秒，十秒為撮，十撮為勺，十勺為合?！盵21]其中作“秒”字，而非“妙”字。《隋書》中作“秒”，可能是“抄”字之訛，而且古籍傳本用字不一非常多見，實(shí)難據(jù)此來推測《算經(jīng)》的時(shí)代。王進(jìn)玉亦認(rèn)為是五代，然不知所由?？傊袁F(xiàn)有的證據(jù)來看，并不能排除《算經(jīng)》編撰于唐代的可能，還是唐代或后唐時(shí)期更為穩(wěn)妥。

日本學(xué)者那波利貞還提出唐昭宗大順二年（891）之前說。那波氏得出此結(jié)果的前提是《算經(jīng)》和P.2667《算書》是同一本書，P.2667背有題記“大順二年十一月”（按：該題記為“大順三年十二月”，那波氏校錄有誤）?！按箜槨笔翘普炎谀晏?，那波氏進(jìn)而推測出《算書》和《算經(jīng)》的編撰年代應(yīng)該早于大順二年。但是，《算經(jīng)》和P.2667《算書》不是同一本書，這一點(diǎn)先賢已有論斷。如許康主張《算書》可能出自北朝[5];菊池英夫推斷《算書》的編撰年代在北朝到唐初之間[22];郭正忠更是經(jīng)過對《算書》各題內(nèi)容的詳細(xì)考證，判斷它是北朝著作[23]。王進(jìn)玉支持郭正忠之說[18]79-80。可見《算書》的編撰年代早于《算經(jīng)》似乎已成定論，二者實(shí)非一書，因此那波氏的立論基礎(chǔ)就不成立了。

從先賢所舉材料來看，《算經(jīng)》的編撰年代應(yīng)該在唐代或后唐，而筆者重新校錄P.3349《算經(jīng)》之后，發(fā)現(xiàn)一條資料對于判斷其編撰年代上限有幫助。P.3349中識位法緊接在序文之后，僅有三行，行末皆殘缺，李儼的錄文如下：“凡算者正身端坐，一從右膝而起，先識其位，一縱十橫，百立千僵，萬百相似，千十相望。六不積聚，五不單張。算 乘之法，十步至十，百步至百，千步至千，萬步至萬。乘除之法，言十自過，不滿自當(dāng)，相 乘至盡則已。 ”[24]“先識其位，一縱十橫，百立千僵”一句，李儼所補(bǔ)應(yīng)該無誤，但是“算乘之法，十步至十，百步至百，千步至千，萬步至萬”一段的校補(bǔ)，筆者以為值得商榷。依據(jù)IDP彩圖，可見寫本“萬步至萬”一句之前二字明顯作“百見”，結(jié)合起來應(yīng)該作“百，見萬步至萬”，而與這句話類似的內(nèi)容出現(xiàn)在《夏侯陽算經(jīng)》中?！断暮铌査憬?jīng)·明乘除法》載：“夫乘除之法，先明九九。一縱十橫，百立千僵。千十相望，萬百相當(dāng)……言法之上，見十步至十，見百步至百，見千步至千，見萬步至萬。悉觀上數(shù)，以安下位。上不滿十，下不滿一?！盵25]據(jù)此，筆者把《算經(jīng)》“五不單張”一句之后的內(nèi)容校補(bǔ)作：“算 法 □□□，見十步至十，見百步至 百，[見千步至千]，見萬步至萬。”因此可以推斷出《算經(jīng)》這段話其實(shí)出自《夏侯陽算經(jīng)》。另外，《算經(jīng)》量制的“十粟為一圭”，與《孫子算經(jīng)》所載“六粟為一圭”不同，而與《夏侯陽算經(jīng)》一致，為《算經(jīng)》有參考《夏侯陽算經(jīng)》的又一例證。錢寶琮經(jīng)過考證，認(rèn)為傳世本《夏侯陽算經(jīng)》是唐人韓延大約在唐代宗建中元年（780）兩稅法施行以后編撰的[26]。若錢氏考證無誤的話，那么《算經(jīng)》的編撰年代應(yīng)該在韓延《夏侯陽算經(jīng)》之后。也就是說，《算經(jīng)》的具體編撰年代應(yīng)該是在唐代宗建中元年之后的中晚唐或者后唐時(shí)期。

