基于隨機(jī)開裂理論的鋼筋混凝土粘結(jié)損傷拉伸彈性性能

萬(wàn)里云彭聰張建常巖軍123

(1.廣西大學(xué) 土木建筑工程學(xué)院， 廣西 南寧 530004；2.廣西防災(zāi)減災(zāi)與工程安全重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 廣西 南寧 530004；3.工程防災(zāi)與結(jié)構(gòu)安全教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 廣西 南寧 530004)

0 引言

隨著鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)服役時(shí)間增加，其結(jié)構(gòu)損傷和承載能力下降程度是結(jié)構(gòu)安全服役評(píng)價(jià)的主要關(guān)注點(diǎn)，也一直是土木工程領(lǐng)域研究的熱點(diǎn)之一。對(duì)于粘結(jié)損傷，一般的研究方法是通過(guò)大量拉拔試驗(yàn)擬合提出基于位置函數(shù)的粘結(jié)滑移本構(gòu)模型[1]。當(dāng)鋼筋在復(fù)雜環(huán)境下產(chǎn)生銹蝕時(shí)，研究者也可以對(duì)不同銹蝕程度鋼筋進(jìn)行拔出試驗(yàn)，并基于試驗(yàn)數(shù)據(jù)分析銹蝕對(duì)鋼筋混凝土粘結(jié)強(qiáng)度的影響，給出相應(yīng)的粘結(jié)滑移本構(gòu)關(guān)系[2]。而隨著環(huán)保理念深入人心，新材料蓬勃發(fā)展，大量科研人員又開始了對(duì)于新型建筑材料粘結(jié)滑移性能的深入研究[3- 4]。這些以試驗(yàn)為基礎(chǔ)的研究直觀真實(shí)，但對(duì)于揭示更為細(xì)致深入的微觀機(jī)理是有所不足。因此近年來(lái)，學(xué)者們開始從連續(xù)損傷理論、剛化效應(yīng)等角度闡釋鋼筋混凝土的損傷本構(gòu)關(guān)系[5]。

第一個(gè)試圖去描述脆性基體復(fù)合材料應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系的是AVESTON等[6-7]，并建立了ACK理論模型。然而ACK模型的主要的缺點(diǎn)是基體強(qiáng)度是一個(gè)確定的值[8-9]。針對(duì)脆性基體復(fù)合材料的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系，目前已經(jīng)出現(xiàn)了一些類似的新理論，但由于其需要一些難以測(cè)量或獲取的參數(shù)[10-11]，或會(huì)涉及一些復(fù)雜的斷裂力學(xué)理論[12]，致使這些理論難以應(yīng)用于實(shí)際情況。CUYPERS等[13]提出了基于Weibull隨機(jī)開裂理論，用于研究E-glass(無(wú)堿玻璃纖維)增強(qiáng)IPC(無(wú)機(jī)磷酸鹽水泥)材料?？紤]隨機(jī)開裂的ACK理論[6-7,14]能夠用一些量化參數(shù)去模擬某種材料的應(yīng)力應(yīng)變行為，并且能夠去預(yù)測(cè)脫粘段的摩擦剪應(yīng)力。

考慮到實(shí)際鋼筋混凝土性能損傷的復(fù)雜性，一則二者接觸界面會(huì)同時(shí)存在脫粘段與粘結(jié)段，二則混凝土性能也具有隨機(jī)分布特性。本文擬采用隨機(jī)開裂的ACK理論建立鋼筋混凝土單胞模型，探究在不同損傷階段的單胞模型拉伸損傷等效彈性模量的變化規(guī)律。

1 ACK理論和隨機(jī)開裂理論

1.1 ACK理論

ACK理論假設(shè)：

① 纖維僅承擔(dān)軸向荷載，不考慮其抗彎，裂縫處軸向荷載全部由纖維承擔(dān)；

② 在基體裂縫面附近，界面存在某一特定長(zhǎng)度脫粘區(qū)域。脫粘界面剪應(yīng)力τ0均勻分布;

③ 纖維與基體的泊松比影響不考慮；

④ 基體軸向正應(yīng)力沿徑向不變。

脫粘長(zhǎng)度δ0可以通過(guò)基體受力平衡方程得到，可由下式計(jì)算：

(1)

