2020全國(guó)高考物理1卷壓軸題的兩個(gè)變式及解析

王偉民 辛存良

摘? ?要：剖析2020全國(guó)高考物理1卷壓軸題難度不大的原因，增添一些條件將壓軸題改編成題目背景相似但難度較大的兩個(gè)變式問(wèn)題，并對(duì)改編的變式問(wèn)題進(jìn)行解析。

關(guān)鍵詞：電場(chǎng);磁場(chǎng);帶電粒子;拋物線(xiàn);類(lèi)斜拋運(yùn)動(dòng);圓弧軌跡

中圖分類(lèi)號(hào)：G633.7 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A ? ? 文章編號(hào)：1003-6148（2021）6-0041-3

1? ? 原題呈現(xiàn)

題目 （2020全國(guó)高考物理1卷第25題）在一柱形區(qū)域內(nèi)有勻強(qiáng)電場(chǎng)，柱的橫截面是以O(shè)為圓心，半徑為R的圓，AB為圓的直徑，如圖1所示。質(zhì)量為m，電荷量為q（q>0）的帶電粒子在紙面內(nèi)自A點(diǎn)先后以不同的速度進(jìn)入電場(chǎng)，速度方向與電場(chǎng)的方向垂直。已知?jiǎng)傔M(jìn)入電場(chǎng)時(shí)速度為零的粒子，自圓周上的C點(diǎn)以速率v0穿出電場(chǎng)，AC與AB的夾角θ=60°。運(yùn)動(dòng)中粒子僅受電場(chǎng)力作用。

（1）求電場(chǎng)強(qiáng)度的大小;

（2）為使粒子穿過(guò)電場(chǎng)后的動(dòng)能增量最大，該粒子進(jìn)入電場(chǎng)時(shí)的速度應(yīng)為多大？

（3）為使粒子穿過(guò)電場(chǎng)前后動(dòng)量變化量的大小為mv0，該粒子進(jìn)入電場(chǎng)時(shí)的速度應(yīng)為多大？

這道題是物理卷除了選做題目外的最后一道題，也是整份試卷中單題分值最高的一道題（該題分值20分，占物理總分的2/11），處于壓軸題的重要位置。該題目在題干基礎(chǔ)上共設(shè)置三個(gè)分問(wèn)題，三個(gè)小問(wèn)題由淺入深，層層遞進(jìn)，能夠很好地考查學(xué)生知識(shí)遷移的能力。該題目既注重基礎(chǔ)知識(shí)的考查，同時(shí)也兼顧考生能力高低的區(qū)分。高考結(jié)束之后，大部分考生和教師對(duì)這道題目的總體評(píng)價(jià)是：題目很經(jīng)典，作為壓軸題，難度比往年的壓軸題稍降。

在筆者看來(lái)，這道壓軸題的難度不高應(yīng)該是編者的刻意而為。受疫情的影響，全國(guó)各地的考生在臨近高考的關(guān)鍵時(shí)期，高考復(fù)習(xí)均在農(nóng)歷庚子年的春節(jié)之后按下了“暫停鍵”，本來(lái)應(yīng)該在教室內(nèi)老師指導(dǎo)下系統(tǒng)復(fù)習(xí)的學(xué)習(xí)活動(dòng)，大多變成了網(wǎng)上學(xué)習(xí)。盡管有老師在網(wǎng)上的悉心指導(dǎo)，但跟面對(duì)面的課堂學(xué)習(xí)相比，學(xué)習(xí)效果自然不是很好，不同地域的考生的復(fù)習(xí)迎考均受到了不同程度的影響。和往年相比，順延高考和中考時(shí)間也是國(guó)家為最大限度地挽回疫情對(duì)考生學(xué)習(xí)的影響而出臺(tái)的一個(gè)方案。

實(shí)際上，對(duì)這道壓軸題在總體背景不變的情況下，稍微改換一下題目條件，即可將其改為難度較大的題目。在很多人心目中，“難度大”是壓軸題目的一個(gè)顯著“標(biāo)志”。

2? ? 該壓軸題目的不同變式與解析

變式1 在一柱形區(qū)域內(nèi)有勻強(qiáng)電場(chǎng)，柱的橫截面是以O(shè)為圓心，半徑為R的圓，AB為圓的直徑，如圖1所示。質(zhì)量為m，電荷量為q（q>0）的帶電粒子在紙面內(nèi)自A點(diǎn)先后以不同的速率沿AB方向進(jìn)入電場(chǎng)，電場(chǎng)方向與紙面平行。已知以速率v0沿AB方向進(jìn)入電場(chǎng)的粒子，自圓周上的C點(diǎn)仍以速率v0穿出電場(chǎng)，AC與AB的夾角θ=60°。運(yùn)動(dòng)中粒子僅受電場(chǎng)力作用。