二 《算經(jīng)》的源流探析

利用北大秦簡《算書》甲篇、敦煌寫本北朝《算書》，結(jié)合《孫子算經(jīng)》，對《算經(jīng)》的源流試作探析，以期對唐以前算學(xué)蒙書的發(fā)展過程有更多認(rèn)識。

從李儼、那波利貞、許康等學(xué)者的論述中，可知《算經(jīng)》序文、度量衡制、大數(shù)法、識位法、九九乘法歌等的內(nèi)容多源自《孫子算經(jīng)》。這里對二者內(nèi)容結(jié)構(gòu)和性質(zhì)的相同點(diǎn)作一點(diǎn)說明?！秾O子算經(jīng)》的編撰年代大約在公元400年前后[25]275，唐人多有修訂[26]104。傳世本《孫子算經(jīng)》分為序、卷上、卷中、卷下，卷上內(nèi)容依次為度量衡制、大數(shù)法、金屬比重、識位法和乘除之法、九九乘法歌;卷中和卷下是各種算題?，F(xiàn)存《算經(jīng)》的內(nèi)容依次為序文、識位法和乘除法、九九乘法歌、大數(shù)法、度量衡制、九九乘法歌、田畝算題。可見二者內(nèi)容結(jié)構(gòu)高度相似。二者都是基礎(chǔ)算書。錢寶琮認(rèn)為：“《孫子算經(jīng)》卷上首先敘述竹籌記數(shù)的縱橫相間制和乘除法則，卷中說明分?jǐn)?shù)算法和開平方法，這些不僅在當(dāng)時(shí)達(dá)到了普及數(shù)學(xué)教育的目的……卷中和卷下所選的應(yīng)用問題大都切于民生日用，解題方法亦淺近易曉?！盵25]275-276那波利貞認(rèn)為《算經(jīng)》和《孫子算經(jīng)》的內(nèi)容都是唐代普通人日常實(shí)際生活中最低限度的算術(shù)知識，是可以在寺塾、鄉(xiāng)學(xué)、里學(xué)等學(xué)校中使用的庶民普通教育的教材[2]。王渝生指出敦煌算書的數(shù)學(xué)水平與著名的十部算經(jīng)中的《孫子算經(jīng)》《五曹算經(jīng)》和《夏侯陽算經(jīng)》大致相當(dāng)[9]。因此從內(nèi)容結(jié)構(gòu)和性質(zhì)來看，我們可以斷定《算經(jīng)》上承自《孫子算經(jīng)》。

除此以外，北大秦簡《算書》甲篇內(nèi)容和結(jié)構(gòu)與《孫子算經(jīng)》《算經(jīng)》較為接近，敦煌本《算書》所存部分也與《算經(jīng)》的“均田法第一”結(jié)構(gòu)類似，對于它們之間的聯(lián)系，學(xué)界尚未充分關(guān)注。

（一）北大秦簡《算書》甲篇與《孫子算經(jīng)》《算經(jīng)》的關(guān)聯(lián)

北京大學(xué)入藏的秦簡與算學(xué)相關(guān)的有4卷，即卷3、卷7、卷8和卷4的一部分。卷7和卷8的內(nèi)容、形式類似，是關(guān)于田畝、租稅計(jì)算的算書，存篇名《田書》。卷3和卷4的一部分是以各種算術(shù)和相關(guān)算題為主，未存篇名，韓巍擬題作《算書》。卷4中的《算書》又分作甲、乙兩篇。甲篇210枚簡，可以分為四個(gè)部分，依次為《魯久次問數(shù)于陳起》、九九乘法歌、算題匯編、衡制[13]。這些內(nèi)容讓筆者聯(lián)想到了《孫子算經(jīng)》《算經(jīng)》，它們的聯(lián)系值得深入探究。

