幾種拋物方程形式的相位誤差分析

蒲玉蓉 王丹丹 席曉莉 劉江凡

（1. 西安理工大學(xué)自動(dòng)化與信息工程學(xué)院，西安 710048；2. 山東科技大學(xué)電子信息工程學(xué)院，青島 266590）

引 言

近年來，拋物方程(parabolic equation，PE)方法作為一種有效的數(shù)值計(jì)算方法，被廣泛地應(yīng)用于電波傳播[1-8]和水聲傳播[9-10]等領(lǐng)域. PE是根據(jù)波的單向傳播過程，對(duì)亥姆赫茲方程作近軸近似得到的一種拋物型偏微分方程形式，因此不同的近軸近似方式就得到不同的PE形式. 盡管相較于亥姆赫茲方程，PE的求解更為方便，但由于近軸近似的引入，使得PE存在自身固有的相位誤差[10]. 該固有相位誤差會(huì)導(dǎo)致PE方法所模擬的電/聲波波數(shù)與傳播方向相關(guān)，呈現(xiàn)出空間各向異性特性. 通常，電/聲波傳播仰角越小，仿真波數(shù)與真實(shí)波數(shù)越接近，即表現(xiàn)為近軸傳播特性[1]. 多年來，為了減小PE的固有相位誤差，以增加PE的計(jì)算仰角范圍，學(xué)者們提出了一系列的PE形式，從早期的標(biāo)準(zhǔn)PE(standard PE, SPE)[11]和Tappert型PE[12]到后來的Feit-Fleck型PE[13]、Claerbout型PE[14]、Greene型PE[15]和Lin-Duda型PE[16]. 1978年，F(xiàn)eit等人提出近似誤差限的思想[13]，用于比較SPE和Feit-Fleck型PE的精度，并表明Feit-Fleck型PE的精度明顯優(yōu)于SPE. 1983年，Thomson等人采用該近似誤差限方法評(píng)估了水下聲波傳播環(huán)境中SPE、Tappert型PE和Feit-Fleck型PE的精度[17]，進(jìn)一步驗(yàn)證了Feit-Fleck型PE的優(yōu)越性，并表明Tappert型PE并沒有明顯改善SPE的精度. 隨后，Clearbout提出了一種更為嚴(yán)謹(jǐn)?shù)纳⒎治龇椒╗18]，用于研究水下聲波傳播環(huán)境中PE的精度，但是該方法并沒有引起學(xué)者們的關(guān)注. 直到2020年，我們將該色散分析方法推廣到起伏地形移位映像PE(shiftmap PE, SMPE)的相位誤差分析中[19]，并得出與傳統(tǒng)認(rèn)知不同的結(jié)論，即Feit-Fleck型SMPE精度并非總是優(yōu)于標(biāo)準(zhǔn)SMPE.

本文將進(jìn)一步采用色散分析方法，評(píng)估現(xiàn)有的六種PE形式在對(duì)流層電波傳播、水下聲波傳播和森林電波傳播三種典型應(yīng)用場(chǎng)景中的相位誤差特性.首先，推導(dǎo)了各PE形式的色散關(guān)系；然后，基于色散關(guān)系，評(píng)估出三種典型場(chǎng)景中折射率與傳播仰角對(duì)各PE形式相位誤差特性的影響；最后，通過相位誤差分析，得出各PE形式的精度，并給出固定相位誤差限下各PE形式的適用仰角范圍.

1 幾種典型的PE形式

由于水下聲波傳播和電波傳播所滿足的PE形式完全相同，為了簡(jiǎn)化，這里僅從電波滿足的二維標(biāo)量波動(dòng)方程出發(fā)推導(dǎo)幾種典型PE的形式. 在直角坐標(biāo)系中，設(shè)ψ表示矢量場(chǎng)的任一直角坐標(biāo)分量，且滿足ψ與y無關(guān)，則ψ滿足二維標(biāo)量波動(dòng)方程

式中：k0為真空中的波數(shù)；n為媒質(zhì)的折射率.

