太陽風(fēng)湍流強閃爍信道下BPSK誤碼率閉式近似

楊露露 胡圣波，2 莫金容 蔡嘉楠

（1. 貴州師范大學(xué)智能信息處理研究所，貴陽 550001；2. 國家空間科學(xué)中心，北京 100190）

引 言

過去幾十年，人類對太陽觀測的散射和無線電掩星實驗主要集中在S波段、X波段和Ka波段[1-4]，即將發(fā)射的太陽風(fēng)-磁層相互作用全景成像衛(wèi)星(solar wind magnetosphere ionosphere link explorer,SMILE)工作頻段采用的也是X波段[5]. 以往的太陽觀測實驗表明，工作在這些頻段的深空探測器發(fā)送的無線電波穿過太陽日冕時，由于受到太陽風(fēng)湍流的影響，地面接收到的遙測信號會出現(xiàn)幅度閃爍、譜展寬和時延等現(xiàn)象.

事實上，當(dāng)無線電波在深空中傳播時，接收信號產(chǎn)生閃爍現(xiàn)象，都是由太陽日冕向外發(fā)出的充滿行星際空間的等離子體流折射率的隨機性引起的.從本質(zhì)上看，太陽風(fēng)具有湍流特性，其擾動的能譜呈現(xiàn)出湍流理論所描述的冪律譜形式[6-7]. 但是太陽風(fēng)湍流不同于過去學(xué)術(shù)界熟悉的流體湍流，其本質(zhì)仍只能通過航天器發(fā)射的無線電信號穿過太陽風(fēng)，分析、反演接收信號得到[4,8]. 從這一點看，研究太陽風(fēng)湍流信道對太陽觀測無疑具有很重要的價值，同時有助于深空遙測系統(tǒng)的分析和設(shè)計.

目前，許多研究者致力于研究太陽閃爍對深空通信鏈路的影響. Feria等人利用太陽閃爍對X和Ka波段信號的影響觀測數(shù)據(jù)，首次提出了擬合太陽閃爍指數(shù)模型[9]，為Rician信道模型下鏈路性能的計算提供了潛在的應(yīng)用[10]. Morabito等人闡述了卡西尼號2000年在太陽上合期間的太陽閃爍效應(yīng)對電波傳播影響的研究[11]. 文獻[12]利用非Kolmogorov模型計算了無線電波在日冕湍流中的閃爍指數(shù)，分析了日冕參數(shù)對閃爍指數(shù)和誤碼率性能的影響. Xu Guanju提出了基于弱日冕湍流信道下的振幅波動Gamma-Gamma分布模型，導(dǎo)出了自由空間光學(xué)鏈路誤碼率的解析表達式[13]. 此外，本文團隊前期工作主要圍繞弱太陽閃爍下的Rician信道進行了研究[14-15].

上述文獻都是在弱太陽閃爍下進行信道模型研究，在強太陽閃爍條件下不具備普適性，所以難以在強太陽閃爍條件下進行信道分析. 目前國內(nèi)外關(guān)于強太陽閃爍信道模型的研究很少，也沒有相關(guān)的誤碼率性能分析. 因此，建立適應(yīng)于強太陽閃爍信道模型，研究其誤碼率性能，有助于深空遙測系統(tǒng)的分析和設(shè)計.

與太陽風(fēng)一樣，大氣也具有湍流特性. 描述大氣湍流信道的統(tǒng)計模型主要有對數(shù)正態(tài)分布、ΓΓ分布、K分布、I-K分布等. 其中，根據(jù)大氣弱湍流及強湍流條件，Trung等人分別采用對數(shù)正態(tài)模型和ΓΓ模型，研究了自由空間光多輸入多輸出(multipleinput multiple-output, MIMO)通信系統(tǒng)不同配置對平均信道容量的影響[16]；Le等人研究了ΓΓ分布大氣湍流信道下自由空間光通信差錯控制問題[17]；Olanrewaju等人則研究了光空間調(diào)制性能[18]；NISTAZAKIS等人分別分析了K分布、I-K大氣湍流信道下自由空間光鏈路的中斷容量[19]. 但是，在這些統(tǒng)計分布模型中，普遍認(rèn)為對數(shù)正態(tài)分布比較適合描述弱大氣湍流信道[20]1703，而從理論和實驗數(shù)據(jù)一致性看，對于強湍流，K分布更適合描述大氣湍流信道[21]. 當(dāng)然，這些統(tǒng)計分布模型都考慮了大氣隨機介質(zhì)折射率結(jié)構(gòu)參數(shù).

