基于投影平移的一般位置直線實(shí)長(zhǎng)和傾角作圖方法

賀雨田

（西安石油大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，陜西 西安 710065）

0 引言

“畫法幾何”是實(shí)踐性較強(qiáng)的一門專業(yè)基礎(chǔ)課，也是進(jìn)一步學(xué)習(xí)制圖課程（“建筑制圖”“工程制圖”“機(jī)械制圖”等）的基礎(chǔ)[1]。掌握“畫法幾何”理論與制圖基本規(guī)定，對(duì)認(rèn)識(shí)所學(xué)專業(yè)的行業(yè)通用“工程語言”至關(guān)重要。該課程通常在大學(xué)一年級(jí)開設(shè)，這一階段，學(xué)生尚未充分建立本專業(yè)工程設(shè)計(jì)的基本概念，對(duì)于設(shè)計(jì)的理解，往往以本專業(yè)的某一具體有形幾何特征為宏觀指導(dǎo)。因此，學(xué)生對(duì)制圖中所要表達(dá)的對(duì)象理解并不深刻[2]。如何讓一個(gè)沒有任何工程背景的學(xué)生建立起對(duì)有形幾何特征的直觀認(rèn)識(shí)，進(jìn)行幾何結(jié)構(gòu)、空間位置和理解思維的簡(jiǎn)化是有效可行的辦法[3]。

一般線的實(shí)長(zhǎng)是一個(gè)空間概念，在投影中求解時(shí)，需要與一般線的空間位置相聯(lián)系，從而在平面投影中通過幾何關(guān)系繪制出線的實(shí)長(zhǎng)[4]。而傾角的本質(zhì)就是實(shí)長(zhǎng)與投影的夾角，因此，可以通過構(gòu)造投影為直角邊、實(shí)長(zhǎng)為斜邊的直角三角形求得[5]。

筆者針對(duì)一般線空間位置的特點(diǎn)，對(duì)一般線或其投影進(jìn)行平移，并結(jié)合平移后一般線展開投影圖的幾何特點(diǎn)，對(duì)一般位置線段進(jìn)一步分類，建立了基于投影平移的一般線實(shí)長(zhǎng)和傾角求解方法，為提高學(xué)生對(duì)一般線的空間理解提供一種新思維，從而豐富“畫法幾何”教學(xué)中一般線實(shí)長(zhǎng)和傾角的求解理論。

1 一般線

1.1 一般線投影

一般線的投影為直線，一般線的實(shí)長(zhǎng)和傾角可以通過作圖求解，其中傾角為一般線與各投影面上的投影在投影線平面上的夾角，一般線與H面、V面和W面的夾角分別用α、β和γ表示，如圖1所示。

圖1 一般線投影

將圖1所示位置的一般線投影展開后，得到如圖2所示的投影圖。圖中三個(gè)投影面上的投影都傾斜于投影軸，投影不反映一般線的實(shí)長(zhǎng)，各投影與相對(duì)投影軸的夾角也不反映一般線對(duì)投影面傾角的大小。

圖2 一般線投影展開圖

通過線段在圖1中的空間位置認(rèn)識(shí)圖2的三面投影，比較容易理解，但通過圖2的三面投影還原線段在圖1中的空間位置時(shí)，需要一定的空間想象能力[6]。為了簡(jiǎn)化對(duì)這一還原線段空間位置的理解，對(duì)圖1中的線段位置進(jìn)行平移。假設(shè)圖1中所示一般線的端點(diǎn)B距離H面的距離為d，另一個(gè)端點(diǎn)A距離V面和W面的距離分別為l和w。將該一般線向下平移d，向后平移l，再向左平移w，則該線段的端點(diǎn)A平移到了Z軸上，端點(diǎn)B平移到了H投影面上，如圖3所示。