根據(jù)文獻(xiàn)[20]，假設(shè)在電磁場(chǎng)傳播過程中，折射率n幾乎不隨x變換，則可將式(1)分解為

定義沿x軸正向傳播的波函數(shù)為[20]

將式(4)代入式(3)中，可得前向傍軸波動(dòng)方程為[1,20]

為方便數(shù)值計(jì)算，需對(duì)Q作近似處理. 對(duì)Q作不同形式的近似，使式(5)簡(jiǎn)化為不同形式的PE. 但同時(shí)，近似處理的引入會(huì)導(dǎo)致PE存在自身固有的相位誤差，即表現(xiàn)出明顯的近軸傳播特性. 下面，介紹六種典型的PE形式：

1)SPE(也稱Taylor型PE)[11]，其通過對(duì)Q取一階Taylor展開得到.

2)Tappert型PE[12]，由Tappert提出不久后又放棄的一種PE形式.

3)Feit-Fleck型PE[13]，由Feit和Fleck提出，并用于研究光纖中的電波傳播問題.

4)Padé型PE[14]，最早由Claerbout在研究地球物理問題時(shí)提出.

5)Greene型PE[15]，是Greene在研究水下聲波、電波傳播問題時(shí)，通過對(duì)Padé型PE優(yōu)化系數(shù)而得到的.

6)Lin-Duda型PE[16]，由Lin和Duda提出用于水聲學(xué)傳播問題的一種高階PE.

2 各PE形式的色散關(guān)系

色散分析方法的基本思想是將任意單位平面波解代入到PE中推導(dǎo)出色散關(guān)系，然后量化評(píng)估色散關(guān)系中每個(gè)因素與傳播波數(shù)之間的關(guān)系. 忽略初始條件和邊界條件的影響，式(1)所描述的齊次波動(dòng)方程的單色平面波解可表示為

式中，θ為平面波的傳播方向角. 將式(12)代入式(4)中，可得

接著，將式(13)代入式(5)中，可得

式(14)對(duì)應(yīng)于均勻媒質(zhì)中解析方法的色散關(guān)系，其表明，對(duì)于均勻媒質(zhì)，前向傍軸波動(dòng)方程不存在相位誤差. 使得PE表現(xiàn)出近軸傳播特性的原因是源于對(duì)偽微分算子Q的近似處理，下面將通過PE的色散特性來具體說明. 為此，首先推導(dǎo)PE所滿足的色散關(guān)系.

根據(jù)式(13)形式，可假設(shè)PE所描述的平面波解為

式中，knum為數(shù)值波數(shù). 將式(15)分別代入式(6)～(11)，可依次得到：

1)SPE的色散關(guān)系

2)Tappert型PE的色散關(guān)系

3)Feit-Fleck型PE的色散關(guān)系

4)Padé型PE的色散關(guān)系

5)Greene型PE的色散關(guān)系

6)Lin-Duda型PE的色散關(guān)系

式(16) ～(21)表明，在各PE形式的色散關(guān)系中，數(shù)值波數(shù)knum同時(shí)與折射率n和傳播方向θ相關(guān). 這種非物理的色散現(xiàn)象必然會(huì)使得PE存在自身固有的相位誤差，從而導(dǎo)致PE方法所模擬的電磁波波數(shù)與傳播方向相關(guān)，呈現(xiàn)出空間各向異性特性. 并且，通常電磁波傳播仰角越小，仿真波數(shù)與真實(shí)波數(shù)越接近，即表現(xiàn)為近軸傳播特性.

3 相位誤差分析

PE的色散關(guān)系給出了平面波的數(shù)值波數(shù)knum與折射率n和傳播方向θ之間的關(guān)系，由此關(guān)系出發(fā)，可定量評(píng)估出這些因素對(duì)相位誤差的影響，從而分析出各PE形式的精度. 定義相位誤差函數(shù)為[19]

在常用的對(duì)流層電波傳播、水下聲波傳播和森林電波傳播場(chǎng)景中，三者折射率n的取值范圍存在較大差異，并且水下聲波傳播中的波速度c也與其他兩個(gè)電波傳播場(chǎng)景不同，因此會(huì)使得三種場(chǎng)景中PE形式的相位誤差特性存在差異. 目前在說明PE形式的精度時(shí)，經(jīng)常會(huì)將多種應(yīng)用場(chǎng)景中不同PE形式的分析結(jié)果放在一起討論，這種做法缺乏合理性. 因此，下面將系統(tǒng)分析三種典型應(yīng)用場(chǎng)景中，各PE形式的相位誤差特性，以及各PE形式的計(jì)算仰角范圍.