對于《算書》甲篇，前人的目光多集中在開頭的《魯久次問數(shù)于陳起》，不斷探究其文意與其他文獻(xiàn)的關(guān)系。郭書春和郭世榮的論述涉及了該文與《孫子算經(jīng)》序文的一些異同點(diǎn)[27]。郭書春認(rèn)為二者在強(qiáng)調(diào)“數(shù)”的作用方面有一定相似性。郭世榮認(rèn)為陳起是從實(shí)際出發(fā)，論述平實(shí)，而《孫子算經(jīng)》所述比較夸張和張揚(yáng)。先賢雖然已經(jīng)論及一些《魯久次問數(shù)于陳起》與《孫子算經(jīng)》序文的異同點(diǎn)，但是未能說明。下面具體來看看此文與《孫子算經(jīng)》《算經(jīng)》序文的關(guān)系。

《魯久次問數(shù)于陳起》共32枚竹簡，816字，原無篇題，韓巍取其篇首命名，簡稱為“《陳起》篇”起自“魯久次問數(shù)于陳起”，終于“所求者毋不有也”{1}，包括魯久次的三次提問和陳起的三次回答;通過問對，論述了數(shù)學(xué)的起源、作用和意義。魯久次的三次提問，分別引出三個(gè)問題：第一問是“久次讀語、計(jì)數(shù)弗能并撤，欲撤一物，何物為急”，第二問是“天下之物，孰不用數(shù)”，第三問是“臨官蒞政，立度興事，何數(shù)為急”。其中第二問和第三問的部分內(nèi)容皆可在《孫子算經(jīng)》《算經(jīng)》的序文中找到相關(guān)內(nèi)容，見表1。

《算經(jīng)》序文大部分內(nèi)容與《孫子算經(jīng)》相似，經(jīng)過對比，二者的聯(lián)系明顯有三：

其一，二者都借用天地、日月、四時(shí)等宏大又不可缺少的事物來說明數(shù)學(xué)的重要性?！遏斁么螁枖?shù)于陳起》第二問中“天下之物，無不用數(shù)者。夫天所蓋之大也，地所生之眾也，歲四時(shí)之至也，日月相代也，星辰之往與來也，五音六律生也，畢用數(shù)”，這段話所論之“天”“地”“四時(shí)”“日月”“星辰”等，都能在《孫子算經(jīng)》序文“夫算者，天地之經(jīng)緯，群生之元首，五常之本末，陰陽之父母，星辰之建號，三光之表里，五行之準(zhǔn)平，四時(shí)之終始，萬物之祖宗，六藝之綱紀(jì)”中找到對應(yīng)的內(nèi)容，都是從宏觀的角度表達(dá)“數(shù)”的重要意義。

其二，二者都宣揚(yáng)數(shù)學(xué)對人們?nèi)粘Ｉa(chǎn)生活的重要意義?！遏斁么螁枖?shù)于陳起》第二問中“地方三重，天圓三重，故曰三方三圓，規(guī)矩水繩、五音六律六閑皆存”這段話對應(yīng)著《孫子算經(jīng)》序文的“立規(guī)矩，準(zhǔn)方圓”。第三問中從“不循昏黑，澡漱潔齒”到“各有所宜，非數(shù)無以知之”一大段話，是從現(xiàn)實(shí)的角度表達(dá)“數(shù)”在日常生活、生產(chǎn)、營造、軍事等方面不可缺少的?！秾O子算經(jīng)》序文濃縮為“謹(jǐn)法度，約尺丈，立權(quán)衡，平重輕，剖毫厘，析黍絫”數(shù)語，更為精煉罷了。

其三，兩者都有明顯的勸學(xué)意圖?！遏斁么螁枖?shù)于陳起》第三問末尾的“（隸首）者算之始也，少廣者算之市也，所求者毋不有也”，這幾句話與《孫子算經(jīng)》序文末尾的“向之者富有余，背之者貧且窶”所表達(dá)的含義類似，旨在告訴學(xué)習(xí)者算學(xué)是成功的階梯。