（1）求電場(chǎng)強(qiáng)度的大小;

（2）為使粒子穿過(guò)電場(chǎng)后動(dòng)能的增量最大，該粒子沿AB方向進(jìn)入電場(chǎng)時(shí)的速度應(yīng)為多大？

分析 該變式給出的問(wèn)題與原題的不同之處是：題目未限定帶電粒子的運(yùn)動(dòng)方向與電場(chǎng)方向垂直，所以，從一般情況考慮，在帶電粒子只受電場(chǎng)力的作用且初速度不為零的情況下，帶電粒子的運(yùn)動(dòng)屬于類(lèi)拋體運(yùn)動(dòng)，可以先利用題目給出的條件確定電場(chǎng)的方向，之后根據(jù)拋體運(yùn)動(dòng)的規(guī)律進(jìn)行求解。

解析 在只受電場(chǎng)力的作用，且粒子的初始速度與電場(chǎng)方向不一致也不反向時(shí)，帶電粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡是拋物線(xiàn)。因?yàn)閹щ娏Ｗ訌腁點(diǎn)進(jìn)入電場(chǎng)的速度與它從C點(diǎn)穿出電場(chǎng)的速度大小相同，所以，A、C兩點(diǎn)是粒子的拋物線(xiàn)軌跡上相對(duì)于對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)的兩點(diǎn)，作AC的中垂線(xiàn)，這一中垂線(xiàn)過(guò)圓心O，與電場(chǎng)邊界交點(diǎn)為D與G（圖2），電場(chǎng)方向?yàn)閺腄指向G的方向。

（1）設(shè)與AC夾角為θ的初速度v0沿平行于AC和垂直于AC方向的分量分別是vx和vy，帶電粒子在電場(chǎng)中的加速度為a（取D至G的方向?yàn)榧铀俣鹊恼较颍﹦t有：vx=v0cosθ，vy=v0sinθ

因?yàn)椋?=

所以：a= = =

因此，電場(chǎng)強(qiáng)度為：

E= = = =

（2）如圖3所示，這一情況可用類(lèi)拋體運(yùn)動(dòng)來(lái)處理。因?yàn)樵凇八骄€(xiàn)”AC“之下”，電場(chǎng)邊界圓弧 上的各點(diǎn)相比，只有G點(diǎn)到“水平線(xiàn)”AC的距離最大，所以，要滿(mǎn)足題目條件，從G點(diǎn)離開(kāi)電場(chǎng)的粒子穿過(guò)電場(chǎng)后動(dòng)能的增量最大。

設(shè)帶電粒子由A點(diǎn)以vA的速度沿AB方向進(jìn)入電場(chǎng)，受電場(chǎng)力的作用沿拋物線(xiàn)軌道運(yùn)行一段之后剛好從G點(diǎn)以速度vG穿出，設(shè)vA和vG垂直于電場(chǎng)方向的分量分別為vAx和vGx，沿電場(chǎng)方向的分量分別為vAy和vGy，則有：

vGx=vAx=vAcos60°= vA，vAy=vAsin60°= vA

由v? =2aMH得： v? =2· ·MH

所以：MH= R

MH+FG= R+R- R=（ +1- ）R

由v? =2a（MH+FG）可得：

v? =2· （ +1- ）R= v? + v? - v

由 = 可得：

解得：v2A= v

跟原題目相比，上面的變式1由于更改了題目條件，將帶電粒子在電場(chǎng)內(nèi)的運(yùn)動(dòng)軌跡由原來(lái)的類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)變換為類(lèi)斜拋運(yùn)動(dòng)，雖然解題方法類(lèi)似，但解題過(guò)程比原來(lái)復(fù)雜了許多，題目的難度系數(shù)無(wú)疑增加了許多。實(shí)際上，在原來(lái)題目背景材料的基礎(chǔ)上，如果我們?cè)僭鎏硪恍l件，也可將原題變式為帶電粒子在電場(chǎng)和磁場(chǎng)中交替運(yùn)動(dòng)的綜合性題目。