3.1 對(duì)流層電波傳播場(chǎng)景

對(duì)于對(duì)流層電波傳播環(huán)境，真空中的波速為2.997 924 58×108m/s，折射率n的上限取為1.001，其已遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過地表觀測(cè)到的大氣折射率最大值，可以充分描述折射率的大小變化情況[1]. 圖1給出了折射率n=1.0、1.000 1和1.001時(shí)，各PE形式的相位誤差隨傳播仰角θ的變化曲線.

圖1 對(duì)流層電波傳播場(chǎng)景中不同折射率n時(shí)各PE形式的相位誤差隨傳播仰角的變化曲線Fig. 1 Phase error as a function of the propagation angle for different refractive index n in tropospheric electromagnetic wave propagation scenario

由圖1可以看出，SPE(即Taylor型PE)和Padé型PE的相位誤差均隨著傳播仰角θ的增大而增大，且?guī)缀醪浑S折射率n變化；Greene型PE優(yōu)化了Padé型PE中的系數(shù)，使得其相位誤差約在40°以內(nèi)的傳播仰角都保持在較低的水平，且同樣不受折射率n變化影響；Feit-Fleck型PE、Tappert型PE和Lin-Duda型PE均在n=1.0時(shí)，不存在偽微分算子Q的近似，即沒有相位誤差，而隨著折射率n的增大，相位誤差逐漸增大，并隨傳播仰角θ呈現(xiàn)出明顯的空間各向異性特性. 進(jìn)一步地由圖1可得，對(duì)于均勻大氣環(huán)境，Lin-Duda型PE是六種PE形式中精度最高的，而SPE是精度最低的；Feit-Fleck型PE和Tappert型PE的精度幾乎完全相同，且高于Padé型PE，這與傳統(tǒng)的近似誤差限方法分析結(jié)論不同；通過對(duì)Padé型PE系數(shù)的優(yōu)化，Greene型PE的全局誤差明顯低于Padé型PE. 此外，需說明的是Greene型PE的提出，為研究高傳播仰角PE提供了新思路，其通過優(yōu)化現(xiàn)有PE的系數(shù)，使得一定仰角范圍內(nèi)的全局相位誤差最優(yōu)，并且針對(duì)某些特定的電波傳播問題，可使得目標(biāo)傳播角度范圍內(nèi)的相位誤差最小.

為了更為直觀地給出各PE的適用性，圖2給出了各PE形式的相位誤差與折射率n和傳播仰角θ關(guān)系的等值線圖. 由圖2可知，各PE形式的適用仰角范圍與其相位誤差密切相關(guān). 對(duì)于任意的折射率n，當(dāng)相位誤差限固定為0.02%時(shí)，SPE、Feit-Fleck型PE、Tappert型PE、Padé型PE和Greene型PE的適用傳播仰角分別可達(dá)12°、37°、37°、25°和41°左右，而Lin-Duda型PE的適用傳播仰角可大于50°.

圖2 對(duì)流層電波傳播場(chǎng)景中各PE形式的相位誤差隨傳播仰角/折射率變化的等值線圖Fig. 2 The phase error as a function of the propagation angle/ terrain slope as a contour map for each PE form in tropospheric electromagnetic wave propagation scenario