由此可見，《魯久次問數(shù)于陳起》所表達(dá)的算學(xué)意義和價(jià)值，基本可以在《孫子算經(jīng)》序文中找到對應(yīng)的部分，可以說前者是后者的源頭。不同的是前者以問答方式展開，解答細(xì)致;后者則借用“孫子”之口進(jìn)行述說，注重簡要。從學(xué)習(xí)者的角度看，后者容易記誦，更為實(shí)用。

另外，《魯久次問數(shù)于陳起》第三問中還提道：“民而不知度數(shù)，譬猶天之毋日月也。天若毋日月，毋以知明晦。民若不知度數(shù)，無以知百事經(jīng)紀(jì)。”這段話讓筆者聯(lián)想到了《算經(jīng)》序文末尾的“言人不解算者，如天無日月，地?zé)o泉源，人無眼目”。二者都強(qiáng)調(diào)了算學(xué)的重要意義，涉及內(nèi)容和形式有一定的相似性，說明它們有淵源關(guān)系。《孫子算經(jīng)》的編撰時(shí)代在《魯久次問數(shù)于陳起》與《算經(jīng)》之間，而傳世本序文中卻沒有這段類似的內(nèi)容，似存在傳播過程中亡佚的可能。

總之，可以確定的是《魯久次問數(shù)于陳起》就是《孫子算經(jīng)》《算經(jīng)》序文的源頭，這對探究《孫子算經(jīng)》序文的形成具有啟示性，而且可知《孫子算經(jīng)》和《算經(jīng)》所表達(dá)的數(shù)學(xué)思想早在秦代就已經(jīng)形成。

《算書》甲篇中《魯久次問數(shù)于陳起》之后的內(nèi)容，僅韓巍《北大秦簡中的數(shù)學(xué)文獻(xiàn)》一文有所介紹，尚未有學(xué)者與《孫子算經(jīng)》《算經(jīng)》做過對比。

《算書》甲篇的第二部分是九九乘法歌，韓巍稱之為“九九術(shù)”，共八枚簡，上下五欄抄寫，起自“九九八十一”，終于“一一而二”，共三十七句，后接算題，其內(nèi)容和形式與里耶、敦煌、居延等地出土的九九乘法歌基本相同，只是缺了“二半而一”一句?！秾O子算經(jīng)》中的九九乘法歌是在度量衡制、大數(shù)法等之后，算題之前?！端憬?jīng)》有兩篇九九乘法歌，第一篇在序文和識位法之后、大數(shù)法之前;第二篇在度量衡制之后、田畝算題之前?？梢娙緯芯啪懦朔ǜ璧奈恢孟嗨?。不過，《孫子算經(jīng)》《算經(jīng)》九九乘法歌已經(jīng)發(fā)展為四十五句的“小九九”，且在歌訣后添加了加法、除法、平方運(yùn)算，內(nèi)容更為豐富。

《算書》甲篇的第三部分是算題匯編，內(nèi)容以田畝和田租方面的算題和相應(yīng)算術(shù)為主，現(xiàn)存標(biāo)題有“田”“租禾”“租枲”“不為實(shí)”等，概括了本組算題的內(nèi)容。算題結(jié)構(gòu)可分三類：一是先以“某某述（術(shù)）曰”或“曰某某述（術(shù)）”開頭，陳述算術(shù)，然后列舉例題;二是先舉例題，然后用“某述（術(shù)）曰”說明算術(shù);三是僅有算術(shù)而無例題，如“乘分”“合分”“約分”等分?jǐn)?shù)運(yùn)算。這種內(nèi)容形式和算題結(jié)構(gòu)為后來的《九章算術(shù)》《孫子算經(jīng)》《五曹算經(jīng)》《夏侯陽算經(jīng)》《算經(jīng)》等算書所繼承。具體到《孫子算經(jīng)》《算經(jīng)》，算題都是以“今有……問……”的形式提出問題，以“答曰……”或“曰……”的形式公布答案，最后用“術(shù)曰……”的形式講述算法和計(jì)算過程。