K分布模型建模強湍流已成功應(yīng)用于大氣散射和電離層閃爍[22-23]，由于電離層閃爍與太陽閃爍具有一定的相似性，所以參考電離層信道的建模有助于對太陽風(fēng)湍流強閃爍信道進行建模. 本文借鑒大氣湍流信道研究經(jīng)驗，通過分析太陽風(fēng)湍流引起的遙測信號幅度閃爍特性，建立了遙測鏈路太陽風(fēng)湍流強閃爍信道K分布模型；利用Laguerre正交多項式，完成信道K分布近似，研究參數(shù)β對分布近似KL(Kullback-Leibler)散度的影響，并給出太陽風(fēng)湍流強閃爍信道下二進制相移鍵控(binary phase shift keying，BPSK)誤碼率閉式近似. 本文研究可為深空遙測系統(tǒng)的分析和設(shè)計提供一些理論依據(jù).

1 太陽風(fēng)引起的遙測信號幅度閃爍

1.1 U函數(shù)

當(dāng)深空探測器發(fā)送的無線電波穿過太陽日冕時，受到太陽風(fēng)湍流的影響，地面接收的遙測信號性能會下降，特別是在行星上合期間，當(dāng)太陽-深空探測器-地球(sun-earth-probe, SEP)夾角較小時，有可能無法建立可靠的傳輸鏈路，如圖1所示[14]245. 圖1中R是太陽中心距L的最小距離，L=L1+L2，θ即SEP夾角.

根據(jù)Armstrong和Woo提出的理論模型，假設(shè)深空探測器發(fā)射的單色平面波信號穿過太陽風(fēng)拋射的多層帶電粒子，并由地球站接收[24-25]. 接收到的遙測信號出現(xiàn)幅度閃爍現(xiàn)象，這種閃爍現(xiàn)象可用散射理論中的U函數(shù)描述[3]7：

式中：re是電子半徑；λ是波長；l′是沿信號傳輸路徑從地球到積分點之間的距離；L是總信號傳輸距離；是帶電粒子密度擾動水平；q是波數(shù)；z=(L?l′)l′/L是到屏的有效距離；Γ(·)是Gamma函數(shù)；p是折射率指數(shù)波動譜的冪律指數(shù)，對應(yīng)于太陽風(fēng)隨機介質(zhì)折射率結(jié)構(gòu)參數(shù).

圖1 上合期間無線電波穿過日冕區(qū)時的幾何圖Fig. 1 Geometrical diagram of radio waves passing through the corona zone during the upper closing period

式(1)散射模型中，假設(shè)帶電粒子(電子密度)不規(guī)則性的三維空間譜是各向同性的，并具有如下形式[3]7：

式中：r是太陽到信號路徑積分點的距離；R0是太陽半徑.

類似于Kolmogorov湍流，其單位為m?6.67[1]4.

1.2 閃爍指數(shù)

信號幅度閃爍程度可用閃爍指數(shù)m描述. 閃爍指數(shù)m可從觀測到的遙測時間信號計算得到，并可定義為接收信號強度起伏的均方根值與接收信號強度均值之比，即如記接收信號強度起伏為If=I?〈I〉，則[26]

式中，I是接收信號強度. 而m與U函數(shù)的關(guān)系為[3]7

根據(jù)不同的U值，受太陽風(fēng)湍流影響，遙測信號幅度閃爍可分為三類：①U?1，m?1時，對應(yīng)于弱閃爍；②m→1，對應(yīng)于飽和區(qū)；③m>1，對應(yīng)于強閃爍. 從1.1節(jié)分析可見，影響閃爍強度大小的因素很多，其中最主要的因素是太陽與遙測鏈路的距離和頻率. 例如，當(dāng)SEP角減小時，閃爍指數(shù)會增加直到飽和，即使SEP角進一步減小，m值也不再增加. 對于X頻段(8.4 GHz)，當(dāng)SEP角為0.6°左右時，即進入飽和區(qū)，而對于Ka頻段(32 GHz)，當(dāng)SEP角為1.1°左右時，即進入飽和區(qū)[3]2.

此外，在某些情況下，給定一個SEP角，如果已知一個頻段的閃爍指數(shù)，則可估計另一個頻段的閃爍指數(shù)，由于[1]5

因此，如果X和Ka頻段的閃爍指數(shù)分別為mX和mKa， 則有

由式(8)知，對于Kolmogorov湍流，p=11/3，mKa/mX約為0.15.

