考慮污染排放限制的道路通行最小收費(fèi)問(wèn)題研究

何勝學(xué)

(上海理工大學(xué)管理學(xué)院 上海 200092)

0 引 言

隨著我國(guó)城市小汽車(chē)保有量的不斷增長(zhǎng)，城市交通污染日益嚴(yán)重，而如何有效控制和減少交通污染排放業(yè)已成為城市管理部門(mén)、大眾和研究者關(guān)注的一個(gè)焦點(diǎn).交通污染排放的控制有多種途徑，包括控制小汽車(chē)的增長(zhǎng)率、提升燃油品質(zhì)、提升機(jī)動(dòng)車(chē)排放標(biāo)準(zhǔn)、各種交通控制技術(shù)手段的利用，以及各種交通經(jīng)濟(jì)手段的利用[1-3].在經(jīng)濟(jì)手段中，收取排污費(fèi)是最常用的一種.針對(duì)如何在維持出行者自主選擇出行路線條件下以最少的收費(fèi)實(shí)現(xiàn)給定比例污染排放消減的問(wèn)題，本文建立相關(guān)雙層規(guī)劃模型，并給出有效求解方法.

研究者針對(duì)交通污染排放控制進(jìn)行了大量研究.馮曉等[4]認(rèn)為智能交通系統(tǒng)是一種控制道路交通污染的重要手段，并比較分析了實(shí)施不停車(chē)收費(fèi)與停車(chē)?yán)U費(fèi)對(duì)機(jī)動(dòng)車(chē)污染排放的影響.李學(xué)遷等[5]提出應(yīng)當(dāng)按車(chē)型對(duì)用戶收取擁擠稅和污染稅從而實(shí)現(xiàn)合理分配流量和減少交通污染的目的.張廣昕[6]提出可通過(guò)監(jiān)測(cè)交叉口各向車(chē)流量自動(dòng)調(diào)正信號(hào)燈配時(shí)來(lái)在提高道路服務(wù)水平的同時(shí)減少交通污染.肖翠翠[7]通過(guò)分析美國(guó)加州交通污染排放管理模式，提出了提升道路車(chē)輛干凈程度、提高燃油品質(zhì)和系統(tǒng)化控制交通污染管理成本的建議.王璐璐[8]實(shí)證分析了機(jī)動(dòng)車(chē)保有量和交通污染對(duì)不同城市功能區(qū)的影響.魏賢鵬等[9]利用系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)知識(shí)對(duì)城市交通污染氣體排放的影響因素和相關(guān)關(guān)系進(jìn)行了分析.胡畔等[10]通過(guò)實(shí)證調(diào)查了解居民對(duì)擁擠收費(fèi)的接受度，分析了如何通過(guò)擁擠定價(jià)實(shí)現(xiàn)緩解交通壓力的同時(shí)解決尾氣污染問(wèn)題，提出應(yīng)當(dāng)通過(guò)收費(fèi)引導(dǎo)人們更多的選擇公共交通出行.張凱等[11]分析了如何在一定交通排放污染容忍度下確定網(wǎng)絡(luò)中交通需求的最大可增長(zhǎng)比例.

本文的主要研究貢獻(xiàn)包括：①以收費(fèi)最小為優(yōu)化目標(biāo)，而非常見(jiàn)的最大化收費(fèi)、最小化系統(tǒng)出行費(fèi)用或最小化整體污染排放，可以提升研究結(jié)果的可行性和大眾接受度；②以網(wǎng)絡(luò)整體的污染排放為控制對(duì)象，可以有效避免局部控制可能產(chǎn)生的排放轉(zhuǎn)移問(wèn)題；③設(shè)立路段收費(fèi)的上限，且只在備選路段實(shí)施收費(fèi)，不僅可以避免過(guò)高收費(fèi)的出現(xiàn)，而且可避免需要在無(wú)實(shí)施條件的路段實(shí)施收費(fèi)的窘境；④針對(duì)上下層模型特征，在有效利用求解下層模型的Frank-Wolfe算法基礎(chǔ)上，為上層模型設(shè)計(jì)了在部分增廣拉格朗日法中嵌套梯度投影算法的有效求解算法.

1 參變量介紹與基本假設(shè)

1.1 參變量介紹

1.2 基本假設(shè)

1)假設(shè)出行者的出行路線選擇行為遵循Wardrop第一原則，即用戶均衡原則 依據(jù)用戶均衡原則，當(dāng)網(wǎng)絡(luò)處于均衡狀態(tài)時(shí)，對(duì)任意一個(gè)OD對(duì)而言，連接該OD對(duì)的可行路線中實(shí)際被利用的路線具有相等的出行費(fèi)用，且該費(fèi)用小于等于其他連接該OD對(duì)而未被利用的路線的出行費(fèi)用[12-13].這里的出行費(fèi)用包括行程時(shí)間和可能的污染排放收費(fèi).具體的路段出行費(fèi)用為

(1)

將采用常見(jiàn)的BPR函數(shù)作為路段行程時(shí)間函數(shù)，具體形式為

(2)

2)交通污染排放的全網(wǎng)控制原則 交通污染排放控制既可以采取局部控制，也可以采取全局控制.考慮到污染的擴(kuò)散性和網(wǎng)絡(luò)交通的相互影響性，本研究將從整體上對(duì)交通污染的排放加以限制.同時(shí)為了便于分析運(yùn)算，假設(shè)路段的污染排放函數(shù)為

pa(xa)=ea,1(xa/Ca)2+ea,2xa/Ca+ea,3

(3)

式中：ea,i，?i∈{1,2,3}為與具體路段特征相關(guān)的參數(shù).