式中，σm、Vm、Vf、r分別為基體內(nèi)力、脫粘長(zhǎng)度內(nèi)基體體積、纖維體積和纖維半徑。

WIDOM[15]通過(guò)理論推導(dǎo)，建立了脆性基體復(fù)合材料在軸向拉伸載荷作用下最終平均裂縫間距〈cs〉f與脫粘長(zhǎng)度δ0的關(guān)系：

〈cs〉f=1.337δ0，

(2)

結(jié)合式(1)和式(2)，可計(jì)算出纖維和基體界面剪應(yīng)力[10]：

(3)

ACK理論適合于脆性基體復(fù)合材料的損傷分析，其典型的的拉伸應(yīng)力應(yīng)變曲線根據(jù)非線性特征可以分成3段：第一段近似線性變化，該階段基體開裂較少發(fā)生;第二段曲線的切線剛度不斷下降，對(duì)應(yīng)基體在多處開裂;第三階段應(yīng)力應(yīng)變曲線切線剛度增大，出現(xiàn)硬化特征，對(duì)應(yīng)基體裂紋數(shù)量增加減緩，裂紋密度趨于飽和。

1.2 隨機(jī)開裂理論

由于受材料的制造工藝影響，基體的開裂應(yīng)力具有一定分散性，需采用隨機(jī)開裂理論，通過(guò)概率分布函數(shù)來(lái)描述其性能。裂縫能在多種應(yīng)力水平下產(chǎn)生，當(dāng)?shù)谝粋€(gè)裂縫產(chǎn)生時(shí)，纖維的橋聯(lián)作用把裂縫兩面連接起來(lái)，導(dǎo)致了在脫粘區(qū)域之外基體必須在更高應(yīng)力水平下才能開裂，因此外部荷載能夠繼續(xù)增大。通過(guò)脆性基體材料試件三點(diǎn)彎試驗(yàn)[13]，發(fā)現(xiàn)兩參數(shù)的Weibull分布適合用來(lái)描述脆性基體材料的拉伸強(qiáng)度隨機(jī)性。在均勻拉伸荷載作用下，脆性基體失效概率的Weibull分布函數(shù)如下:

(4)

式中，P是失效概率;σCo是外加拉伸應(yīng)力;σRe是參考應(yīng)力;m是Weibull分布參數(shù)。

2 鋼筋混凝土同心圓柱單胞模型隨機(jī)開裂分析

混凝土是典型脆性基體，鋼筋可類比為單纖維，由此建立基于考慮隨機(jī)開裂的ACK理論的鋼筋混凝土同心圓柱單胞模型(representative volume element, RVE)。隨著外荷載的增大，混凝土裂縫依次產(chǎn)生并偏轉(zhuǎn)到鋼筋表面形成鋼筋混凝土界面脫粘，裂縫面左右脫粘長(zhǎng)度δ0為一定值，可由式(1)推導(dǎo)得到。鋼筋混凝土單胞模型中鋼筋和混凝土應(yīng)力分布如圖1所示，由圖1(a)可知，當(dāng)平均裂縫間距〈cs〉>2δ0時(shí)，混凝土應(yīng)力曲線呈梯形狀，應(yīng)力峰值σcmax為一定值。由圖1(b)可知，當(dāng)〈cs〉<2δ0時(shí)，混凝土應(yīng)力曲線呈三角形且應(yīng)力峰值σcmax隨著平均裂縫間距的不斷減小而下降。基于上述分析，平均裂縫間距〈cs〉=2δ0，即為混凝土應(yīng)力峰值變化與否的臨界點(diǎn)，亦是反映裂縫宏觀發(fā)展的程度的分界點(diǎn)。據(jù)此把鋼筋混凝土單胞模型的損傷分成3個(gè)階段，第一損傷階段時(shí)混凝土材料內(nèi)部無(wú)裂縫無(wú)脫粘，第二損傷階段〈cs〉>2δ0，第三損傷階段〈cs〉<2δ0。

基于隨機(jī)開裂的ACK理論，當(dāng)脆性開裂越充分直至穩(wěn)定時(shí)，平均裂縫間距〈cs〉等于最終平均裂縫間距〈cs〉f。由式(2)和式(3)，鋼筋混凝土單胞模型在某一軸向拉伸應(yīng)力水平下的平均裂縫間距〈cs〉可由下式計(jì)算：

(5)