2 遙測鏈路太陽風(fēng)湍流強閃爍信道模型

長期以來，太陽風(fēng)湍流特性，不管是湍流強度，電子密度起伏，還是太陽風(fēng)速度，一直都是研究熱點.究其原因還是對太陽風(fēng)知之甚少，而多是依靠少量探測數(shù)據(jù)進行研究[27]，如太陽風(fēng)湍流的數(shù)值仿真. 太陽風(fēng)湍流的數(shù)值仿真主要依據(jù)太陽風(fēng)磁流體動力學(xué)機理(magneto-hydrodynamic, MHD)和太陽觀測數(shù)據(jù)，Goldstein等人采用阿爾芬脈動的串級理論[28]、Franci等人應(yīng)用混合編碼電流超前法(current advance method et cycLIc leApfrog, CAMELIA)演算法完成了太陽風(fēng)湍流的三維仿真[29]，Robert等人則根據(jù)太陽風(fēng)湍流空間譜和熱力學(xué)演進原理開展了2.5維的太陽風(fēng)湍流數(shù)值仿真[30]. 綜上可知，遙測鏈路太陽風(fēng)湍流信道模型的建立可依據(jù)有關(guān)理論和太陽觀測數(shù)據(jù).

2.1 太陽風(fēng)湍流強閃爍信道的K分布模型

以BPSK為例，對于深空探測遙測系統(tǒng)，接收到的信號可表示為

式中：P是遙測系統(tǒng)發(fā)射機功率；h(t)是太陽風(fēng)湍流引起的信道閃爍(衰落)增益；x(t)∈{?1,+1}是發(fā)射的信號；是0均值加性高斯白噪聲. 當(dāng)h(t)的概率密度函數(shù)為K分布時，太陽風(fēng)湍流信道即為K分布信道，此時h(t)的概率密度函數(shù)表達式為[31]5

式中：Kn(·)是第二類修正貝塞爾函數(shù)；b=α/μ，其中μ是平均強度，α是太陽風(fēng)湍流K分布信道參數(shù)，與閃爍指數(shù)m的關(guān)系為[32]

式(10)各階原點矩為[20]1704

且各階矩的遞推關(guān)系為

其中，E[h0]=1.

2.2 閃爍指數(shù)觀測與SEP角的數(shù)值擬合

由式(11)可知，閃爍指數(shù)反映遙測信號閃爍程度，是決定遙測鏈路太陽風(fēng)湍流信道模型的重要參數(shù). 由1.2節(jié)又可知，閃爍指數(shù)與SEP角密切相關(guān)，依據(jù)Cassini航天器觀測數(shù)據(jù)，選擇多項式/指數(shù)組合模型擬合的SEP角與閃爍指數(shù)關(guān)系如圖2所示[1-2].

圖2 閃爍指數(shù)觀測與SEP角函數(shù)關(guān)系擬合曲線Fig. 2 scintillation index observations as a function of SEP angle function

從圖2可見，當(dāng)θ<θt時，進入強閃爍區(qū)(m>1)，且其取值在1附近[2]8. θt是弱閃爍(m<1)到強閃爍區(qū)過渡點的SEP角.

3 太陽風(fēng)湍流強閃爍信道的K分布模型和誤碼閉式近似

誤碼率是衡量遙測鏈路可靠性的重要指標(biāo)之一.在K分布信道條件下，Kiasaleh和Sandalidis針對遙測系統(tǒng)誤碼率已做了許多工作[23]，但給出的解析式中由于涉及復(fù)雜的Whittaker函數(shù)和Meijier函數(shù)，很難進一步分析重要參數(shù)對誤碼率的影響. 因此，Samimi和Azmi開展了K分布的近似研究[33]. 這些工作中，普遍采用有限個矩函數(shù)近似分布函數(shù)，這種方法對近似效果影響較大. 為此，本文利用Laguerre正交多項式方法近似K分布.

3.1 太陽風(fēng)湍流強閃爍信道的K分布模型近似

假設(shè)β是任意正數(shù)，Ln(x)是拉格朗日函數(shù)，記w(βh)=βe?βh，則I的K分布可近似為[31]5

括號中取前兩項，則

3.2 近似分布有效性分析

KL散度常用于衡量分布之間的差異程度，又稱為相對熵、信息增益[34]. 為便于分析近似分布的有效性，本文使用KL散度來度量Laguerre正交多項式與K分布的近似程度.