2 雙層規(guī)劃模型

根據(jù)上節(jié)的假設(shè)條件，建立如下的網(wǎng)絡(luò)交通污染排放控制上層模型.

(4)

(5)

(6)

目標(biāo)函數(shù)(4)以備選收費(fèi)路段集合上整體的收費(fèi)最小化為目標(biāo).這與常見(jiàn)的擁擠收費(fèi)的收費(fèi)最大化目標(biāo)不同，也與常見(jiàn)的交通污染控制模型以網(wǎng)絡(luò)總的出行時(shí)間或出行費(fèi)用最小為目標(biāo)不同.以收費(fèi)最小化為目標(biāo)可以得到出行者的支持與理解，從而增加理論的現(xiàn)實(shí)可行性.約束(5)為對(duì)路網(wǎng)整體的交通污染排放進(jìn)行限制.顯然有τ∈[0,1).這里減排比例系數(shù)τ應(yīng)根據(jù)實(shí)際合理選擇.如果τ的值過(guò)小，則達(dá)不到污染排放控制的目的；而τ的值過(guò)大，則可能導(dǎo)致收費(fèi)過(guò)高，或模型無(wú)解情況的出現(xiàn).約束(6)為路段收費(fèi)的上下限箱式約束.與以往僅限定收費(fèi)值大于0不同，為收費(fèi)設(shè)定上限不僅可以避免不合理的過(guò)高收費(fèi)出現(xiàn)，也可以增加模型求解結(jié)果的現(xiàn)實(shí)可行性.

在交通污染排放的收費(fèi)控制條件下，路段的交通流量x將受到具體收費(fèi)η影響，因此具體路段流量xa為收費(fèi)η的函數(shù)xa(η).當(dāng)具體收費(fèi)η給定時(shí)，可以利用下面的下層用戶均衡網(wǎng)絡(luò)交通流分配模型求解對(duì)應(yīng)的路段流量.

(7)

(8)

(9)

(10)

目標(biāo)函數(shù)(7)為所有路段上行程費(fèi)用函數(shù)ca(xa)圖像在路段流量范圍[0,xa]內(nèi)的累積面積.該目標(biāo)是為了使得模型求解結(jié)果符合用戶均衡原則特意構(gòu)造的函數(shù).約束(8)為針對(duì)任意OD對(duì)的路徑流量之和等于該OD間交通需求量的守恒約束.約束(9)為路徑流量的非負(fù)約束.約束(10)為任意路段的流量等于所有途經(jīng)該路段的路徑流量之和.下層模型用于實(shí)現(xiàn)抽象函數(shù)xa(η)，以及后面會(huì)用到的偏導(dǎo)數(shù)?xa(η)/?ηb的近似值計(jì)算.

3 求解算法設(shè)計(jì)

下層的用戶均衡交通流分配模型(10)可以利用Frank-Wolfe算法有效求解，因此在此略去相關(guān)介紹.下面分析如何有效求解上層排放控制模型(4)～(6).

觀察到模型的基本變量η具有箱式約束(6)，而箱式約束有利于投影運(yùn)算.如果可以將約束(5)轉(zhuǎn)化為目標(biāo)函數(shù)項(xiàng)，則可以利用梯度投影算法對(duì)問(wèn)題進(jìn)行求解.將約束轉(zhuǎn)化為目標(biāo)函數(shù)項(xiàng)的方法包括內(nèi)點(diǎn)障礙函數(shù)法、罰函數(shù)法和增廣拉格朗日乘子法等.考慮到約束(5)的形式較為簡(jiǎn)單，以及在利用增廣拉格朗日乘子法時(shí)相應(yīng)的懲罰系數(shù)相對(duì)較小，因此下面采用增廣拉格朗日乘子法實(shí)現(xiàn)約束的轉(zhuǎn)化.

(11)

(12)

式中：Δηb為費(fèi)用ηb的微小變化；ηΔb為對(duì)應(yīng)ηb的元素為Δηb，而其余元素為0的向量.利用(12)，可以得到目標(biāo)函數(shù)(4)的偏導(dǎo)數(shù)近似值.

