Dini型多線性Caldern-Zygmund算子在Herz型Hardy空間上的有界性

王美仲,葉曉峰

(華東交通大學(xué) 理學(xué)院, 江西 南昌 330013)

0 引言

近些年來(lái),多線性算子理論得到了快速發(fā)展,Coifman和Meyer首先在文獻(xiàn)[1-2]中提出了多線性算子。這一理論的提出使調(diào)和分析取得了重要的突破。

定義1[3]定義在{(Rn)m(x=y1=y2=…=ym)}之外的一個(gè)局部可積函數(shù)k(x,y1,…,ym)被稱為w(t)型m-線性c-z核。如果存在這樣一個(gè)常數(shù)A>0,使得

(1)

且(x,y1,…,ym)∈(Rn)m+1，x≠yj,對(duì)于j∈{1,2,…,m}，有：

(2)

(3)

如果

記T：φ(Rn)×…φ(Rn)→φ′(Rn)是一個(gè)具有w(t)型C-Z核的m-線性c-z算子,其φ∈S(Rn),S(Rn)為施瓦茲函數(shù)空間。

令Bk={x∈Rn:|x|≤2k},Ek=BkBk-1且χk=χEk,w∈Dini(a),k∈Z。其中χE表示集合E的特征函數(shù)。

定義3[4]設(shè)α∈R且0

(4)

其中

(5)

當(dāng)p=∞時(shí)作相應(yīng)修改。

其中

(6)

當(dāng)p=∞時(shí)作相應(yīng)修改。

1 乘積Herz型Hardy空間的有界性

定義4[4]設(shè)α∈R且0

本文只討論了齊次Herz型Hardy空間的情況,對(duì)于非齊次的情況類似,這里省略了非齊次Herz型Hardy空間的討論。這些空間有下列的關(guān)系：

與Hardy空間的理論一樣,對(duì)Herz型Hardy空間也有很多相關(guān)的研究。根據(jù)中心原子給出了Herz型Hardy空間的特征分解。

① 對(duì)某個(gè)r>0, suppa?B(0,r)={x∈Rn:|x|≤r}；

④ 對(duì)某個(gè)r≥1, suppa?B(0,r)。

若a(x)滿足①～③,則Rn上函數(shù)a(x)稱為中心(α、q)原子。

若a(x)滿足②～④,則Rn上函數(shù)a(x)稱為限制型中心(α、q)原子。

(7)

下確界取遍f的所有如上的分解。

(8)

下確界取遍f的所有如上的分解。

定理

為了估計(jì)I1,考慮當(dāng)l1≤k-2,l2≤k-2,x∈Ek,對(duì)于l1和l2，設(shè)l1≤l2且al1是中心(α1,q1)原子，則

代入I1有

故對(duì)于I11,當(dāng)0

對(duì)于I2,因?yàn)閘1≤k-2,l2≥k-1,且x∈Ek。又因al1是中心(α1,q1)原子，則有

代入I2有

對(duì)于I4,由于T是從Lq1(Rn)×Lq2(Rn)到Lq(Rn)有界的，則

=CI41×I42。

對(duì)于I41,當(dāng)0

根據(jù)I1,I2,I3,I4，本文有

最后對(duì)f1,f2所有的分解取下確界得

對(duì)于非齊次Herz型Hardy空間也有上述類似的結(jié)論,這里省略了證明。