給定兩個概率分布pX(x)與qX(x)，它們的KL散度為[20]1704

式中：pX(x)為精確分布；qX(x)為近似分布. 當(dāng)KL散度越小時，則兩個分布越相似；反之，則兩個分布差別越大.

圖3給出了K分布的平均強度μ=1時，隨著β值的變化，Laguerre正交多項式與K分布的KL散度變化.

圖3 Laguerre正交多項式與K分布之間的KL散度隨β值的變化Fig. 3 KL divergence between Laguerre orthogonal polynomials with different β values and K distribution

從圖3可見，隨著β增大，近似分布與K分布之間的KL散度也越來越大，這也可從表1所列KL散度值得到證實. 因此，可選擇較小的β，使KL散度較小，以得到Laguerre正交多項式近似分布.

表1 Laguerre正交多項式與K分布的KL散度值Tab. 1 KL divergence values of Laguerre orthogonal polynomial and K distribution

3.3 誤碼率的閉式近似

一般地，對于相干BPSK解調(diào)，高斯白噪聲信道下誤碼率可表示為

式中：Eb/N0為余接收信噪比；erfc(·)為余誤差函數(shù).則太陽風(fēng)湍流信道誤碼率可表示為[35]

根據(jù)誤差函數(shù)積分[36]，結(jié)合式(16)，記γ，式(19)可近似為

對式(20)化簡可得

根據(jù)式(21)，圖4給出了在不同信噪比下誤碼率函數(shù)Pe關(guān)于β的一階導(dǎo)函數(shù)曲線. 從圖可見，當(dāng)β在0到5范圍內(nèi)時，不同信噪比下一階導(dǎo)均大于0，說明誤碼率Pe是關(guān)于β的一個增函數(shù).根據(jù)式(21)，又可得到太陽風(fēng)湍流強閃爍信道BPSK調(diào)制信噪比與誤碼率之間關(guān)系，如圖5所示.同時，為便于分析比較，圖5還給出了無湍流時BPSK調(diào)制信噪比與誤碼率之間關(guān)系.

圖4 誤碼率函數(shù)Pe關(guān)于β的一階導(dǎo)函數(shù)Fig. 4 First derivative function of bit error rate function Pe with respect to β

圖5 不同湍流條件下的誤碼率Fig. 5 Bit error rate under different turbulent conditions

結(jié)合前述，從圖5可看出，太陽風(fēng)湍流強閃爍對誤碼率影響非常明顯，特別是信噪比較低時，即使是閃爍指數(shù)較小時，誤碼率也比無湍流時高出1～2個數(shù)量級. 從圖5還可見，隨著閃爍指數(shù)m減小，因湍流效應(yīng)變?nèi)?，誤碼率得到降低. 同時，比較圖5(a)和圖5(b)可見，b值大時，誤碼率較高，這是因為b值增大，β增大，導(dǎo)致誤碼率增高.

不同信噪比下，圖6給出了β值對誤碼率的影響結(jié)果. 由圖6可以看出，信噪比相同時，隨著β值的增大，誤碼率增高；反之亦然. 例如，當(dāng)Eb/N0為5 dB時，β為0.3，誤碼率為0.111 3；β為0.8，誤碼率為0.320 4. 而當(dāng)Eb/N0為10 dB時，β為0.3，誤碼率為0.065 5；β為0.8，誤碼率為0.209 4.

圖6 不同β值的誤碼率Fig. 6 Bit error rate of different β values

4 結(jié) 論

在前期弱太陽閃爍信道研究工作基礎(chǔ)上，通過建立遙測鏈路太陽風(fēng)湍流強閃爍信道K分布模型和利用Laguerre正交多項式近似，研究了Laguerre多項式擬合參數(shù)β對分布近似KL散度的影響，給出分析了不同閃爍指數(shù)和參數(shù)β對誤碼率的影響，為分析和設(shè)計湍流信道下，特別是強閃爍下深空遙測系統(tǒng)提供了重要理論依據(jù). 同時，通過以上工作，可得到如下結(jié)論：

1)參數(shù)β影響太陽風(fēng)湍流強閃爍信道K分布近太陽風(fēng)湍流強閃爍信道下BPSK誤碼率閉式近似，似和誤碼率，選擇較小的值有利于降低K分布近似的KL散度和誤碼率，能夠獲得更好的信道近似，更有利于遙測鏈路太陽風(fēng)湍流強閃爍信道的分析.

2)由于K分布在滿足弱閃爍條件下可轉(zhuǎn)化為Rician分布，因此，K分布的建立是合理有效的.