式中，σRVE為單胞模型總平均拉伸應(yīng)力。

2.1 第一損傷階段

此階段中鋼筋混凝土單胞中混凝土幾乎沒有開裂，鋼筋和混凝土協(xié)同工作處于線彈性階段。鋼筋混凝土單胞模型的等效拉伸彈性模量為

ERVE=EsVs+EcVc，

(6)

式中，Es，Ec分別是鋼筋和混凝土的彈量；Vs，Vc為二者體積分?jǐn)?shù)。

此時(shí)在鋼筋混凝土同心圓柱單胞模型中，鋼筋和混凝土的軸向應(yīng)力和軸向應(yīng)變分別為σs，σc和εs，εc，單胞模型總應(yīng)變?chǔ)臨VE。遠(yuǎn)場(chǎng)應(yīng)力σs為σs0，應(yīng)變?chǔ)舠0=εc0=ε0。

所以有

(7)

單胞平均應(yīng)力σRVE即為

σRVE=σs0Vs+σc0Vc=(EsVs+EcVc)εs0。

(8)

2.2 第二損傷階段

圖1所示為在鋼筋混凝土單胞模型中脫粘范圍內(nèi)混凝土和鋼筋的應(yīng)力變化情況。當(dāng)混凝土裂縫產(chǎn)生并擴(kuò)展到鋼筋表面時(shí)，在裂縫處的鋼筋承擔(dān)所有軸向荷載，此處鋼筋內(nèi)力為最大值σsmax，混凝土內(nèi)力為0。ACK理論中摩擦剪應(yīng)力τ0規(guī)定均勻分布，因此鋼筋和混凝土應(yīng)力的變化形式在δ0內(nèi)為線性。從原點(diǎn)位置起沿脫粘界面，鋼筋受到混凝土傳來(lái)的均勻不變的剪力τ0，應(yīng)力線性減小。同時(shí)，混凝土內(nèi)力也在τ0作用下線性升高。而二者的內(nèi)力，在超出脫粘范圍后保持恒定。

(a) 第二損傷階段：〈cs〉>2δ0

(b) 第三損傷階段：〈cs〉<2δ0

基于圖1(a)中鋼筋的應(yīng)力變化曲線及胡克定律，用面積積分求值的方法計(jì)算鋼筋的伸長(zhǎng)量。為方便表達(dá)，令L=〈cs〉，鋼筋的伸長(zhǎng)量ΔL計(jì)算如下：

(9)

式中，混凝土開裂處鋼筋內(nèi)力σsmax為

(10)

把式(10)代入式(9)化簡(jiǎn)得

(11)

所以單胞模型的軸向平均應(yīng)變?yōu)?/p>

(12)

在第二損傷階段，單胞模型的等效彈性模量：

(13)

2.3 第三損傷階段

當(dāng)加載于單胞模型兩端的軸向力逐漸增大，混凝土產(chǎn)生和延展了更多裂縫。此時(shí)裂縫開展逐漸充分，鋼筋混凝土單胞模型進(jìn)入第三損傷階段，滿足平均裂縫間距〈cs〉<2δ0，因推得鋼筋和混凝土應(yīng)力在脫粘段為線性變化，基于圖1(b)中鋼筋的應(yīng)力變化曲線及胡克定律，用面積積分求值的方法計(jì)算鋼筋的伸長(zhǎng)量。為方便表達(dá)，令L=〈cs〉，鋼筋的伸長(zhǎng)量ΔL計(jì)算如下：

(14)

此時(shí)，混凝土開裂處鋼筋內(nèi)力σsmax為

(15)

把式(15)代入式(14)化簡(jiǎn)得

(16)

(17)

在第三損傷階段，單胞模型的等效彈性模量：

(18)

3 參數(shù)影響分析

本節(jié)主要探究鋼筋混凝土單胞模型中的鋼筋和混凝土體積分?jǐn)?shù)Vs、Vc，Weibull分布參數(shù)m，混凝土強(qiáng)度等級(jí)等參數(shù)對(duì)等效拉伸彈性模量的影響?；谏瞎?jié)內(nèi)容，易建立等效彈性模量E與單胞拉伸應(yīng)力σRVE之間的函數(shù)關(guān)系。圖2描述了參數(shù)取值分別為Es=2×105MPa，Ec=3×104MPa，Vs=0.1， Vc=0.9，ftk=2.01 MPa，m=2時(shí)，等效彈性模量隨單胞拉伸應(yīng)力σRVE的變化過(guò)程，曲線分成3段，分別對(duì)應(yīng)粘結(jié)損傷單胞分析模型的3個(gè)階段。在第一損傷階段鋼筋和混凝土共同變形，無(wú)裂縫無(wú)脫粘，等效彈性模量為一定值。隨著混凝土裂縫的產(chǎn)生與發(fā)展，模型內(nèi)部脫粘損傷增多，等效模量在第二損傷階段大幅下降。在第三損傷階段，裂縫發(fā)育較完全，混凝土基本喪失持荷能力，因此等效模量趨于平穩(wěn)。