(13)

在vk和γk給定條件下，L(η,vk,γk)的偏導(dǎo)數(shù)ηaL=?L(η,vk,γk)/?ηa為

(14)

假設(shè)當(dāng)前求解子問(wèn)題的算法迭代次數(shù)為m，對(duì)應(yīng)的收費(fèi)向量為ηm.以-ηaL作為對(duì)應(yīng)分量的嘗試性搜索方向，給定常數(shù)?m∈(0,1)作為對(duì)應(yīng)步長(zhǎng)，可以得到一個(gè)嘗試性搜索分量該分量盡管是沿著目標(biāo)函數(shù)的負(fù)梯度方向得到，具有使目標(biāo)函數(shù)值下降的潛力，但是有可能不滿足約束Ω.因此有必要將嘗試性分量向約束集Ω投影，得到一個(gè)可行下降方向.符號(hào)PrΩ(·)為向集合Ω作投影；而PrΩa(·)為向集合投影.根據(jù)箱式約束特征，有如下操作成立：

(15)

令新的搜索方向分量為

(16)

利用上述搜索方向可以對(duì)變量進(jìn)行更新.

ηm+1=ηm+αmdm

(17)

式中：αm為相應(yīng)搜索步長(zhǎng).可以利用各種一維搜索算法確定步長(zhǎng)αm的具體值.為了盡量減少調(diào)用求解下層模型的次數(shù)，本研究選擇啟發(fā)式的Armijo算法進(jìn)行步長(zhǎng)搜索.

在Armijo算法中步長(zhǎng)αm等于βns.這里n是一個(gè)滿足下式的最小非負(fù)整數(shù).

L(ηm,vk,γk)-L(ηm+βnsdm,vk,γk)≥

-σβnsηLΤdm

(18)

式中：s，β和σ均為區(qū)間(0,1)上給定的常數(shù).

步驟1初始化 給定vk和γk的值.在約束集Ω內(nèi)確定一個(gè)可行的初始收費(fèi)量η0.給定參數(shù)s、β和σ.令m:=0.

步驟2利用式(12)～(14)，求解目標(biāo)函數(shù)的近似負(fù)梯度ηL(ηm,vk,γk).

步驟3計(jì)算嘗試性搜索方向ηm-?mηL，并利用式(15)～(16)進(jìn)行箱式約束集投影，從而得到可行方向

步驟4確定步長(zhǎng)αm從n所屬的非負(fù)整數(shù)集合{0,1,2,3,…}中依次取值，直到得到滿足式(18)的最小n值，進(jìn)而得到αm=βns.

步驟5更新變量 利用式(17)，計(jì)算ηm+1.

步驟4判斷收斂快慢，更新懲罰參數(shù)

步驟5進(jìn)行拉格朗日乘子迭代

4 算例分析

圖1 13個(gè)節(jié)點(diǎn)的Nguyen和Dupius路網(wǎng)

表1 路段行程時(shí)間函數(shù)的參數(shù)和均衡流量

表2 路段收費(fèi)值和總收費(fèi)

表3為τ取不同值時(shí)收斂指標(biāo)Ψ(η)隨迭代次數(shù)k增加的變化情況.當(dāng)Ψ(η)的值大于0時(shí)，說(shuō)明減排要求沒(méi)有達(dá)到；而當(dāng)Ψ(η)的值小于等于0時(shí)，說(shuō)明交通污染的減排要求已經(jīng)達(dá)到.計(jì)算結(jié)果表明，當(dāng)τ小于0.15時(shí)，減少排放的要求均可實(shí)現(xiàn)；而當(dāng)τ大于等于0.16時(shí)，算法不收斂，即Ψ(η)的值始終大于0.

表3 收斂指標(biāo)Ψ(η)隨迭代次數(shù)k增加的變換

上述計(jì)算的計(jì)算機(jī)程序是在NetBeans IDE 8.0.2集成開(kāi)發(fā)環(huán)境下，利用Java程序語(yǔ)言實(shí)現(xiàn)的.各種情景下模型整體求解的程序運(yùn)行時(shí)間均小于2 s.

5 結(jié) 束 語(yǔ)

在滿足一定交通污染減排要求條件下，以最小收費(fèi)為優(yōu)化目標(biāo)建立了減排控制的雙層規(guī)劃模型.通過(guò)部分增廣拉格朗日算法將上層模型的排放約束轉(zhuǎn)變?yōu)槟繕?biāo)函數(shù)項(xiàng)，從而使得新的模型具有簡(jiǎn)單的箱式約束，進(jìn)而可以利用梯度投影算法加以有效求解.通過(guò)數(shù)值算例驗(yàn)證了模型與算法的有效性.算例分析表明：減排的要求越高，總的收費(fèi)越大；對(duì)于給定的交通網(wǎng)絡(luò)和需求，減排有最高限度，單純通過(guò)收費(fèi)無(wú)法實(shí)現(xiàn)超過(guò)該限度的減排要求；路段收費(fèi)具有關(guān)聯(lián)性，在部分路段進(jìn)行收費(fèi)可能對(duì)污染減排無(wú)效.研究可以進(jìn)一步擴(kuò)展的方向包括：考慮不同交通方式的影響、考慮動(dòng)態(tài)的分時(shí)污染收費(fèi)、以及與其他污染排放控制手段進(jìn)行整合.