圖3 一般線位置平移

此時(shí)，展開一般線位置平移后的投影，端點(diǎn)A在H面上的投影a和端點(diǎn)B在V面上的投影b′同在OX軸上，端點(diǎn)A在V面上的投影a′和在H面上的投影a″同在Z軸上，如圖4所示。這使得一般線相對(duì)于投影坐標(biāo)系的空間位置以及投影展開圖均得到簡(jiǎn)化。而在實(shí)際投影時(shí)，任意一般線均可以通過平移，使其位置具有上述特點(diǎn)。

圖4 一般線平移后投影的展開圖

需要指出的是，一般線在空間中平移后可以得到特殊的展開圖；相應(yīng)地，一般線的投影圖展開后，通過對(duì)投影進(jìn)行平移，即對(duì)圖2進(jìn)行平移，也可以得到與空間中平移后一樣的投影展開圖，即圖4展開圖。

1.2 一般線分類

在第一分角內(nèi)，任意一般線通過平移后可以產(chǎn)生以下4種位置情況：1）一般線與H面和Z軸相交；2）一般線與V面和Y軸相交；3）一般線與W面和X軸相交；4）一般線通過原點(diǎn)O。對(duì)這4種位置進(jìn)一步分類，可以將一般線分為兩類：一類是線段與一個(gè)投影面和垂直于該投影面的軸線的相交，也可視為一般線不通過原點(diǎn)O，這是上述4種位置的前3種情況；另一類是一般線通過原點(diǎn)O。

2 一般線實(shí)長(zhǎng)和傾角求解

2.1 一般線與投影面和軸相交

一般線AB與H面和Z軸相交的空間位置及其投影如圖5所示。此時(shí)，一般線AB、一般線在Z軸的截距OA、一般線在H面上的投影OB構(gòu)成一個(gè)直角三角形（圖中的陰影三角形），其中一般線AB為斜邊，OA和OB為直角邊，在該三角形中，AB為一般線的實(shí)長(zhǎng)，∠ABO為一般線AB與H面的夾角α。

圖5 一般線與H面和Z軸相交的空間位置及其投影

圖5所示投影展開后如圖6所示，圖中Oa′（Oa″）和Ob的長(zhǎng)度就是圖5所示陰影三角形中OA和OB兩個(gè)直角邊的長(zhǎng)度。因此，只要構(gòu)造一個(gè)以O(shè)a′（Oa″）和Ob為直角邊的三角形，則其斜邊就是一般線的實(shí)長(zhǎng)，斜邊與Ob的夾角為一般線AB與H面的夾角α。求得實(shí)長(zhǎng)后，再分別構(gòu)造出以實(shí)長(zhǎng)為斜邊、以V面上的投影a′b′和W面上的投影a″b″為直角邊的兩個(gè)直角三角形，就可分別求解得到一般線AB與V面和W面的傾角。

圖6 一般線與H面和Z軸相交時(shí)的投影展開圖

在投影展開圖中的具體作圖方法如圖7所示。

圖7 一般線與H面和Z軸相交時(shí)實(shí)長(zhǎng)與傾角的作圖方法

1）過O作Ob的垂線；

2）以O(shè)為圓心，以O(shè)a′（Oa″）為半徑畫圓，與Ob的垂線交于點(diǎn)c；

3）將該交點(diǎn)c與b相連，則bc就是一般線的實(shí)長(zhǎng)，∠Obc就是一般線AB與H面的夾角α；

4）分別過b′和b″作a′b′和a″b″的垂線；

5）以a′（a″）為圓心，以所求的實(shí)長(zhǎng)為半徑畫圓弧，與兩條射線分別交于點(diǎn)d和點(diǎn)e，則∠b′a′d為線段與V面的夾角β，∠b″a″e(cuò)為線段與W面的夾角γ。