3.1 鋼筋和混凝土體積分?jǐn)?shù)對(duì)等效模量E的影響

在圖3中，3條曲線對(duì)應(yīng)不同情況下的混凝土和鋼筋體積分?jǐn)?shù)，圖3中虛線表示3條曲線具有相同的臨界應(yīng)力，該臨界應(yīng)力是第二、第三損傷階段的分界。因〈cs〉=2δ0時(shí)，σRVE只與混凝土抗拉強(qiáng)度f(wàn)tk，Weibull分布參數(shù)m有關(guān)。從曲線的間隔看，3條曲線的間隔較為均勻，這反映了兩種材料體積取值的梯度性

3.2 Weibull分布參數(shù)m對(duì)等效模量E的影響

在圖4中，隨著Weibull分布參數(shù)m的變化，等效彈性模量E隨σRVE的變化過(guò)程有了顯著不同。m值存在于混凝土斷裂強(qiáng)度分布狀態(tài)函數(shù)中，由混凝土拉伸強(qiáng)度的分散性決定。從m=2變化到m=8的過(guò)程中，3條曲線在第二損傷階段下降過(guò)程由緩變陡。這說(shuō)明Weibull分布參數(shù)m對(duì)曲線下降的速率有影響，m的值越大，曲線下降越快，且越早達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)。圖4中虛線代表了3條曲線的分段點(diǎn)處的等效模量相等，此時(shí)3條曲線對(duì)應(yīng)的σRVE都滿足〈cs〉=2δ0。

3.3 混凝土強(qiáng)度等級(jí)對(duì)等效模量E的影響

圖2 等效彈性模量E隨單胞拉應(yīng)力σRVE變化曲線Fig.2 Equivalent elastic modulus E curve with the tensile stress of model

圖3 不同體積分?jǐn)?shù)下的等效彈性模量E變化曲線Fig.3 The curves of equivalent elastic modulus E for different values of volume fraction

圖4 不同m下的等效彈性模量E變化曲線Fig.4 Curves of equivalent elastic modulus E for different values of m

圖5 不同混凝土強(qiáng)度等級(jí)的等效彈性模量E變化曲線Fig.5 Curves of equivalent elastic modulus E for different values of concrete strength

4 結(jié)論

本文基于隨機(jī)開裂的ACK理論，建立了鋼筋混凝土拉伸損傷單胞分析模型，推導(dǎo)出不同損傷狀態(tài)下的等效彈性性能，得到如下結(jié)論：

① 第一損傷階段鋼筋混凝土材料處于線彈性范圍，內(nèi)部無(wú)裂紋無(wú)損傷，等效模量不變。第二損傷階段混凝土裂縫密度逐漸增大，單胞承載力逐漸減弱，因此等效模量逐步減小。第三損傷階段混凝土開裂趨于飽和，基本喪失承載能力，因此等效模量值主要受鋼筋影響，并接近EsVs。

② 混凝土抗拉強(qiáng)度的分散性決定了其斷裂強(qiáng)度的分布函數(shù)中m值的大小。m值越大，第二損傷階段發(fā)生的應(yīng)力區(qū)段寬度越小，曲線下降越急劇。

③ 混凝土強(qiáng)度等級(jí)越高，對(duì)應(yīng)的彈性模量Ec越大，因此在拉伸損傷單胞模型的初始等效彈性模量的值越大。在第三損傷階段，混凝土因開裂損傷嚴(yán)重，承載力貢獻(xiàn)越來(lái)越小，此時(shí)等效彈性模量主要受鋼筋模量和體積分?jǐn)?shù)影響。

④ 隨著鋼筋混凝土單胞模型中鋼筋體積分?jǐn)?shù)Vs的增加，其等效彈性模量曲線整體升高。Vs的值取決于鋼筋周圍混凝土橫向裂紋的擴(kuò)展范圍，其合理的取值還需進(jìn)一步研究。