變式2 如圖4所示，空間內(nèi)存在著豎直向下的勻強(qiáng)電場(chǎng)和垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，電場(chǎng)被約束在豎直截面為相交圓面組成的水平封閉柱形區(qū)間內(nèi)，空間的其余部分為磁場(chǎng)空間。已知各相交圓是半徑及圓心距均為R的等圓，各圓圓心在同一條直線(xiàn)上，相鄰兩電場(chǎng)邊界的最近距離為 。質(zhì)量為m，電荷量為q（q>0）的帶電粒子從兩圓O1和O2的邊界交點(diǎn)P點(diǎn)處以速度v0水平向右射入，在O2圓上P點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A（PA為一直徑）由電場(chǎng)進(jìn)入外面的磁場(chǎng)，不考慮帶電粒子的重力。

圖4? 電磁場(chǎng)分布圖

（1）求勻強(qiáng)電場(chǎng)區(qū)域的電場(chǎng)強(qiáng)度;

（2）為使粒子依次進(jìn)入下一個(gè)相鄰電場(chǎng)時(shí)在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌跡相同，求勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域的磁感應(yīng)強(qiáng)度。

解析 （1）由于不考慮粒子的重力，且粒子的初始速度與電場(chǎng)方向垂直，所以，粒子在電場(chǎng)內(nèi)的運(yùn)動(dòng)相當(dāng)于重力場(chǎng)中僅受重力作用時(shí)物體的平拋運(yùn)動(dòng)。如圖5所示，由題目條件易知，帶電粒子在電場(chǎng)內(nèi)由P沿拋物線(xiàn)軌道運(yùn)動(dòng)至A時(shí)，通過(guò)的水平距離和豎直距離分別為PM=R和AM= R，所以，粒子由P運(yùn)動(dòng)到A需要的時(shí)間為t= = 。因此，粒子的加速度為a= = ，所以，電場(chǎng)強(qiáng)度為E= = 。

（2）以P為坐標(biāo)原點(diǎn)，水平向右的方向?yàn)閤軸的正方向建立如圖5所示的平面直角坐標(biāo)系，則A點(diǎn)坐標(biāo)為（R，- R）。所以，以P為頂點(diǎn)的拋物線(xiàn)的解析式為y=- x2，求導(dǎo)得y'=- ，由此可知，拋物線(xiàn)在A點(diǎn)切線(xiàn)的斜率為x=R時(shí)的導(dǎo)數(shù)值，即k=-2 。

要使帶電粒子在后續(xù)各相鄰電場(chǎng)區(qū)域內(nèi)運(yùn)動(dòng)的拋物線(xiàn)軌跡形狀相同，帶電粒子在相鄰電場(chǎng)之間的磁場(chǎng)內(nèi)運(yùn)動(dòng)的軌跡圓弧的圓心必須在相鄰兩圓O2、O3連心線(xiàn)的中垂線(xiàn)上。如圖5所示，設(shè)圓O2和圓O3之間的磁場(chǎng)內(nèi)粒子運(yùn)動(dòng)軌跡圓弧的圓心為C，則直線(xiàn)AC解析式的斜率為k'=

- = ，即：tan∠CAD= 。

圖5? 粒子運(yùn)動(dòng)分析圖

所以：AC= AD= R

粒子由P運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)的速度大小為：

vA= = = v0

由帶電粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)公式：

qvAB=

可得B= =

3? ? 結(jié)? 語(yǔ)

2020全國(guó)高考物理1卷的這道壓軸題背景材料非常新穎，讀題后讓人耳目一新。但該題給人的總體印象是難度系數(shù)不大，解題之后讓人有一種意猶未盡的感覺(jué)，很多教師也覺(jué)得至少?gòu)碾y度上講這道題的壓軸分量不足。本文給出的兩個(gè)變式題目，其背景材料與原題基本類(lèi)似，但解題難度相對(duì)較大，這說(shuō)明2020全國(guó)高考物理1卷的這道壓軸題，已經(jīng)具備了背景材料精彩，適合編擬看似與往年壓軸題難度“相當(dāng)”的題目。在筆者看來(lái)，編者之所以沒(méi)有根據(jù)背景材料編擬成難度很大的題目，應(yīng)該是基于以下兩個(gè)方面的考慮：其一，相比于其他學(xué)科的考試，物理高考卷一直被大家公認(rèn)為是所有學(xué)科中難度最大的一科，近幾年選考物理學(xué)科的考生比例逐年減少的現(xiàn)象就是一個(gè)例證。在保證試卷有效區(qū)分度的前提下，適當(dāng)降低包括壓軸題在內(nèi)的物理試卷各類(lèi)型題目的難度，可以使廣大考生對(duì)“物理難考”的觀點(diǎn)有所改善。其二，受疫情的影響，全國(guó)各地考生2020年的復(fù)習(xí)迎考都受到不同程度的影響，所以，壓軸題目不能過(guò)難也是眾望所歸。

（欄目編輯? ? 陳? 潔）