通過這樣的作圖，就可以在三投影面體系中求解一般線的實(shí)長(zhǎng)以及一般線與三個(gè)投影面的傾角。

另外兩種一般線位置（一般線與V面和Y軸相交，一般線與W面和X軸相交）的實(shí)長(zhǎng)和傾角作圖方法與上述位置一般線實(shí)長(zhǎng)和傾角的作圖思路一致，這里給出另外兩種一般線的投影圖和在相應(yīng)投影展開圖上求解實(shí)長(zhǎng)和傾角的作圖過程。一般線AB與V面和Y軸相交的空間位置及其投影如圖8所示，該一般線實(shí)長(zhǎng)和傾角的作圖過程如圖9所示。一般線AB與W面和X軸相交的空間位置及其投影如圖10所示，該一般線實(shí)長(zhǎng)和傾角的作圖過程如圖11所示。

圖8 一般線與V面和Y軸相交的空間位置及其投影

圖9 一般線與V面和Y軸相交時(shí)實(shí)長(zhǎng)與傾角的作圖方法

圖10 一般線與W面和X軸相交的空間位置及其投影

圖11 一般線與W面和X軸相交時(shí)實(shí)長(zhǎng)與傾角的作圖方法

2.2 一般線通過原點(diǎn)

一般線OA通過原點(diǎn)O的空間位置及其投影如圖12所示。此時(shí)，一般線OA與三個(gè)投影面的投影和相應(yīng)的投影線構(gòu)成三個(gè)直角三角形，其中一般線OA為斜邊，OA和三個(gè)投影的夾角就是線段與投影面的傾角。

圖12 線段通過原點(diǎn)O的空間位置及其投影

投影圖展開后，可以以任意一個(gè)投影為直角邊構(gòu)造直角三角形。為了表述作圖過程，選擇以O(shè)a″為直角邊構(gòu)造直角三角形，具體作圖過程如圖13所示。

1）過O作Oa″的垂線；

2）連接a和a′交OX軸與ax；

3）以O(shè)為圓心，以O(shè)ax為半徑畫圓，交垂直O(jiān)a″的垂線于點(diǎn)c；

4）連接點(diǎn)a″與點(diǎn)c，則a″c為一般線的實(shí)長(zhǎng)，∠Oa″c為一般線與W面的夾角γ，

5）過a和a′分別作Oa和Oa′的垂線；

6）以O(shè)為圓心，以實(shí)長(zhǎng)a″c為半徑畫圓，交垂直O(jiān)a的垂線于點(diǎn)d，交垂直O(jiān)a′的垂線于點(diǎn)e，得∠aOd為線段與H面的夾角α，∠a′Oe為線段與V面的夾角β。以其余兩個(gè)投影為直角邊構(gòu)造直角三角形與上述方法相似，這里不再贅述。

圖13 線段通過原點(diǎn)O時(shí)實(shí)長(zhǎng)與傾角的作圖方法

3 結(jié)論

1）對(duì)一般線進(jìn)行了平移，平移后簡(jiǎn)化了一般線與投影面和投影軸的空間位置關(guān)系，得到了位置特殊的投影展開圖，相應(yīng)地，通過投影平移也可以得到相同的結(jié)果。

2）根據(jù)平移后一般線與投影面和投影軸的位置關(guān)系，將一般線分為兩類：一類是與一根軸和與軸垂直的投影面相交的一般線，即不通過原點(diǎn)O的一般線；而另一類是通過原點(diǎn)O的一般線。

3）一般線的實(shí)長(zhǎng)和傾角通過構(gòu)造直角三角形進(jìn)行求解：當(dāng)一般線與一根軸和與軸垂直的投影面相交時(shí)，求解實(shí)長(zhǎng)時(shí)，選擇投影通過原點(diǎn)O的線段和一般線與軸的截距為直角邊構(gòu)造直角三角形，該三角形的構(gòu)造可同時(shí)求解出一般線與通過原點(diǎn)O的投影所在投影面的傾角；當(dāng)一般線通過原點(diǎn)O時(shí)，可以以任意一個(gè)投影為直角邊構(gòu)造直角三角形。