《算書》甲篇的第四部分是衡制，包括石、鈞、斤、兩、錙、銖等單位的相互換算，如“一石而四鈞”“一鈞而卅斤”等，形式上與《孫子算經(jīng)》《算經(jīng)》的度量衡制相近。不同的是，《算書》甲篇僅有衡制，且其中單位換算用“而”字連接，而后兩者度量衡制齊備，單位換算多用“為”字連接。

綜上所述，《算書》甲篇中的《魯久次問數(shù)于陳起》其實(shí)可以看作是其序文，緊接著是九九乘法歌、算題匯編、衡制。除了衡制的順序，可以說內(nèi)容和形式與《孫子算經(jīng)》《算經(jīng)》相似度很高，證明了《算書》甲篇就是《孫子算經(jīng)》《算經(jīng)》的源頭。

（二）北朝《算書》與《孫子算經(jīng)》《算經(jīng)》的關(guān)聯(lián)

關(guān)于敦煌寫本P.2667《算書》，前人已注意到其“營造部第七”“□□部第九”的部名以及算題形式與《算經(jīng)》“均田法第一”有諸多相似之處，那波利貞便以為它可能是P.3349《算經(jīng)》的一部分[2]。那么它與《孫子算經(jīng)》《算經(jīng)》又有怎樣的聯(lián)系呢？

P.2667《算書》，首尾俱缺。原件無題，李儼最早稱之為《算書》。許康[5]、郭正忠[23]皆證明它是北朝著作。故本文稱之“北朝《算書》”。那波利貞認(rèn)為它和《算經(jīng)》一樣，是唐代鄉(xiāng)校的俚儒編纂的作為教授普通庶民的一般教科書[2]。宮島一彥認(rèn)為它是初級的數(shù)學(xué)問題集[8]，李并成說它是用于學(xué)?；蚣役咏逃某跫墧?shù)學(xué)課本[6]?？梢娖湫再|(zhì)和《孫子算經(jīng)》《算經(jīng)》非常類似。

該算書現(xiàn)存計(jì)有算題13道，第2題之后有部名“營造部第七”，第10題之后有部名“□□部第九”，各題的結(jié)構(gòu)是以“今有……”開頭的題目，然后是以“△問：……”的形式提出問題，接著用“△曰：……”的形式給出答案，最后是“△

術(shù)：……”的形式給出算法。這一形式與《孫子算經(jīng)》《算經(jīng)》相似。其算題涉及內(nèi)容包括民食、軍需、營造、生產(chǎn)，具體問題有人口食量、馬匹食量、塹和堤的營造、建屋用瓦、衣袍制造、城防建設(shè)、軍隊(duì)出征、生活物品生產(chǎn)（作枕、燃蠟），與普通人的日常生活關(guān)系不大，而是與官吏的行政和軍事工作、社會(huì)生產(chǎn)的關(guān)系更為密切?！秾O子算經(jīng)》卷中也有類似的工程營造（圓窖、方窖、索、堤、溝、筑城、穿渠）、生活物品生產(chǎn)（作枕、織布）等。二者相近的算題對比可見表2。

表2所舉算題為建屋用瓦、方木作枕、修建堤壩三題，二者的數(shù)據(jù)基本相同、算法近似，可以確認(rèn)北朝《算書》的這些算題源自《孫子算經(jīng)》。但是《孫子算經(jīng)》未分部，而《算書》中“營造部第七”和“□□部第九”兩個(gè)部名的出現(xiàn)表明它更有體系。姜亮夫在《敦煌——偉大的寶藏》中指出：“這種分類編輯法，本是六朝以來類書體式，也是適應(yīng)當(dāng)時(shí)民間需要而作的。”[29]可見《算書》采用的分類體式，顯然順應(yīng)時(shí)代，受到了類書編撰體式的影響，較之《孫子算經(jīng)》是進(jìn)步的體現(xiàn)。