3.2 水下聲波傳播場(chǎng)景

對(duì)于水下聲波傳播場(chǎng)景，通常將折射率n上限取為1.1，其遠(yuǎn)大于海洋環(huán)境中觀測(cè)到的典型折射率值，水中聲速取參考值1 500 m/s[17]. 圖3給出了折射率n=1.0、1.01和1.1時(shí)各PE形式的相位誤差隨傳播仰角θ的變化曲線. 由圖3可以看出，水下聲波傳播場(chǎng)景中PE的相位誤差特性比對(duì)流層電波傳播場(chǎng)景中的更為復(fù)雜. 此時(shí)，各PE形式的相位誤差特性同時(shí)與折射率n和傳播仰角θ密切相關(guān)，其中：SPE、Tappert型PE和Greene型PE隨著折射率n的增加，其相位誤差極小值點(diǎn)由低傳播仰角向高傳播仰角偏移；Feit-Fleck型PE和Lin-Duda型PE在n=1.0時(shí)為解析形式，而在n大于1.0時(shí)，其相位誤差同時(shí)隨著傳播仰角和折射率的增加而增加；Padé型PE的相位誤差特性較為特殊，隨著折射率n的增大，其相位誤差總體減小. 進(jìn)一步從圖3可得：總的來說，對(duì)于水下聲波傳播場(chǎng)景，Padé型PE和Lin-Duda型PE的適用性是最好的；盡管Greene型PE全局誤差總體較低，但是在折射率較大時(shí)，其目標(biāo)仰角范圍發(fā)生了偏移，這與其優(yōu)化時(shí)所選取的折射率和仰角范圍需求相關(guān)；由于SPE、Tappert型PE及Feit-Fleck型PE的精度對(duì)折射率的依賴性很強(qiáng)，致使其在水下聲波傳播場(chǎng)景的適用性受限，尤其是SPE和Tappert型PE，當(dāng)折射率增大時(shí)，整體相位誤差明顯變大，且目標(biāo)傳播仰角范圍向較高的傳播仰角偏移.

圖3 水下聲波傳播場(chǎng)景中不同折射率n時(shí)各PE形式的相位誤差隨傳播仰角的變化曲線Fig. 3 Phase error as a function of the propagation angle for different refractive index n in underwater acoustic propagation scenario

同樣地，為了更直觀描述各PE的相位誤差與傳播仰角θ和折射率n的關(guān)系，圖4給出了三者之間關(guān)系的等值線圖. 由圖4可見，各PE形式的相位誤差隨傳播仰角和折射率呈現(xiàn)出更為復(fù)雜的空間各向異性特性. 對(duì)于任意的折射率n，若相位誤差限同樣固定為0.02%時(shí)，由于目標(biāo)傳播仰角范圍的偏移，SPE、Tappert型PE以 及Greene型PE均 不 適 用；Feit-Fleck型PE、Padé型PE以及Lin-Duda型PE的適用傳播仰角分別可達(dá)3°、25°和23°左右.

圖4 水下聲波傳播場(chǎng)景中各PE形式的相位誤差隨傳播仰角/折射率變化的等值線圖Fig. 4 The phase error as a function of the propagation angle/ terrain slope as a contour map for each PE form in underwater acoustic propagation scenario

需要指出的是，目前各PE形式的精度比較結(jié)論多來自于水聲學(xué)研究，且假定近似誤差一定是隨著折射率n的增大而增大，因此，一般取在n=1.1時(shí)分析各PE形式的精度，并得出：Padé型PE精度最高[1]，F(xiàn)eit-Fleck型PE精度高于SPE和Tappert型PE，且Tappert型PE沒有明顯改善SPE的精度[17]. 然而，由于PE的相位誤差隨著折射率n的增加并非單調(diào)遞增變化，因此該分析結(jié)論存在自身局限性.

3.3 森林電波傳播場(chǎng)景

相較于對(duì)流層電波傳播場(chǎng)景和水下聲波傳播場(chǎng)景，森林電波傳播場(chǎng)景往往更為復(fù)雜. 通常，PE方法在森林環(huán)境中應(yīng)用時(shí)，是將森林植被對(duì)電波傳播的影響等效到折射率n中考慮的，且不同于其他兩種典型應(yīng)用場(chǎng)景，森林場(chǎng)景中等效折射率n2變化范圍往往更大，從1.01+0.01i到1.5+0.6i[8]，且通常為復(fù)數(shù)形式. 圖5給出了等效折射率n2=1.01+0.01i、1.25+0.3i和1.5+0.6i時(shí)，各PE形式的相位誤差隨傳播仰角θ的變化曲線.

圖5 森林電波傳播場(chǎng)景中不同等效折射率n2時(shí)各PE形式的相位誤差隨傳播仰角的變化曲線Fig. 5 Phase error as a function of the propagation angle for different effective refractive index n2 in forest electromagnetic wave propagation scenario

由圖5可以看出：Feit-Fleck型PE和Lin-Duda型PE的相位誤差同時(shí)隨著傳播仰角和折射率的增加而增加，即對(duì)于任意的等效折射率n，這兩種PE形式適用于低仰角問題；SPE、Tappert型PE、Padé型PE和Greene型PE均隨著折射率n的增加，出現(xiàn)相位誤差極小值點(diǎn)向高傳播仰角偏移現(xiàn)象，即適用目標(biāo)傳播仰角偏移問題. 進(jìn)一步由圖5可得，對(duì)于森林電波傳播環(huán)境，Lin-Duda型PE的精度相對(duì)來說是最高的，但該P(yáng)E形式也僅僅對(duì)于等效折射率較小的情況有效，而在等效折射率較大的情況下，適用性明顯受限.

同樣地，為了更為直觀地分析各PE的適用性，圖6給出了各PE形式的相位誤差與折射率n和傳播仰角θ關(guān)系的等值線圖. 這里對(duì)等效折射率n2從1.01+0.01i到1.5+0.6i均勻采用，由于復(fù)數(shù)n2是一個(gè)二維概念，無法在單一坐標(biāo)軸呈現(xiàn)復(fù)折射率，因此圖6中采用折射率n的實(shí)部來表示復(fù)折射率n. 由圖6可見，與前兩種電波傳播場(chǎng)景相比，森林電波傳播場(chǎng)景中各PE形式的相位誤差明顯更大，適用角度范圍明顯減小. 這是由于森林場(chǎng)景中等效折射率n的取值通常比其他兩種場(chǎng)景更大，且存在虛部導(dǎo)致的. 對(duì)于任意的等效折射率n，若相位誤差限同樣固定為0.02%時(shí)，SPE、Tappert型PE以及Padé型PE及Greene型PE均不適用；Feit-Fleck型PE和Lin-Duda型PE的適用傳播仰角分別可達(dá)2°和4°左右.

圖6 森林電波傳播場(chǎng)景中各PE形式的相位誤差隨傳播仰角/折射率變化的等值線圖Fig. 6 The phase error as a function of the propagation angle/ terrain slope as a contour map for each PE form in forest electromagnetic wave propagation scenario

4 結(jié) 論

本文采用色散分析方法，通過研究現(xiàn)有六種PE的相位誤差特性，分析出對(duì)流層電波傳播、水下聲波傳播和森林電波傳播三種典型場(chǎng)景中各PE形式的精度. 研究表明：對(duì)于對(duì)流層電波傳播場(chǎng)景，Lin-Duda型PE的精度最高，而SPE的精度最低；Feit-Fleck型PE和Tappert型PE的精度幾乎完全相同，且高于Padé型PE；系數(shù)優(yōu)化的Greene型PE全局誤差明顯低于Padé型PE. 對(duì)于水下聲波傳播場(chǎng)景，Padé型PE和Lin-Duda型PE最 為 準(zhǔn) 確；Greene型PE全局誤差較低，但在較大折射率時(shí)，存在目標(biāo)傳播仰角偏移現(xiàn)象；Feit-Fleck型PE、Tappert型PE和SPE型PE在此場(chǎng)景的精度都很有限. 對(duì)于森林電波傳播場(chǎng)景，Lin-Duda型PE的精度依舊是最高的，但也僅對(duì)折射率較小的情況有效.

進(jìn)一步地，通過固定相位誤差限給出了三種場(chǎng)景中各PE形式的適用仰角范圍. 對(duì)于對(duì)流層電波傳播場(chǎng)景，SPE、Feit-Fleck型PE、Tappert型PE、Padé型PE和Greene型PE的適用傳播仰角分別可達(dá)12°、37°、37°、25°和41°左右，而Lin-Duda型PE的適用傳播仰角可大于50°. 對(duì)于水下聲波應(yīng)用場(chǎng)景，F(xiàn)eit-Fleck型PE、Padé型PE及Lin-Duda型PE的適用傳播仰角分別可達(dá)3°、25°和23°左右，而SPE型PE、Tappert型PE以及Greene型PE均不太適用. 對(duì)于森林電波應(yīng)用場(chǎng)景，各PE形式的適用性均受限，最高精度的Lin-Duda型PE的適用傳播仰角僅為4°左右. 本文的研究可為選取適合目標(biāo)場(chǎng)景中的最優(yōu)PE形式提供理論依據(jù).