《算書》雖是北朝著作，但敦煌寫本的字體是正楷，抄寫時(shí)代應(yīng)該是唐代，背面是社司轉(zhuǎn)帖、字跡清晰的三件狀稿和《千字文》以及題記“大順三年（892）十二月”，對比正背面書寫情況，正面的《算書》是較為正式的抄寫，而背面帶有雜寫性質(zhì)，所以推測《算書》的書寫年代在前，背面內(nèi)容在后，那么敦煌本北朝《算書》的書寫年代當(dāng)在唐代大順三年之前{1}。

北朝《算書》一直到唐代還在敦煌地區(qū)流傳，它應(yīng)該對《算經(jīng)》的編撰產(chǎn)生過一定的影響。下面從內(nèi)容形式和寫本特征兩方面分析二者的異同點(diǎn)。

首先，二者的編撰形式具有相似性。北朝《算書》的部名“營造部第七”“□□部第九”與《算經(jīng)》部名“均田法第一”有一致性，都采用類書的編撰體式而且二者算題的形式也基本相同，都分為題目、提問、答案、算法四部分，前者當(dāng)是后者體式之濫觴。順便一提，宮島一彥根據(jù)題目的相關(guān)性，推測《算書》的每部皆由4道題構(gòu)成[8]，即現(xiàn)存第1題和第2題屬于“某某部第六”，第3題到第6題屬于“營造部第七”，第7題到第10題屬于抄寫過程中脫掉的“某某部第八”，第11題到第13題屬于“□□部第九”。此說頗有道理。但是《算經(jīng)》“均田法第一”最少有10道算題，與宮島氏所推測出的《算書》每部由4道題構(gòu)成的結(jié)構(gòu)不同。

其次，二者的寫本特征具有相似性。寫本都留有天頭地腳，有界欄，行約35字，總的抄寫方式類似，但是二者字跡不一，非同一人所抄。

經(jīng)過對比可知，《算經(jīng)》中算題分門別類的結(jié)構(gòu)形式非原創(chuàng)，而是承自北朝《算書》。北朝《算書》在唐代還在流行，甚至和《算經(jīng)》一起流行于敦煌地區(qū)，因此不排除《算經(jīng)》的編撰者直接參考《算書》的可能。遺憾的是，《算書》和《算經(jīng)》都缺失大半，難以了解它們的全貌。

小 結(jié)

《算經(jīng)》的編撰年代當(dāng)在唐代或后唐，考慮到其識位法的部分內(nèi)容引自韓延編撰的《夏侯陽算經(jīng)》，因此筆者以為將它的具體編撰年代放在唐代宗建中元年之后的中晚唐或后唐更為穩(wěn)妥。關(guān)于《算經(jīng)》的源流，先賢多追溯到兩晉時(shí)期的《孫子算經(jīng)》，筆者通過比對出土秦代簡牘，始知早在秦代就已經(jīng)出現(xiàn)這類算書的先河?！秾O子算經(jīng)》的序文實(shí)際脫胎自北大秦簡甲篇《算書》甲篇的《魯久次問數(shù)于陳起》，可知其序文所表達(dá)的數(shù)學(xué)思想早在秦代就已經(jīng)形成;《孫子算經(jīng)》內(nèi)容結(jié)構(gòu)也和北大秦簡甲篇《算書》非常類似，是知北大秦簡《算書》甲篇便是《孫子算經(jīng)》的源頭。敦煌本北朝《算書》繼承《孫子算經(jīng)》而發(fā)展，且受到當(dāng)時(shí)類書體式的影響，對算題按照種類進(jìn)行了分部。唐五代的《算經(jīng)》可謂博采眾長，內(nèi)容上主要受《孫子算經(jīng)》影響，而又吸取了《夏侯陽算經(jīng)》的部分內(nèi)容，結(jié)構(gòu)上繼承北朝《算書》，分門別類。從秦簡《算書》甲篇、《孫子算經(jīng)》、北朝《算書》到《算經(jīng)》，可以搭建起一條此類基礎(chǔ)算書從秦代到唐五代的基本發(fā)展脈絡(luò)。

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